Аксиома ограничения размера - Axiom of limitation of size

Джон фон Нейман

В теория множеств, то аксиома ограничения размера был предложен Джон фон Нейман в его 1925 система аксиом за наборы и классы.^[1] Он формализует ограничение размера принцип, позволяющий избежать парадоксов, встречающихся в более ранних формулировках теория множеств признавая, что некоторые классы слишком велики, чтобы их можно было установить. Фон Нейман понял, что парадоксы вызваны тем, что этим большим классам разрешается быть членами класса.^[2] Класс, который является членом класса, - это набор; класс, который не является набором, является правильный класс. Каждый класс - это подкласс из V, класс всех множеств.^[а] Аксиома ограничения размера гласит, что класс является множеством тогда и только тогда, когда он меньше, чем V - то есть нет функции, отображающей его на V. Обычно эта аксиома формулируется в эквивалент форма: класс является правильным тогда и только тогда, когда есть функция, которая отображает его на V.

Из аксиомы фон Неймана следует аксиома замена, разделение, союз, и глобальный выбор. Это эквивалентно комбинации замены, объединения и глобального выбора в Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. (NBG) и Теория множеств Морса – Келли. Более поздние изложения классовых теорий, например, Пол Бернейс, Курт Гёдель, и Джон Л. Келли - использовать аксиому замены, объединения и выбора, эквивалентную глобальному выбору, а не аксиоме фон Неймана.^[3] В 1930 г. Эрнст Цермело определенные модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме ограничения размера.^[4]

Авраам Френкель и Азриэль Леви заявили, что аксиома ограничения размера не отражает всей «доктрины ограничения размера», потому что она не подразумевает аксиома набора мощности.^[5] Майкл Халлетт утверждал, что доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому множеств степеней и что «явное предположение фон Неймана [о малости множеств степеней] кажется предпочтительным по сравнению с неявно скрытыми предположениями Цермело, Френкеля и Леви. скрытый предположение о малости мощностей ".^[6]

Официальное заявление

Обычная версия аксиомы ограничения размера - класс является правильным тогда и только тогда, когда существует функция, которая отображает его на V - выражается в формальный язык теории множеств как:

${displaystyle {egin{aligned}forall C{Bigl [}lnot exists Dleft(Cin Dight)iff exists F{igl [}&,forall y{igl (}exists D(yin D)implies exists x[,xin Cland (x,y)in F,]{igr )}&,land ,forall xforall yforall z{igl (},[,(x,y)in Fland (x,z)in F,]implies y=z{igr )},{igr ]},{Bigr ]}end{aligned}}}$

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные верхнего регистра распространяются по всем классам, а переменные нижнего регистра - по всем наборам.^[7] Это соглашение позволяет нам писать:

• ${displaystyle exists y,varphi (y)}$ вместо ${displaystyle exists y{igl (}exists D(yin D)land varphi (y){igr )}}$
• ${displaystyle forall y,varphi (y)}$ вместо ${displaystyle forall y{igl (}exists D(yin D)implies varphi (y){igr )}}$

В соответствии с соглашением Гёделя аксиома ограничения размера может быть записана:

${displaystyle {egin{aligned}forall C{Bigl [}lnot exists Dleft(Cin Dight)iff exists F{igl [}&,forall yexists x{igl (}xin Dland (x,y)in F{igr )}&,land ,forall xforall yforall z{igl (},[,(x,y)in Fland (x,z)in F,]implies y=z{igr )},{igr ]},{Bigr ]}end{aligned}}}$

Последствия аксиомы

Фон Нейман доказал, что из аксиомы ограничения размера следует аксиома замены, который можно выразить как: Если F это функция и А это набор, то F(А) - это множество. Это доказано от противного. Позволять F быть функцией и А быть набором. Предположить, что F(А) - собственный класс. Тогда есть функция грамм что отображает F(А) на V. Поскольку составная функция грамм ∘ F карты А на V, из аксиомы ограничения размера следует, что А - собственный класс, что противоречит А будучи набором. Следовательно, F(А) - это множество. Поскольку аксиома замены влечет аксиому разделения, из аксиомы ограничения размера следует аксиома разделения.^[b]

Фон Нейман также доказал, что из его аксиомы следует, что V возможно хорошо организованный. Доказательство начинается с доказательства от противного, что Ord, класс всех порядковые, это правильный класс. Предположить, что Ord это набор. Поскольку это переходный набор который упорядочен по ∈, это порядковый номер. Так Ord ∈ Ord, что противоречит Ord упорядочены по ∈. Следовательно, Ord это правильный класс. Итак, из аксиомы фон Неймана следует, что существует функция F что отображает Ord на V. Чтобы определить порядок V, позволять грамм быть подклассом F состоящий из упорядоченных пар (α,Икс), где α - наименьшее β такое, что (β,Икс) ∈ F; то есть, грамм = {(α,Икс) ∈ F : ∀β ((β,Икс) ∈ F ⇒ α ≤ β)}. Функция грамм это индивидуальная переписка между подмножеством Ord и V. Следовательно, Икс < у если грамм⁻¹(х) <грамм⁻¹(y) определяет хороший порядок V. Этот порядок определяет глобальный функция выбора: Позволять Inf (Икс) - наименьший элемент непустого множества Икс. С Inf (Икс) ∈ Икс, эта функция выбирает элемент Икс для каждого непустого набора Икс. Следовательно, Inf (Икс) является функцией глобального выбора, поэтому из аксиомы фон Неймана следует аксиома глобального выбора.

В 1968 г. Азриэль Леви доказал, что из аксиомы фон Неймана следует аксиома союза. Во-первых, он доказал, не используя аксиому объединения, что каждый набор ординалов имеет верхнюю границу. Затем он использовал функцию, отображающую Ord на V доказать, что если А множество, то ∪ А - это набор.^[8]

Аксиомы замены, глобального выбора и объединения (с другими аксиомами NBG ) следует аксиома ограничения размера.^[c] Следовательно, эта аксиома эквивалентна комбинации замены, глобального выбора и объединения в NBG или Теория множеств Морса – Келли. Эти теории множеств только заменили аксиому замены и форму аксиомы выбора на аксиому ограничения размера, потому что система аксиом фон Неймана содержит аксиому объединения. Доказательство Леви, что эта аксиома излишне, пришло много лет спустя.^[9]

Аксиомы NBG с заменой аксиомы глобального выбора на обычную аксиома выбора не подразумевают аксиому ограничения размера. В 1964 г. Уильям Б. Истон использовал принуждение построить модель NBG с глобальным выбором заменяется аксиомой выбора.^[10] В модели Истона V не может быть линейно упорядоченный, поэтому его нельзя упорядочить. Следовательно, аксиома ограничения размера не работает в этой модели. Ord это пример правильного класса, который не может быть отображен на V потому что (как доказано выше), если существует отображение функции Ord на V, тогда V можно хорошо заказать.

Аксиомы NBG с заменой аксиомы замены более слабой аксиомой разделения не подразумевают аксиомы ограничения размера. Определять ${displaystyle omega _{alpha }}$ как ${displaystyle alpha }$-й бесконечный начальный порядковый номер, который также является кардинал ${displaystyle aleph _{alpha }}$; нумерация начинается в ${displaystyle 0}$, так ${displaystyle omega _{0}=omega .}$ В 1939 году Гёдель указал, что L_ωω, подмножество конструируемая вселенная, это модель ZFC с заменой заменено на разъединение.^[11] Чтобы расширить его до модели NBG с заменой на разделение, пусть его классами будут множества L_{ωω + 1}, которые являются конструктивными подмножествами L_ωω. Эта модель удовлетворяет аксиомам существования классов NBG, поскольку ограничивает набор переменных этих аксиом L_ωω производит экземпляры аксиомы разделенности, которая выполняется в L.^[d] Он удовлетворяет аксиоме глобального выбора, поскольку существует функция, принадлежащая L_{ωω + 1} который отображает ω_ω на L_ωω, откуда следует, что L_ωω упорядочен.^[e] Аксиома ограничения размера не выполняется, поскольку правильный класс {ω_п : п ∈ ω} имеет мощность ${displaystyle aleph _{0}}$, поэтому его нельзя отобразить на L_ωω, имеющая мощность ${displaystyle aleph _{omega }}$.^[f]

В письме Цермело 1923 года фон Нейман сформулировал первую версию своей аксиомы: класс является правильным тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между ним и V.^[2] Из аксиомы ограничения размера следует аксиома фон Неймана 1923 года. Следовательно, это также означает, что все собственные классы равномерный с V.

Доказательство того, что из аксиомы ограничения размера следует аксиома фон Неймана 1923 г. —

Чтобы доказать ${displaystyle Longleftarrow }$ направление, пусть ${displaystyle A}$ быть классом и ${displaystyle F}$ быть взаимно однозначным соответствием от ${displaystyle A}$ к ${displaystyle V.}$ С ${displaystyle F}$ карты ${displaystyle A}$ на ${displaystyle V,}$ аксиома ограничения размера означает, что ${displaystyle A}$ это правильный класс.

Чтобы доказать ${displaystyle Longrightarrow }$ направление, пусть ${displaystyle A}$ быть достойным классом. Мы определим хорошо упорядоченные классы ${displaystyle (A,<)}$ и ${displaystyle (V,<),}$ и построить изоморфизмы порядка между ${displaystyle (Ord,<),(A,<),}$ и ${displaystyle (V,<).}$ Тогда изоморфизм порядка из ${displaystyle (A,<)}$ к ${displaystyle (V,<)}$ взаимно однозначное соответствие между ${displaystyle A}$ и ${displaystyle V.}$

Выше было доказано, что из аксиомы ограничения размера следует, что существует функция ${displaystyle F}$ что отображает ${displaystyle Ord}$ на ${displaystyle V.}$ Также, ${displaystyle G}$ был определен как подкласс ${displaystyle F}$ это взаимно однозначное соответствие между ${displaystyle Dom(G)}$ и ${displaystyle V.}$ Это определяет хороший порядок на ${displaystyle Vcolon ,x<y,}$ если ${displaystyle G^{-1}(x)<G^{-1}(y).}$ Следовательно, ${displaystyle G}$ является изоморфизмом порядка из ${displaystyle (Dom(G),<)}$ к ${displaystyle (V,<).}$

Если ${displaystyle (C,<)}$ - упорядоченный класс, его собственными начальными сегментами являются классы ${displaystyle {xin C:x<y}}$ куда ${displaystyle yin C.}$ Сейчас же ${displaystyle (Ord,<)}$ обладает тем свойством, что все его собственные начальные сегменты являются наборами. С ${displaystyle Dom(G)subseteq Ord,}$ это свойство справедливо для ${displaystyle (Dom(G),<).}$ Порядковый изоморфизм ${displaystyle G}$ следует, что это свойство выполняется для ${displaystyle (V,<).}$ С ${displaystyle Asubseteq V,}$ это свойство справедливо для ${displaystyle (A,<).}$

Чтобы получить изоморфизм порядка из ${displaystyle (A,<)}$ к ${displaystyle (V,<),}$ используется следующая теорема: если ${displaystyle P}$ - собственный класс, а собственные начальные сегменты ${displaystyle (P,<)}$ являются множествами, то существует порядковый изоморфизм из ${displaystyle (Ord,<)}$ к ${displaystyle (P,<).}$^[грамм] С ${displaystyle (A,<)}$ и ${displaystyle (V,<)}$ удовлетворяют условию теоремы, существуют изоморфизмы порядка ${displaystyle I_{A}colon (Ord,<)ightarrow (A,<)}$ и ${displaystyle I_{V}colon (Ord,<)ightarrow (V,<).}$ Следовательно, изоморфизм порядка ${displaystyle I_{V}circ I_{A}^{-1}colon (A,<)ightarrow (V,<)}$ взаимно однозначное соответствие между ${displaystyle A}$ и ${displaystyle V.}$

Модели Цермело и аксиома ограничения размера

Эрнст Цермело в 1900-х годах

В 1930 году Цермело опубликовал статью о моделях теории множеств, в которой доказал, что некоторые из его моделей удовлетворяют аксиоме ограничения размера.^[4] Эти модели встроены в ZFC используя совокупная иерархия V_α, который определяется трансфинитная рекурсия:

1. V₀ = ∅.^[час]
2. V_{α + 1} = V_α ∪ п(V_α). Это союз из V_α и это набор мощности.^[я]
3. Для предела β: V_β = ∪_{α <β} V_α. То есть, V_β это объединение предшествующих V_α.

Цермело работал с моделями формы V_κ где κ - кардинал. Классы модели - это подмножества из V_κ, а ∈-отношение модели является стандартным ∈-отношением. Наборы модели - это классы Икс такой, что Икс ∈ V_κ.^[j] Цермело определил таких кардиналов κ, что V_κ удовлетворяет:^[12]

Теорема 1. Класс Икс является множеством тогда и только тогда, когда |Икс| <κ.

Теорема 2. |V_κ| = κ.

Поскольку каждый класс является подмножеством V_κ, Из теоремы 2 следует, что каждый класс Икс имеет мощность ≤ κ. Объединение этого с теоремой 1 доказывает: каждый собственный класс имеет мощность κ. Следовательно, каждый собственный класс может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с V_κ. Это соответствие является подмножеством V_κ, так что это класс модели. Следовательно, аксиома ограничения размера верна для модели V_κ.

Теорема о том, что V_κ имеет хороший порядок может быть доказано прямо. Поскольку κ - ординал мощности κ и |V_κ| = κ, существует индивидуальная переписка между κ и V_κ. Это соответствие дает хорошее упорядочение V_κ. Доказательство фон Неймана косвенный. Он использует Парадокс Бурали-Форти доказать от противного, что класс всех ординалов является собственным классом. Следовательно, аксиома ограничения размера подразумевает, что существует функция, которая отображает класс всех ординалов на класс всех множеств. Эта функция позволяет упорядочить V_κ.^[13]

Модель V_ω

Чтобы показать, что теоремы 1 и 2 верны для некоторых V_κ, сначала докажем, что если множество принадлежит V_α то он принадлежит всем последующим V_β, или эквивалентно: V_α ⊆ V_β для α ≤ β. Это доказано трансфинитная индукция на β:

1. β = 0: V₀ ⊆ V₀.
2. Для β + 1: по предположению индукции V_α ⊆ V_β. Следовательно, V_α ⊆ V_β ⊆ V_β ∪ п(V_β) = V_{β + 1}.
3. Для предела β: если α <β, то V_α ⊆ ∪_{ξ <β} V_ξ = V_β. Если α = β, то V_α ⊆ V_β.

Наборы входят в совокупную иерархию через набор мощности п(V_β) на шаге β + 1. Потребуются следующие определения:

Если Икс это набор, классифицировать (Икс) - наименьший ординал β такой, что Икс ∈ V_{β + 1}.^[14]

В супремум набора ординалов A, обозначаемого sup A, является наименьшим ординалом β таким, что α ≤ β для всех α ∈ A.

Самая маленькая модель Цермело - это V_ω. Математическая индукция доказывает, что V_п является конечный для всех п <ω:

1. |V₀| = 0.
2. |V_п+1| = |V_п ∪ п(V_п)| ≤ |V_п| + 2 ^|V_п|, что конечно, поскольку V_п конечно по индуктивному предположению.

Доказательство теоремы 1: множество Икс входит V_ω через п(V_п) для некоторых п <ω, поэтому Икс ⊆ V_п. С V_п конечно, Икс конечно. Наоборот: Если класс Икс конечно, пусть N = sup {ранг (Икс): Икс ∈ Икс}. Поскольку ранг (Икс) ≤ N для всех Икс ∈ Икс, у нас есть Икс ⊆ V_N+1, так Икс ∈ V_N+2 ⊆ V_ω. Следовательно, Икс ∈ V_ω.

Доказательство теоремы 2: V_ω это союз счетно бесконечно множество конечных наборов увеличивающегося размера. Следовательно, он имеет мощность ${displaystyle aleph _{0}}$, что равно ω по Кардинальное назначение фон Неймана.

Наборы и классы V_ω удовлетворяют всем аксиомам NBG, кроме аксиома бесконечности.^[k]

Модели V_κ где κ - сильно недоступный кардинал

Два свойства конечности использовались при доказательстве теорем 1 и 2 для V_ω:

1. Если λ - конечный кардинал, то 2^λ конечно.
2. Если А набор ординалов такой, что |А| конечно, а α конечно для всех α ∈А, тогда supА конечно.

Чтобы найти модели, удовлетворяющие аксиоме бесконечности, замените «конечный» на «<κ», чтобы получить свойства, определяющие сильно труднодоступные кардиналы. Кардинал κ сильно недоступен, если κ> ω и:

1. Если λ - такой кардинал, что λ <κ, то 2^λ <κ.
2. Если А набор ординалов такой, что |А| <κ и α <κ для всех α ∈А, тогда supА <κ.

Эти свойства утверждают, что κ нельзя достичь снизу. Первое свойство говорит, что κ не может быть достигнуто с помощью наборов мощности; второй говорит, что κ не может быть достигнуто с помощью аксиомы замены.^[l] Подобно тому, как аксиома бесконечности требуется для получения ω, аксиома необходима для получения сильно недоступных кардиналов. Цермело постулировал существование неограниченной последовательности сильно недоступных кардиналов.^[м]

Если κ - сильно недоступный кардинал, то трансфинитная индукция доказывает |V_α| <κ для всех α <κ:

1. α = 0: |V₀| = 0.
2. Для α + 1: |V_{α + 1}| = |V_α ∪ п(V_α)| ≤ |V_α| + 2 ^|V_α| = 2 ^|V_α| <κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу, а κ строго недоступен.
3. Для предела α: |V_α| = |∪_{ξ <α} V_ξ| ≤ sup {|V_ξ| : ξ <α} <κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу, а κ строго недоступен.

Доказательство теоремы 1: множество Икс входит V_κ через п(V_α) для некоторого α <κ, поэтому Икс ⊆ V_α. Поскольку |V_α| <κ, получаем |Икс| <κ. И наоборот: если класс Икс имеет |Икс| <κ, пусть β = sup {rank (Икс): Икс ∈ Икс}. Поскольку κ сильно недоступен, |Икс| <κ и ранг (Икс) <κ для всех Икс ∈ Икс следует β = sup {rank (Икс): Икс ∈ Икс} <κ. Поскольку ранг (Икс) ≤ β для всех Икс ∈ Икс, у нас есть Икс ⊆ V_{β + 1}, так Икс ∈ V_{β + 2} ⊆ V_κ. Следовательно, Икс ∈ V_κ.

Доказательство теоремы 2: |V_κ| = |∪_{а <κ} V_α| ≤ sup {|V_α| : α <κ}. Пусть β - этот супремум. Поскольку каждый ординал в супремуме меньше κ, мы имеем β ≤ κ. Предположим, что β <κ. Тогда существует такой кардинал λ, что β <λ <κ; например, пусть λ = 2^{| β |}. Поскольку λ ⊆ V_λ и |V_λ| находится в супремуме, имеем λ ≤ |V_λ| ≤ β. Это противоречит β <λ. Следовательно, |V_κ| = β = κ.

Наборы и классы V_κ удовлетворяют всем аксиомам NBG.^[n]

Доктрина ограничения размера

Доктрина ограничения размера - это эвристический принцип, который используется для обоснования аксиом теории множеств. Он позволяет избежать теоретических парадоксов, ограничивая полную (противоречивую) схему аксиомы понимания:

${displaystyle forall w_{1},ldots ,w_{n},exists x,forall u,(uin xiff varphi (u,w_{1},ldots ,w_{n}))}$

экземплярам, ​​«которые не дают наборов« намного больше », чем те, которые они используют».^[15]

Если «больше» означает «больше по количеству», то большинство аксиом может быть оправдано: аксиома разделения дает подмножество Икс это не больше чем Икс. Аксиома замены дает набор изображений ж(Икс) не больше, чем Икс. Аксиома объединения дает объединение, размер которого не превышает размера самого большого набора в объединении, умноженного на количество наборов в объединении.^[16] Аксиома выбора порождает набор выбора, размер которого не превышает размер данного набора непустых множеств.

Доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому бесконечности:

${displaystyle exists y,[emptyset in y,land ,forall x(xin yimplies xcup {x}in y)],}$

который использует пустой набор и множества, полученные из пустого множества, повторяя порядковая операция преемника. Поскольку эти множества конечны, любое множество, удовлетворяющее этой аксиоме, например ω, намного больше этих множеств. Френкель и Леви рассматривают пустое множество и бесконечное множество натуральные числа, существование которой подразумевается аксиомами бесконечности и разделенности, в качестве отправной точки для порождающих множеств.^[17]

Подход фон Неймана к ограничению размера использует аксиому ограничения размера. Как упоминалось в Последствия аксиомы, аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы разделения, замены, объединения и выбора. Подобно Френкелю и Леви, фон Нейману пришлось добавить аксиому бесконечности к своей системе, поскольку она не может быть доказана с помощью других его аксиом.^[o] Различия между подходом фон Неймана к ограничению размера и подходом Френкеля и Леви заключаются в следующем:

• Аксиома фон Неймана помещает ограничение размера в систему аксиом, что позволяет доказать большинство установленных аксиом существования. Доктрина ограничения размера оправдывает аксиомы, используя неформальные аргументы, которые более открыты для разногласий, чем доказательства.
• Фон Нейман принял аксиому о множестве степеней, поскольку ее нельзя доказать с помощью других его аксиом.^[п] Френкель и Леви утверждают, что доктрина ограничения размера оправдывает аксиому набора силы.^[18]

Существуют разногласия по поводу того, оправдывает ли доктрина ограничения размера аксиому набора власти. Майкл Халлетт проанализировал аргументы Френкеля и Леви. Некоторые из их аргументов измеряют размер не по количеству, а по другим критериям - например, Френкель вводит «полноту» и «расширяемость». Халлетт указывает на то, что он считает ошибками в их аргументах.^[19]

Затем Халлетт утверждает, что результаты теории множеств, по-видимому, подразумевают отсутствие связи между размером бесконечного множества и размером его набора степеней. Это означало бы, что доктрина ограничения размера неспособна оправдать аксиому множества степеней, поскольку требует, чтобы Икс не "намного больше", чем Икс. В случае, когда размер измеряется кардинальным размером, Халлетт упоминает Пол Коэн работа.^[20] Начиная с модели ZFC и ${displaystyle aleph _{alpha }}$, Коэн построил модель, в которой мощность набора степеней ω равна ${displaystyle aleph _{alpha }}$ если конфинальность из ${displaystyle aleph _{alpha }}$ не является ω; в противном случае его мощность равна ${displaystyle aleph _{alpha +1}}$.^[21] Поскольку мощность множества степеней ω не имеет границ, нет связи между кардинальным размером ω и кардинальным размером п(ω).^[22]

Халлетт также обсуждает случай, когда размер измеряется «полнотой», которая считает коллекцию «слишком большой», если она имеет «неограниченное понимание» или «неограниченный объем».^[23] Он указывает, что для бесконечного множества мы не можем быть уверены, что у нас есть все его подмножества, не пройдя через безграничные пределы вселенной. Он также цитирует Джон Л. Белл и Моше Мачовер: "... силовой набор п(ты) данного [бесконечного] множества ты пропорциональна не только размеру ты но и к «богатству» всей вселенной ... »^[24] После этих наблюдений Халлетт заявляет: «Можно заподозрить, что существует просто нет ссылки между размером (полнотой) бесконечного а и размер п(а)."^[20]

Халлетт считает, что доктрина ограничения размера ценна для обоснования большинства аксиом теории множеств. Его аргументы только указывают на то, что он не может оправдать аксиомы бесконечности и мощности.^[25] Он заключает, что «явное предположение фон Неймана [о малости наборов степеней] кажется предпочтительнее, чем неявно скрытые предположения Цермело, Френкеля и Леви. скрытый предположение о малости мощностей ".^[6]

История

Фон Нейман разработал аксиому ограничения размера как новый метод идентификации множеств. ZFC идентифицирует множества через свои аксиомы построения множества. Однако, как Авраам Френкель указал: «Довольно произвольный характер процессов, выбранных в аксиомах Z [ZFC] в качестве основы теории оправдывается историческим развитием теории множеств, а не логическими аргументами ».^[26]

Историческое развитие аксиом ZFC началось в 1908 году, когда Цермело выбрал аксиомы, чтобы устранить парадоксы и поддержать свое доказательство теорема о хорошем порядке.^[q] В 1922 году Авраам Френкель и Торальф Сколем указал, что Аксиомы Цермело не может доказать существование множества {Z₀, Z₁, Z₂, ...} куда Z₀ это набор натуральные числа, и Z_п+1 это набор мощности Z_п.^[27] Они также ввели аксиому замены, которая гарантирует существование этого множества.^[28] Однако добавление аксиом по мере необходимости не гарантирует существования всех разумных наборов и не проясняет разницу между наборами, которые безопасны в использовании, и коллекциями, которые приводят к противоречиям.

В письме Цермело от 1923 года фон Нейман изложил подход к теории множеств, который определяет «слишком большие» множества, которые могут привести к противоречиям.^[р] Фон Нейман идентифицировал эти множества, используя критерий: «Множество« слишком велико »тогда и только тогда, когда оно эквивалент с набором всех вещей ". Затем он ограничил то, как эти наборы могут быть использованы:" ... во избежание парадоксов те [наборы], которые являются "слишком большими", объявлены недопустимыми, поскольку элементы."^[29] Объединив это ограничение со своим критерием, фон Нейман получил свою первую версию аксиомы ограничения размера, которая на языке классов гласит: класс является собственным классом тогда и только тогда, когда он равен V.^[2] К 1925 году фон Нейман модифицировал свою аксиому, изменив «она равносильна V "в" это может быть отображено на V ", который дает аксиому ограничения размера. Эта модификация позволила фон Нейману дать простое доказательство аксиомы замены.^[1] Аксиома фон Неймана определяет множества как классы, которые не могут быть отображены на V. Фон Нейман понял, что даже с этой аксиомой его теория множеств не полностью характеризует множества.^[s]

Гедель счел аксиому фон Неймана «очень интересной»:

«В частности, я считаю, что его необходимое и достаточное условие [фон Неймана], которому свойство должно удовлетворять, чтобы определить множество, представляет большой интерес, поскольку оно проясняет отношение аксиоматической теории множеств к парадоксам. понимает суть вещей, видно из того факта, что он подразумевает аксиому выбора, которая раньше стояла совершенно отдельно от других экзистенциальных принципов. Выводы, граничащие с парадоксами, которые стали возможными благодаря такому взгляду на вещи, кажутся на мой взгляд, не только очень элегантно, но и очень интересно с логической точки зрения.^[т] Более того, я считаю, что, только идя дальше в этом направлении, то есть в направлении, противоположном конструктивизм, будут ли решены основные проблемы абстрактной теории множеств ».^[30]

Примечания

1. Доказательство: Пусть А быть классом и Икс ∈ А. потом Икс это набор, поэтому Икс ∈ V. Следовательно, А ⊆ V.
2. Доказательство, использующее аксиому фон Неймана: пусть А быть набором и B быть подклассом, порожденным аксиомой разделения. Используя доказательство от противного, предположим B это правильный класс. Тогда есть функция F отображение B на V. Определите функцию грамм отображение А к V: если Икс ∈ B тогда грамм(Икс) = F(Икс); если Икс ∈ А  B тогда грамм(Икс) = ∅. С F карты А на V, грамм карты А на V. Таким образом, аксиома ограничения размера подразумевает, что А - собственный класс, что противоречит А будучи набором. Следовательно, B это набор.
3. Это можно перефразировать так: NBG подразумевает аксиому ограничения размера. В 1929 году фон Нейман доказал, что система аксиом, которая позже превратилась в NBG, подразумевает аксиому ограничения размера. (Феррейрос 2007, п. 380 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFFerreirós2007 (помощь).)
4. Переменная множества аксиомы ограничена в правой части «тогда и только тогда». Кроме того, переменные класса аксиомы преобразуются в переменные набора. Например, аксиома существования класса ${displaystyle forall A,exists B,forall u,[uin BLeftrightarrow uotin A)]}$ становится ${displaystyle forall a,exists b,forall u,[uin bLeftrightarrow (uin L_{omega _{omega }}land uotin a)].}$ Аксиомы существования классов находятся в Гёдель 1940, п. 5.
5. Гёдель определил функцию ${displaystyle F}$ который отображает класс ординалов на ${displaystyle L}$. Функция ${displaystyle {F|}_{omega _{omega }}}$ (какой ограничение из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle omega _{omega }}$) карты ${displaystyle omega _{omega }}$ на ${displaystyle L_{omega _{omega }}}$, и он принадлежит ${displaystyle L_{omega _{omega +1}}}$ потому что это конструктивное подмножество ${displaystyle L_{omega _{omega }}}$. Гёдель использует обозначение ${displaystyle F''omega _{alpha }}$ за ${displaystyle L_{omega _{alpha }}}$. (Гёдель 1940, стр. 37–38, 54.)
6. Доказательство от противного, что ${displaystyle {omega _{n}:nin omega }}$ это правильный класс: Предположим, что это набор. По аксиоме союза ${displaystyle cup ,{omega _{n}:nin omega }}$ это набор. Этот союз равен ${displaystyle omega _{omega }}$, собственный класс модели всех ординалов, что противоречит тому, что объединение является набором. Следовательно, ${displaystyle {omega _{n}:nin omega }}$ это правильный класс.
   Доказательство того, что ${displaystyle |L_{omega _{omega }}|=aleph _{omega }!:}$ Функция ${displaystyle {F|}_{omega _{omega }}}$ карты ${displaystyle omega _{omega }}$ на ${displaystyle L_{omega _{omega }}}$, так ${displaystyle |L_{omega _{omega }}|leq |omega _{omega }|.}$ Также, ${displaystyle omega _{omega }subseteq L_{omega _{omega }}}$ подразумевает ${displaystyle |omega _{omega }|leq |L_{omega _{omega }}|.}$ Следовательно, ${displaystyle |L_{omega _{omega }}|=|omega _{omega }|=aleph _{omega }.}$
7. Это первая половина теоремы 7.7 в Гёдель 1940, п. 27. Гёдель определяет изоморфизм порядка ${displaystyle F:(Ord,<)ightarrow (A,<)}$ к трансфинитная рекурсия: ${displaystyle F(alpha )=Inf(Asetminus {F(eta ):eta in alpha }).}$
8. Это стандартное определение V₀. Цермело пусть V₀ быть набором урэлементы и доказал, что если это множество содержит единственный элемент, результирующая модель удовлетворяет аксиоме ограничения размера (его доказательство также работает для V₀ = ∅). Цермело заявил, что эта аксиома не верна для всех моделей, построенных из набора элементов. (Цермело 1930, п. 38; Английский перевод: Эвальд 1996, п. 1227.)
9. Это определение Цермело (Цермело 1930, п. 36; Английский перевод: Эвальд 1996, п. 1225.). Если V₀ = ∅, это определение эквивалентно стандартному определению V_{α + 1} = п(V_α) поскольку V_α ⊆ п(V_α) (Кунен 1980, п. 95; Кунен использует обозначение R (α) вместо V_α). Если V₀ представляет собой набор мочевых элементов, стандартное определение исключает мочевые элементы на V₁.
10. Если Икс это набор, то есть класс Y такой, что Икс ∈ Y. С Y ⊆ V_κ, у нас есть Икс ∈ V_κ. Наоборот: если Икс ∈ V_κ, тогда Икс принадлежит классу, поэтому Икс это набор.
11. Цермело доказал, что V_ω удовлетворяет ZFC без аксиомы бесконечности. Аксиомы существования классов NBG (Гёдель 1940, п. 5) верны, потому что V_ω - это множество, если смотреть с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC). Следовательно, аксиома разделения дает подмножества V_ω удовлетворяющие аксиомам существования классов.
12. Цермело ввел сильно недоступные кардиналы κ так, чтобы V_κ удовлетворил бы ZFC. Аксиомы власти и замещения привели его к свойствам сильно недоступных кардиналов. (Цермело 1930, стр. 31–35; Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 1221–1224.) Самостоятельно, Вацлав Серпинский и Альфред Тарский представил этих кардиналов в 1930 году. (Серпинский и Тарский 1930.)
13. Цермело использовал эту последовательность кардиналов, чтобы получить последовательность моделей, объясняющих парадоксы теории множеств, такие как парадокс Бурали-Форти и Парадокс Рассела. Он заявил, что парадоксы «зависят исключительно от запутывания сама теория множеств ... с индивидуальным модели представляя это. То, что в одной модели выглядит как `` сверхконечное ненастроенное или сверхмножество '', в следующей модели является совершенно хорошим и действительным набором как с кардинальным числом, так и с порядковым типом, и само по себе является фундаментом для построения новый домен [модель]. "(Цермело 1930, стр. 46–47; Английский перевод: Эвальд 1996, п. 1223.)
14. Цермело доказал, что V_κ удовлетворяет ZFC, если κ - сильно недоступный кардинал. Аксиомы существования классов NBG (Гёдель 1940, п. 5) верны, потому что V_κ - это множество, если смотреть с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC + существует бесконечно много сильно недоступных кардиналов). Следовательно, аксиома разделения дает подмножества V_κ удовлетворяющие аксиомам существования классов.
15. Модель, множества которой являются элементами ${displaystyle V_{omega }}$ и чьи классы являются подмножествами ${displaystyle V_{omega }}$ удовлетворяет всем его аксиомам, кроме аксиомы бесконечности, которая не выполняется, потому что все множества конечны.
16. Модель, множества которой являются элементами ${displaystyle L_{omega _{1}}}$ и чьи классы являются элементами ${displaystyle L_{omega _{2}}}$ удовлетворяет всем его аксиомам, кроме аксиомы степенного множества. Эта аксиома неверна, потому что все множества счетны.
17. «... мы должны, с одной стороны, достаточно ограничить эти принципы [аксиомы], чтобы исключить все противоречия, а с другой стороны, принять их достаточно широко, чтобы сохранить все, что является ценным в этой теории». (Цермело 1908, п. 261; Английский перевод: van Heijenoort 1967a, п. 200). Грегори Мур утверждает, что «аксиоматизация Цермело была в первую очередь мотивирована желанием обеспечить демонстрацию им теоремы о правильном порядке ...» (Moore 1982, pp. 158–160).
18. Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 г. (фон Нейман 1925; Английский перевод: van Heijenoort 1967c ). В 1928 году он подробно описал свою систему (фон Нейман 1928 ).
19. Фон Нейман исследовал, верна ли его теория множеств. категоричный; то есть, определяет ли он однозначно множества в том смысле, что любые две его модели являются изоморфный. Он показал, что это не категорично из-за слабости аксиома регулярности: эта аксиома исключает только убывающие ∈-последовательности из существующих в модели; нисходящие последовательности могут все еще существовать вне модели. Модель, имеющая «внешние» убывающие последовательности, не изоморфна модели, не имеющей таких последовательностей, поскольку в этой последней модели отсутствуют изоморфные изображения для наборов, принадлежащих внешним убывающим последовательностям. Это привело фон Неймана к выводу, что «категоричной аксиоматизации теории множеств, похоже, вообще не существует» (фон Нейман 1925, п. 239; Английский перевод: van Heijenoort 1967c, п. 412).
20. Например, доказательство фон Неймана того, что его аксиома влечет за собой теорему о хорошем порядке, использует Парадокс Бурали-Форте (фон Нейман 1925, п. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c, п. 398).

Рекомендации

1. фон Нейман 1925, п. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c С. 397–398.
2. Халлетт 1984, п. 290.
3. Бернейс 1937, стр. 66–70; Бернейс 1941, стр. 1–6. Гёдель 1940, стр. 3–7. Келли 1955 С. 251–273.
4. Цермело 1930; Английский перевод: Эвальд 1996.
5. Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973, п. 137.
6. Халлетт 1984, п. 295.
7. Гёдель 1940, п. 3.
8. Леви 1968.
9. Это произошло 43 года спустя: фон Нейман сформулировал свои аксиомы в 1925 году, а доказательство Леви появилось в 1968 году (фон Нейман 1925, Леви 1968.)
10. Истон 1964, стр. 56а – 64.
11. Гёдель 1939, п. 223.
12. Эти теоремы являются частью второй теоремы Цермело о развитии. (Цермело 1930, п. 37; Английский перевод: Эвальд 1996, п. 1226.)
13. фон Нейман 1925, п. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c, п. 398. Доказательство фон Неймана, в котором используются только аксиомы, имеет то преимущество, что оно применяется ко всем моделям, а не только к V_κ.
14. Кунен 1980, п. 95.
15. Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973, стр. 32,137.
16. Халлетт 1984, п. 205.
17. Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973, п. 95.
18. Халлетт 1984 С. 200, 202.
19. Халлетт 1984 С. 200–207.
20. Халлетт 1984 С. 206–207.
21. Коэн 1966, п. 134.
22. Халлетт 1984, п. 207.
23. Халлетт 1984, п. 200.
24. Белл и Мачовер 2007, п. 509.
25. Халлетт 1984 С. 209–210.
26. Историческое введение в Бернейс 1991, п. 31.
27. Френкель 1922 С. 230–231. Сколем 1922 г.; Английский перевод: van Heijenoort 1967b С. 296–297).
28. Феррейрос 2007, п. 369 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFFerreirós2007 (помощь). В 1917 г. Дмитрий Мириманов опубликовал форму замены на основе кардинальной эквивалентности (Мириманов 1917, п. 49).
29. Халлетт 1984 С. 288, 290.
30. Из письма Гёделя от 8 ноября 1957 г. Станислав Улам (Канамори 2003, п. 295).

Библиография

• Белл, Джон Л .; Мачовер, Моше (2007), Курс математической логики, Elsevier Science Ltd, ISBN  978-0-7204-2844-5.
• Бернейс, Пол (1937), "Система аксиоматической теории множеств - Часть I", Журнал символической логики, 2 (1): 65–77, Дои:10.2307/2268862, JSTOR  2268862.
• Бернейс, Пол (1941), "Система аксиоматической теории множеств - Часть II", Журнал символической логики, 6 (1): 1–17, Дои:10.2307/2267281, JSTOR  2267281.
• Бернейс, Пол (1991), Аксиоматическая теория множеств, Dover Publications, ISBN  0-486-66637-9.
• Коэн, Пол (1966), Теория множеств и гипотеза континуума, В. А. Бенджамин, ISBN  978-0-486-46921-8.
• Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия обычных кардиналов (Докторская диссертация), Принстонский университет.
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-8349-7.
• Френкель, Авраам (1922), "Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre", Mathematische Annalen, 86 (3–4): 230–237, Дои:10.1007 / bf01457986.
• Френкель, Авраам; Бар-Гилель, Иегошуа; Леви, Азриэль (1973), Основы теории множеств (2-е исправленное изд.), Базель, Швейцария: Elsevier, ISBN  0-7204-2270-1.
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-8349-7.
• Гёдель, Курт (1939), «Доказательство непротиворечивости гипотезы обобщенного континуума» (PDF), Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 25 (4): 220–224, Дои:10.1073 / пнас.25.4.220, ЧВК  1077751, PMID  16588293.
• Гёдель, Курт (1940), Непротиворечивость гипотезы континуума, Princeton University Press.
• Халлетт, Майкл (1984), Канторовская теория множеств и ограничение размера, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  0-19-853179-6.
• Канамори, Акихиро (2003), "Станислав Улам" (PDF), в Соломоне Фефермане и Джоне У. Доусоне младшем (ред.), Собрание сочинений Курта Гёделя, том V: переписка H-Z, Clarendon Press, стр. 280–300, ISBN  0-19-850075-0.
• Келли, Джон Л. (1955), Общая топология, Ван Ностранд, ISBN  978-0-387-90125-1.
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости, Северная Голландия, ISBN  0-444-86839-9.
• Леви, Азриэль (1968), "О системе аксиом фон Неймана для теории множеств", Американский математический ежемесячный журнал, 75 (7): 762–763, Дои:10.2307/2315201, JSTOR  2315201.
• Мириманов, Дмитрий (1917), "Антиномии Рассела и Бурали-Форти и проблема фундаментальной теории ансамблей", L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52.
• Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние, Спрингер, ISBN  0-387-90670-3.
• Серпинский, Вацлав; Тарский, Альфред (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300, Дои:10.4064 / FM-15-1-292-300, ISSN  0016-2736.
• Сколем, Торальф (1922), "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", Matematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 июля 1922 г., стр. 217–232.
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967b), "Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств", От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг., Harvard University Press, стр. 290–301, ISBN  978-0-674-32449-7.
• фон Нейман, Джон (1925), "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 154: 219–240.
  • Английский перевод: Ван Хейеноорт, Жан (1967c), "Аксиоматизация теории множеств", От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг., Harvard University Press, стр. 393–413, ISBN  978-0-674-32449-7.
• фон Нейман, Джон (1928), "Die Axiomatisierung der Mengenlehre", Mathematische Zeitschrift, 27: 669–752, Дои:10.1007 / bf01171122.
• Цермело, Эрнст (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre", Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281, Дои:10.1007 / bf01449999.
  • Английский перевод: Ван Хейеноорт, Жан (1967a), "Исследования основ теории множеств", От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг., Harvard University Press, стр. 199–215, ISBN  978-0-674-32449-7.
• Цермело, Эрнст (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47, Дои:10.4064 / fm-16-1-29-47.
  • Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), "О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основах теории множеств", От Иммануила Канта до Давида Гильберта: справочник по основам математики, Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN  978-0-19-853271-2.