Собственность Бэра - Property of Baire

А подмножество ${\displaystyle A}$ из топологическое пространство ${\displaystyle X}$ имеет собственность Бэра (Бэр недвижимость, названный в честь Рене-Луи Бэр ), или называется почти открытый установить, если он отличается от открытый набор по скудный набор; то есть, если есть открытый набор ${\displaystyle U\subseteq X}$ такой, что ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ скудный (где ${\displaystyle \bigtriangleup }$ обозначает симметричная разница ).^[1] Дальше, ${\displaystyle A}$ имеет Собственность Бэра в узком смысле если для каждого подмножества ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle X}$ Перекресток ${\displaystyle A\cap E}$ обладает свойством Бэра относительно ${\displaystyle E}$. ^[2]

Семейство множеств со свойством Бэра образует σ-алгебра. Это дополнять почти открытого набора почти открыта, а любой счетный союз или же пересечение почти открытых наборов снова почти открыт.^[1] Поскольку каждое открытое множество почти открыто (пустое множество скудно), отсюда следует, что каждый Набор Бореля почти открыт.

Если подмножество Польское пространство обладает свойством Бэра, то соответствующее ему Игра Банаха – Мазура является определенный. Обратное неверно; однако, если каждая игра в данном адекватный класс Γ определяется, то каждый набор в Γ находится в собственности Бэра. Следовательно, из проективная детерминированность, что, в свою очередь, следует из достаточного большие кардиналы, что каждый проективный набор (в польском пространстве) принадлежит Бэру.^[3]

Это следует из аксиома выбора что есть наборы реалы без собственности Бэра. В частности, Виталий набор не имеет собственности Бэра.^[4] Достаточно уже более слабых вариантов выбора: Теорема о булевом простом идеале подразумевает, что существует неглавный ультрафильтр на съемках натуральные числа; каждый такой ультрафильтр индуцирует через двоичное представление вещественных чисел набор вещественных чисел без свойства Бэра.^[5]

Смотрите также

• Теорема Бэра о категории

Рекомендации

1. Окстоби, Джон К. (1980), «4. Собственность Бэра», Мера и категория, Тексты для выпускников по математике, 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN  978-0-387-90508-2.
2. Куратовски, Казимеж (1966), Топология. Vol. 1, Academic Press и Польские научные издательства.
3. Беккер, Говард; Кечрис, Александр С. (1996), Теория описательных множеств действий польских групп, Серия лекций Лондонского математического общества, 232, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 69, Дои:10.1017 / CBO9780511735264, ISBN  0-521-57605-9, МИСТЕР  1425877.
4. Окстоби (1980), п. 22.
5. Бласс, Андреас (2010), «Ультрафильтры и теория множеств», Ультрафильтры по математике, Современная математика, 530, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 49–71, Дои:10.1090 / conm / 530/10440, МИСТЕР  2757533. См. В частности п. 64.

внешняя ссылка

• Статья Springer Encyclopaedia of Mathematics о свойстве Бэра