Польское пространство - Polish space

В математической дисциплине общая топология, а Польское пространство это отделяемый полностью метризуемый топологическое пространство; то есть пространство гомеоморфный к полный метрическое пространство что есть счетный плотный подмножество. Польские пространства названы так потому, что они были впервые всесторонне изучены польскими топологами и логиками.Серпинский, Куратовски, Тарский и другие. Однако сегодня польские пространства в основном изучаются, потому что они являются основным местом для описательная теория множеств, включая изучение Борелевские отношения эквивалентности. Польские пространства также удобны для более продвинутых теория меры, в частности в теория вероятности.

Распространенными примерами польских пространств являются реальная линия, Любые отделяемый Банахово пространство, то Канторовское пространство, а Пространство Бэра. Кроме того, некоторые пространства, которые не являются полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал (0, 1) - польский.

Между любыми двумя бесчисленный Польские просторы, есть Борелевский изоморфизм; это биекция сохраняющий борелевскую структуру. В частности, на каждом бесчисленном польском пространстве есть мощность континуума.

Пространства Люсина, Пространства Суслина, и Радоновые пространства являются обобщениями польских пространств.

Характеристики

1. Каждое польское пространство - это второй счетный (в силу сепарабельности метризуемости).
2. (Теорема Александрова ) Если Икс польский, значит, любой г_δ подмножество Икс. ^[1]
3. Подпространство Q польского пространства п польский тогда и только тогда, когда Q является пересечением последовательности открытых подмножеств п. (Это обратная теореме Александрова.)^[2]
4. (Теорема Кантора – Бендиксона ) Если Икс польский, то любое замкнутое подмножество Икс можно записать как несвязный союз из идеальный набор и счетное множество. Далее, если польское пространство Икс несчетно, его можно записать как несвязное объединение совершенного множества и счетного открытого множества.
5. Каждое польское пространство гомеоморфно г_δ-подмножество Куб Гильберта (то есть из я^ℕ, где я - единичный интервал и ℕ - множество натуральных чисел).^[3]

Следующие пробелы являются польскими:

• замкнутые подмножества польского пространства,
• открытые подмножества польского пространства,
• произведения и непересекающиеся объединения счетных семейств польских пространств,
• локально компактный пространства, которые метризуемы и счетный в бесконечности,
• счетные пересечения польских подпространств хаусдорфова топологического пространства,
• набор иррациональные числа с топологией индуцированный стандартная топология реальной линии.

Характеристика

Существует множество характеризаций, которые говорят о метризуемости топологического пространства с подсчетом секунд, например Теорема Урысона о метризации. Проблема определения, является ли метризуемое пространство полностью метризуемым, более сложна. Топологические пространства, такие как открытый единичный интервал (0,1), могут иметь как полные, так и неполные метрики, порождающие их топологию.

Имеется характеристика полных сепарабельных метрических пространств в терминах игра известный как сильный Игра в шоке. Сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда у второго игрока есть выигрышная стратегия в этой игре.

Вторая характеризация следует из теоремы Александрова. Он утверждает, что сепарабельное метрическое пространство полностью метризуемо тогда и только тогда, когда оно является ${\displaystyle G_{\delta }}$ подмножество его завершения в исходной метрике.

Польские метрические пространства

Хотя польские пространства метризуемы, сами по себе они не являются метрические пространства; каждое польское пространство допускает множество полные показатели дающие начало той же топологии, но ни одна из них не выделяется или не выделяется. Польское пространство с выделенной полной метрикой называется Польское метрическое пространство. Альтернативный подход, эквивалентный приведенному здесь, состоит в том, чтобы сначала определить «польское метрическое пространство» как «полное сепарабельное метрическое пространство», а затем определить «польское пространство» как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства посредством забывая метрика.

Обобщения польских пространств

Пространства Люсина

Топологическое пространство - это Пространство Лусина если оно гомеоморфно борелевскому подмножеству компактного метрического пространства.^[4][5] Некоторая более сильная топология превращает Лусина в польское пространство.

Есть много способов сформировать пространства Люзина. Особенно:

• Каждое польское пространство - это Лусин^[6]
• Подпространство в пространстве Люсина называется Люсином тогда и только тогда, когда оно является борелевским множеством.^[7]
• Любое счетное объединение или пересечение подпространств Лусина Пространство Хаусдорфа это Лусин.^[8]
• Произведение счетного числа пространств Лузина - это Лузин.^[9]
• Непересекающееся объединение счетного числа пространств Лузина есть Лузин.^[10]

Пространства Суслина

А Пространство суслина - образ польского пространства при непрерывном отображении. Таким образом, каждое пространство Лузина является Суслиным. В польском пространстве подмножество является пространством Суслина тогда и только тогда, когда оно Суслин набор (изображение Суслинская операция ).^[11]

Следующие пространства Суслина:

• закрытые или открытые подмножества пространства Суслина,
• счетные произведения и непересекающиеся объединения пространств Суслина,
• счетные пересечения или счетные объединения подпространств Суслина хаусдорфового топологического пространства,
• непрерывные образы пространств Суслина,
• Борелевские подмножества пространства Суслина.

У них есть следующие свойства:

• Каждое пространство Суслина отделимо.

Радоновые пространства

А Радоновое пространство, названный в честь Иоганн Радон, это топологическое пространство так что каждый Борель вероятностная мера на M является внутренний регулярный. Поскольку вероятностная мера глобально конечна, и, следовательно, локально конечная мера, каждая вероятностная мера на радоновом пространстве также является Радоновая мера. В частности отделяемый полный метрическое пространство (M, d) является радоновым пространством.

Каждое суслинское пространство - это радон.

Польские группы

А Польская группа топологическая группа г это также польское пространство, другими словами, гомеоморфное сепарабельному полному метрическому пространству. Есть несколько классических результатов Банах, Freudenthal и Куратовски о гомоморфизмах между польскими группами.^[12] Во-первых, аргумент Банах (1932 г., п. 23) apply (применяется) mutatis mutandi для неабелевых польских групп: если г и ЧАС сепарабельные метрические пространства с г Польский, то любой борелевский гомоморфизм из г к ЧАС непрерывно.^[13] Во-вторых, есть версия теорема об открытом отображении или теорема о замкнутом графике из-за Куратовский (1933 г., п. 400) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKuratowski1933 (Помогите): непрерывный инъективный гомоморфизм польской подгруппы г на другую польскую группу ЧАС - открытое отображение. В результате замечательный факт о польских группах заключается в том, что измеримые по Бэру отображения (т.е. для которых прообраз любого открытого множества имеет собственность Бэра ), являющиеся гомоморфизмами между ними, автоматически непрерывны.^[14] Группа гомеоморфизмов Куб Гильберта [0,1]^N является универсальной польской группой в том смысле, что каждая польская группа изоморфна ее замкнутой подгруппе.

Примеры:

• Все конечномерные Группы Ли со счетным числом компонентов являются польские группы.
• Унитарная группа сепарабельной Гильбертово пространство (с сильная операторная топология ) - польская группа.
• Группа гомеоморфизмов компактного метрического пространства - польская группа.
• Произведение счетного числа польских групп - это польская группа.
• Группа изометрий сепарабельного полного метрического пространства - это польская группа

Смотрите также

• Стандартное пространство Бореля

Примечания

1. Бурбаки 1989, п. 197
2. Бурбаки 1989, п. 197
3. Шривастава 1998, п. 55
4. Роджерс и Уильямс 1994, п. 126
5. Бурбаки 1989
6. Шварц 1973, п. 94
7. Шварц 1973, п. 102, следствие 2 теоремы 5.
8. Шварц 1973, pp. 94, 102, лемма 4 и следствие 1 теоремы 5.
9. Шварц 1973, с. 95, лемма 6.
10. Шварц 1973, п. 95, следствие леммы 5.
11. Бурбаки 1989, стр. 197-199.
12. Мур 1976, п. 8, предложение 5
13. Фройденталь 1936 г., п. 54
14. Петтис 1950.

использованная литература

• Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций. Monografie Matematyczne (на французском языке). Варшава.
• Бурбаки, Николас (1989). «IX. Использование действительных чисел в общей топологии». Элементы математики: общая топология, часть 2. Springer-Verlag. 3540193723.
• Фройденталь, Ганс (1936). "Einige Sätze ueber topologische Gruppen". Анна. математики. 37: 46–56.
• Куратовский, К. (1966). Топология Vol. я. Академическая пресса. ISBN  012429202X.
• Мур, Кэлвин С. (1976). «Расширения групп и когомологии для локально компактных групп. III». Пер. Амер. Математика. Soc. 221: 1–33.
• Петтис, Б. Дж. (1950). «О непрерывности и открытости гомоморфизмов в топологических группах». Анна. математики. 51: 293–308.
• Rogers, L.C.G .; Уильямс, Дэвид (1994). Диффузии, марковские процессы и мартингалы, Том 1: Основы, 2-е издание. John Wiley & Sons Ltd.
• Шварц, Лоран (1973). Меры Радона на произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0195605167.
• Шривастава, Саши Мохан (1998). Курс борелевских множеств. Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-98412-4. Получено 2008-12-04.

дальнейшее чтение

• Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер. Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-2428-7.
• Арвесон, Уильям (1981). Приглашение в C * -алгебры. Тексты для выпускников по математике. 39. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90176-0.
• Кехрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств. Тексты для выпускников по математике. 156. Springer. ISBN  0-387-94374-9.