Полностью метризуемое пространство - Completely metrizable space

В математика, а полностью метризуемое пространство^[1] (метрически топологически полное пространство^[2]) это топологическое пространство (Икс, Т), для которого существует хотя бы один метрика d на Икс такой, что (Икс, d) это полное метрическое пространство и d индуцирует топологию Т. Период, термин топологически законченное пространство используется некоторыми авторами как синоним полностью метризуемое пространство,^[3] но иногда также используется для других классов топологических пространств, например полностью униформизируемые пространства^[4] или же Чех-полные пространства.

Разница между полное метрическое пространство и полностью метризуемое пространство

Разница между полностью метризуемое пространство и полное метрическое пространство в словах существует хотя бы одна метрика в определении вполне метризуемого пространства, что не то же самое, что дана метрика (последнее дало бы определение полного метрического пространства). Как только мы сделаем выбор метрики на полностью метризуемом пространстве (из всех полных метрик, совместимых с топологией), мы получим полное метрическое пространство. Другими словами, категория вполне метризуемых пространств является подкатегория категории топологических пространств, в то время как категория полных метрических пространств - нет (вместо этого это подкатегория категории метрических пространств). Полная метризуемость - это топологическое свойство, а полнота - свойство метрики.^[5]

Примеры

Космос $(0,1) \subset р$ , открытый единичный интервал, не является полным метрическим пространством с его обычной метрикой, унаследованной от $р$ , но он полностью метризуем, поскольку гомеоморфный к $р$ .^[6]
Космос $Q$ из рациональное число с топологией подпространства, унаследованной от $р$ метризуем, но не полностью метризуем.^[7]

Характеристики

Топологическое пространство Икс вполне метризуемо тогда и только тогда, когда Икс является метризуемый и грамм_δ в его Каменно-чешская компактификация βИкс.^[8]
Подпространство вполне метризуемого пространства $Икс$ полностью метризуема тогда и только тогда, когда она $грамм δ$ в $Икс$ .^[9]
Счетное произведение непустых метризуемых пространств вполне метризуемо в топология продукта тогда и только тогда, когда каждый фактор полностью метризуем.^[10] Следовательно, произведение непустых метризуемых пространств вполне метризуемо тогда и только тогда, когда не более чем счетное число факторов имеют более одной точки и каждый фактор вполне метризуем.^[11]
Для каждого метризуемого пространства существует вполне метризуемое пространство, содержащее его как плотное подпространство, поскольку каждое метрическое пространство имеет завершение.^[12] Вообще говоря, таких вполне метризуемых пространств много, поскольку пополнения топологического пространства по разным метрикам, совместимым с его топологией, могут давать топологически разные пополнения.

Вполне метризуемые абелевы топологические группы

Когда говорят о пространствах с большей структурой, чем просто топология, например топологические группы, естественный смысл слов «полностью метризуемый», возможно, заключался бы в существовании полной метрики, которая также совместима с этой дополнительной структурой в дополнение к ее топологии. За абелевский топологические группы и топологические векторные пространства, «Совместимость с дополнительной структурой» может означать, что метрика инвариантна относительно переводов.

Однако не может возникнуть путаницы, когда речь идет об абелевой топологической группе или топологическом векторном пространстве, которые полностью метризуемы: можно доказать, что каждая абелева топологическая группа (и, следовательно, также каждое топологическое векторное пространство), полностью метризуема как топологическое пространство (т. Е. , допускает полную метрику, индуцирующую его топологию) также допускает инвариантную полную метрику, которая индуцирует его топологию.^[13]

Отсюда следует e. грамм. что всякое вполне метризуемое топологическое векторное пространство полно. Действительно, топологическое векторное пространство называется полным тогда и только тогда, когда оно единообразие (индуцированный его топологией и операцией сложения) завершен; равномерность, индуцированная трансляционно-инвариантной метрикой, индуцирующей топологию, совпадает с исходной однородностью.

Смотрите также

Примечания

^ Уиллард, определение 24.2
^ Келли, Задача 6.K, стр. 207
^ е. грамм. Стин и Зеебах, I § 5: Полные метрические пространства
^ Келли, Проблема 6.L, с. 208
^ Уиллард 1970 Раздел 24.
^ Уиллард, Глава 24
^ Уиллард, упражнение 25A.
^ Уиллард, теорема 24.13
^ Уиллард, Глава 24
^ Уиллард, Глава 24
^ Потому что произведение непустых метризуемых пространств метризуемо тогда и только тогда, когда не более чем счетное множество факторов имеют более одной точки (Уиллард, глава 22).
^ Уиллард, Глава 24
^ Клее, В. Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF). Proc. Амер. Математика. Soc. (3): 484–487. Дои:10.1090 / с0002-9939-1952-0047250-4.