Дедекинд-бесконечное множество - Dedekind-infinite set

В математика, множество А является Дедекинд-бесконечный (назван в честь немецкого математика Ричард Дедекинд ) если какой-то правильный подмножество B из А является равномерный к А. В явном виде это означает, что существует биективная функция из А на некоторое собственное подмножество B из А. Набор есть Дедекинд-конечный если это не Дедекинд-бесконечность. Предложенная Дедекиндом в 1888 году, дедекиндова бесконечность была первым определением «бесконечности», которое не опиралось на определение понятия «бесконечность». натуральные числа.^[1]

До фундаментальный кризис математики показали необходимость более внимательного отношения к теории множеств, большинство математиков предполагается что набор бесконечный если и только если это Дедекинд-бесконечен. В начале двадцатого века Теория множеств Цермело – Френкеля, сегодня наиболее распространенная форма аксиоматическая теория множеств, был предложен в качестве аксиоматическая система сформулировать теория множеств без парадоксов, таких как Парадокс Рассела. Использование аксиом теории множеств Цермело – Френкеля с первоначально весьма спорным аксиома выбора включены (ZFC) можно показать, что множество дедекиндово конечно тогда и только тогда, когда оно конечный в смысле наличия конечного числа элементов. Однако существует модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF), в котором существует бесконечное дедекиндово конечное множество, что показывает, что аксиомы ZF недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое дедекиндово конечное множество имеет конечное число элементов.^[2]^[1] Есть определения конечности и бесконечности множеств помимо предложенного Дедекиндом, не зависящего от выбранной аксиомы.

Смутно связанное понятие - это понятие Дедекиндово-конечное кольцо. А звенеть называется дедекиндово-конечным кольцом, если ab = 1 подразумевает ба = 1 для любых двух элементов кольца а и б. Эти кольца еще называли прямо конечный кольца.

Сравнение с обычным определением бесконечного множества

Это определение "бесконечный набор "следует сравнить с обычным определением: набор А является бесконечный когда его нельзя поставить в биекцию с конечным порядковый, а именно набор вида {0, 1, 2, ..., п−1} для некоторого натурального числа п - бесконечное множество - это буквально «не конечное» в смысле взаимно однозначности.

Во второй половине XIX века большинство математики просто предполагал, что набор бесконечен если и только если это Дедекинда-бесконечность. Однако эту эквивалентность нельзя доказать с помощью аксиомы из Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиома выбора (AC) (обычно обозначается "ZF"). Полная сила AC не требуется, чтобы доказать эквивалентность; фактически, эквивалентность двух определений строго слабее, чем аксиома счетного выбора (CC). (См. Ссылки ниже.)

Дедекиндово-бесконечные множества в ZF

Множество А является Дедекинд-бесконечный если он удовлетворяет любому, а затем и всем из следующих эквивалентов (по ZF) условия:

оно имеет счетно бесконечный подмножество;
существует инъективное отображение из счетно бесконечного множества в А;
Существует функция ж : А → А то есть инъективный но нет сюръективный;
есть инъективная функция ж : N → А, куда N обозначает множество всех натуральные числа;

это вдвойне Дедекинд-бесконечный если:

есть функция ж : А → А это сюръективно, но не инъективно;

это слабо Дедекинд-бесконечный если он удовлетворяет любому, а затем и всем из следующих эквивалентов (по ZF) условия:

существует сюръективное отображение из А на счетно бесконечное множество;
мощь А Дедекинд-бесконечен;

и это бесконечный если:

для любого натурального числа п, нет взаимно однозначного соответствия из {0, 1, 2, ..., n − 1} на А.

Потом, ZF доказывает следующие импликации: Дедекинд-бесконечен ⇒ двойственно Дедекинд-бесконечен ⇒ слабо Дедекинд-бесконечен ⇒ бесконечен.

Существуют модели ZF имеющий бесконечное дедекиндово-конечное множество. Позволять А быть таким набором, и пусть B - множество конечных инъективный последовательности из А. С А бесконечно, функция "отбросить последний элемент" из B для себя сюръективно, но не инъективно, поэтому B двойственно Дедекинда-бесконечен. Однако, поскольку А Дедекиндово конечен, то B (если B имел счетно бесконечное подмножество, тогда используя тот факт, что элементы B инъективные последовательности, можно было бы показать счетное бесконечное подмножество А).

Когда множества имеют дополнительные структуры, оба вида бесконечности иногда могут быть доказаны эквивалентными над ZF. Например, ZF доказывает, что упорядоченное множество бесконечно по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно бесконечно.

История

Термин назван в честь немецкого математика. Ричард Дедекинд, который первым явным образом ввел определение. Примечательно, что это определение было первым определением «бесконечности», которое не основывалось на определении натуральные числа (если только не следует Пуанкаре и не считает понятие числа предшествующим даже понятию множества). Хотя такое определение было известно Бернар Больцано, ему было запрещено публиковать свои работы в каких-либо журналах, кроме самых малоизвестных, по условиям его политического изгнания из Пражский университет в 1819 г. Более того, определение Больцано было более точным отношением, которое поддерживалось между двумя бесконечными множествами, а не определением бесконечного множества как таковой.

Долгое время многие математики даже не допускали мысли, что может существовать различие между понятиями бесконечного множества и дедекиндово-бесконечного множества. Фактически, различие не было реализовано до тех пор, пока Эрнст Цермело сформулировал АК явно. Существование бесконечных дедекиндово конечных множеств изучалось Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед в 1912 г .; эти наборы сначала назывались посреднические кардиналы или же Кардиналы Дедекинда.

С всеобщим принятием аксиомы выбора в математическом сообществе эти вопросы, касающиеся бесконечных и дедекиндово-бесконечных множеств, стали менее важными для большинства математиков. Однако изучение дедекиндово-бесконечных множеств сыграло важную роль в попытке прояснить границу между конечным и бесконечным, а также важную роль в истории AC.

Отношение к аксиоме выбора

Поскольку каждое бесконечное упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду, и поскольку AC эквивалентно теорема о хорошем порядке заявляя, что каждый набор может быть хорошо упорядочен, ясно, что общий AC подразумевает, что каждое бесконечное множество является бесконечным по Дедекинду. Однако эквивалентность двух определений намного слабее, чем полная сила AC.

В частности, существует модель ZF в котором существует бесконечное множество без счетно бесконечный подмножество. Следовательно, в этой модели существует бесконечное дедекиндово конечное множество. Судя по вышесказанному, такой набор нельзя упорядочить в этой модели.

Если принять аксиому CC (т. Е. AC_ω), то всякое бесконечное множество дедекиндово. Однако эквивалентность этих двух определений на самом деле строго слабее, чем даже CC. В явном виде существует модель ZF в котором каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным, но CC не работает (при условии согласованности ZF).

Доказательство эквивалентности бесконечности в предположении аксиомы счетного выбора

То, что каждое бесконечное множество по Дедекинду является бесконечным, легко доказать в ZF: каждое конечное множество по определению имеет биекцию с некоторым конечным ординалом. п, и можно доказать индукцией по п что это не Дедекинд-бесконечность.

Используя аксиома счетного выбора (обозначение: аксиома CC) можно доказать обратное, а именно, что каждое бесконечное множество Икс Дедекиндово-бесконечен, а именно:

Сначала определите функцию над натуральными числами (то есть над конечными ординалами) ж : N → Мощность (Мощность (Икс)), так что для каждого натурального числа п, ж(п) - множество конечных подмножеств Икс размера п (т.е. имеющие биекцию с конечным ординалом п). ж(п) никогда не бывает пустым, иначе Икс будет конечным (что можно доказать индукцией по п).

В изображение f - счетное множество {ж(п) | п ∈ N}, члены которой сами являются бесконечными (и, возможно, бесчисленными) множествами. Используя аксиому счетного выбора, мы можем выбрать по одному члену из каждого из этих множеств, и этот член сам является конечным подмножеством Икс. Точнее, согласно аксиоме счетного выбора существует (счетное) множество, грамм = {грамм(п) | п ∈ N}, так что для каждого натурального числа п, грамм(п) является членом ж(п) и поэтому является конечным подмножеством Икс размера п.

Теперь определим U как союз членов грамм. U является бесконечным счетным подмножеством Икс, и биекция натуральных чисел на U, час : N → U, можно легко определить. Теперь мы можем определить биекцию B : Икс → Икс ∖ час(0) Который принимает каждого члена не в U себе, и берет час(п) для каждого натурального числа час(п + 1). Следовательно, Икс Дедекинд-бесконечен, и мы закончили.

Обобщения

Выражаясь теоретико-категориальным языком, набор А является дедекиндово-конечным, если в категории множеств каждый мономорфизм ж : А → А является изоморфизмом. А регулярное кольцо фон Неймана р обладает аналогичным свойством в категории (левый или правый) р-модули тогда и только тогда, когда в р, ху = 1 подразумевает yx = 1. В более общем плане Дедекиндово-конечное кольцо - любое кольцо, удовлетворяющее последнему условию. Помните, что кольцо может быть дедекиндово-конечным, даже если его базовое множество является дедекиндово-бесконечным, например целые числа.

Примечания

^ ^а ^б Мур, Грегори Х. (2013) [полное переиздание работы, первоначально опубликованной в 1982 году как том 8 в серии «Исследования по истории математики и физических наук» издательством Springer-Verlag, Нью-Йорк]. Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
^ Херрлих, Хорст (2006). Аксиома выбора. Конспект лекций по математике 1876 г. Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895.