Союз (теория множеств) - Union (set theory) - Wikipedia

Союз двух наборов:
${\displaystyle ~A\cup B}$

Союз трех комплектов:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

Объединение A, B, C, D и E - это все, кроме белой области.

В теория множеств, то союз (обозначается ∪) набора наборы это набор всех элементы в коллекции.^[1] Это одна из основных операций, с помощью которой наборы могут быть объединены и связаны друг с другом.

Для объяснения символов, используемых в этой статье, обратитесь к таблица математических символов.

Союз двух наборов

Объединение двух множеств А и B это набор элементов, находящихся в А, в B, или в обоих А и B.^[2] В символах

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$.^[3]

Например, если А = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, тогда А ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):

А = {Икс это даже целое число больше 1}

B = {Икс является нечетным целым числом больше 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Другой пример: цифра 9 - это нет содержащиеся в объединении множества простые числа {2, 3, 5, 7, 11, ...} и набор четные числа {2, 4, 6, 8, 10, ...}, потому что 9 не является ни простым, ни четным.

Наборы не могут иметь повторяющихся элементов,^[3][4] так что объединение наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Наличие нескольких одинаковых элементов не влияет на мощность комплекта или его содержимого.

Алгебраические свойства

Бинарный союз - это ассоциативный операция; то есть для любых наборов А, B, и C,

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$

Операции могут выполняться в любом порядке, круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности (т. Е. Любое из вышеперечисленных может быть эквивалентно выражено как А ∪ B ∪ C). Точно так же союз коммутативный, поэтому наборы можно записывать в любом порядке.^[5]

В пустой набор является элемент идентичности для работы союза. То есть, А ∪ ∅ = А, для любого набора А. Это следует из аналогичных фактов о логическая дизъюнкция.

Поскольку наборы с штуцерами и перекрестки сформировать Булева алгебра, пересечение распределяется по объединению

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

и союз распределяет по пересечению

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ .^[2]

В рамках данного универсальный набор, объединение можно записать в терминах операций пересечения и дополнять в качестве

${\displaystyle A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}}$

где верхний индекс ^C обозначает дополнение по отношению к универсальный набор.

Наконец, идемпотентность:

${\displaystyle A\cup A=A}$

Конечные союзы

Можно взять объединение нескольких множеств одновременно. Например, объединение трех наборов А, B, и C содержит все элементы А, все элементы B, и все элементы C, и ничего больше. Таким образом, Икс является элементом А ∪ B ∪ C если и только если Икс находится по крайней мере в одном из А, B, и C.

А конечный союз является объединением конечного числа множеств; фраза не подразумевает, что объединенное множество конечный набор.^[6][7]

Произвольные союзы

Наиболее общее понятие - объединение произвольного набора множеств, иногда называемого бесконечный союз. Если M это набор или учебный класс элементами которого являются множества, то Икс является элементом объединения M если и только если есть хотя бы один элемент А из M такой, что Икс является элементом А.^[8] В символах:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Эта идея включает предыдущие разделы - например, А ∪ B ∪ C является объединением коллекции {А, B, C}. Кроме того, если M - пустой набор, тогда объединение M это пустое множество.

Обозначения

Обозначения общей концепции могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ часто пишут ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ или же ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$. Различные общие обозначения для произвольных союзов включают: ${\displaystyle \bigcup \mathbf {M} }$, ${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$, и ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$.^[9] Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$, куда я является набор индексов и ${\displaystyle A_{i}}$ это набор для каждого ${\displaystyle i\in I}$. В случае, если индекс установлен я это набор натуральные числа, используются обозначения ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$, что аналогично бесконечные суммы последовательно.^[8]

Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается в большем размере.

Смотрите также

• Математический портал

• Алгебра множеств
• Чередование (формальная теория языка), объединение наборов строк
• Аксиома союза
• Несвязный союз
• Пересечение (теория множеств)
• Итерированная двоичная операция
• Список установленных идентичностей и отношений
• Наивная теория множеств
• Симметричная разница

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Союз». Математический мир Вольфрама. В архиве из оригинала от 07.02.2009. Получено 2009-07-14.
2. «Операции над множеством | Объединение | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение». www.probabilitycourse.com. Получено 2020-09-05.
3. Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (01.01.2002). Основная теория множеств. American Mathematical Soc. ISBN  9780821827314.
4. деХаан, Лекс; Коппелаарс, Мультфильмы (2007-10-25). Прикладная математика для специалистов по базам данных. Апресс. ISBN  9781430203483.
5. Халмос, П. Р. (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств. Springer Science & Business Media. ISBN  9781475716450.
6. Дасгупта, Абхиджит (11 декабря 2013 г.). Теория множеств: введение в наборы реальных точек. Springer Science & Business Media. ISBN  9781461488545.
7. "Конечное соединение конечных множеств конечно - ProofWiki". proofwiki.org. В архиве из оригинала 11 сентября 2014 г.. Получено 29 апреля 2018.
8. Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Стрит (2014-08-01). Переход к высшей математике. Cengage Learning. ISBN  9781285463261.
9. «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-09-05.

внешняя ссылка

• «Союз наборов», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Бесконечный союз и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана формально доказаны аксиомами теории множеств.