Аксиома определенности - Axiom of determinacy - Wikipedia

В математика, то аксиома детерминированности (сокращенно ОБЪЯВЛЕНИЕ) возможно аксиома за теория множеств представлен Ян Мыцельски и Хьюго Штайнхаус в 1962 году. Это относится к некоему двухместному топологические игры длины ω. AD утверждает, что каждая игра определенный тип является определенный; то есть у одного из двух игроков есть выигрышная стратегия.

Они мотивировали AD своими интересными последствиями и предположили, что AD может быть истинным в наименее естественной модели. L (R) теории множеств, которая принимает только слабую форму аксиома выбора (AC), но содержит все настоящий и все порядковые номера. Некоторые следствия AD, вытекающие из теорем, ранее доказанных Стефан Банах и Станислав Мазур, и Мортон Дэвис. Mycielski и Станислав Свержковский внес еще один: AD подразумевает, что все наборы действительные числа находятся Измеримый по Лебегу. Потом Дональд А. Мартин и другие оказались более важными последствиями, особенно в описательная теория множеств. В 1988 г. Джон Р. Стил и В. Хью Вудин заключил долгую линию исследований. Предполагая наличие некоторых бесчисленный Количественные числительные аналогично ${\displaystyle \aleph _{0}}$, они доказали первоначальную гипотезу Микельского и Штейнгауза о том, что AD истинна в L (R).

Типы игры, которые определяются

Аксиома детерминированности относится к играм следующей конкретной формы: Рассмотрим подмножество А из Пространство Бэра ω^ω из всех бесконечные последовательности из натуральные числа. Два игрока, я и II, поочередно выбирайте натуральные числа

п₀, п₁, п₂, п₃, ...

После бесконечно большого числа ходов последовательность ${\displaystyle (n_{i})_{i\in \omega }}$ генерируется. Игрок я выигрывает игру тогда и только тогда, когда сгенерированная последовательность является элементом А. Аксиома детерминированности - это утверждение, что все такие игры детерминированы.

Не все игры требуют аксиомы определенности, чтобы доказать свою определенность. Если набор А является прищемить, игра по существу является конечной игрой и, следовательно, детерминирована. Аналогично, если А это закрытый набор, то игра определяется. Это было показано в 1975 г. Дональд А. Мартин те игры, чей выигрышный набор Набор Бореля определены. Из существования достаточно большие кардиналы что во всех играх с выигрышем проективный набор определены (см. Проективная определенность ), и что AD выполняется в L (R).

Из аксиомы определенности следует, что для любого подпространства Икс из действительные числа, то Игра Банаха – Мазура BM(Икс) определено (и, следовательно, каждый набор действительных чисел имеет собственность Бэра ).

Несовместимость аксиомы определенности с аксиомой выбора

Множество S1 всех стратегий первого игрока в ω-игре грамм имеет то же самое мощность как континуум. То же самое верно и для множества S2 всех стратегий второго игрока. Отметим, что мощность множества SG всех возможных в грамм также является континуумом. Пусть A будет подмножеством SG всех последовательностей, в которых выигрывает первый игрок. Используя аксиому выбора, мы можем хорошо порядок континуум; более того, мы можем сделать это таким образом, чтобы любая надлежащая начальная часть не имела мощности континуума. Мы создаем контрпример трансфинитная индукция по набору стратегий при таком порядке расположения скважин:

Начнем с множества A undefined. Пусть T будет «временем», ось которого имеет континуум длины. Нам нужно рассмотреть все стратегии {s1 (T)} первого игрока и все стратегии {s2 (T)} второго игрока, чтобы убедиться, что для каждой стратегии существует стратегия другого игрока, которая выигрывает у нее. Для каждой рассматриваемой стратегии игрока мы сгенерируем последовательность, которая дает другому игроку победу. Пусть t - время, ось которого имеет длину ℵ₀ и который используется во время каждой игровой последовательности.

1. Рассмотрим текущую стратегию {s1 (T)} первого игрока.
2. Пройдите всю игру, генерируя (вместе со стратегией первого игрока s1 (T)) последовательность {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t) , b (t + 1), ...}.
3. Решите, что эта последовательность не принадлежит A, т.е. s1 (T) потеряна.
4. Рассмотрим стратегию {s2 (T)} второго игрока.
5. Пройдите следующую всю игру, создав (вместе со стратегией второго игрока s2 (T)) последовательность {c (1), d (2), c (3), d (4), ..., c (t ), d (t + 1), ...}, убедившись, что эта последовательность отлична от {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t ), b (t + 1), ...}.
6. Решите, что эта последовательность принадлежит A, т.е. s2 (T) потеряна.
7. Продолжайте повторять дальнейшие стратегии, если таковые имеются, следя за тем, чтобы уже рассмотренные последовательности не создавались снова. (Мы начинаем с набора всех последовательностей, и каждый раз, когда мы генерируем последовательность и опровергаем стратегию, мы проецируем сгенерированную последовательность на ходы первого игрока и на ходы второго игрока, и мы удаляем две результирующие последовательности из нашего набора последовательностей.)
8. Для всех последовательностей, которые не обсуждались выше, произвольно решите, принадлежат ли они A или дополнению A.

Как только это будет сделано, у нас будет игра грамм. Если вы дадите мне стратегию s1, тогда мы рассмотрели эту стратегию в какой-то момент T = T (s1). Вовремя Т, мы решили, что результатом s1 будет потеря s1. Следовательно, эта стратегия терпит неудачу. Но это верно для произвольной стратегии; следовательно, аксиома детерминированности и аксиома выбора несовместимы.

Бесконечная логика и аксиома детерминированности

Множество разных версий бесконечная логика были предложены в конце 20 века. Одна из причин веры в аксиому детерминированности заключается в том, что ее можно записать следующим образом (в версии бесконечной логики):

${\displaystyle \forall G\subseteq Seq(S):}$

${\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G}$ ИЛИ ЖЕ

${\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}$

Примечание: Seq (S) - множество всех ${\displaystyle \omega }$-последовательности S. Предложения здесь бесконечно длинные со счетно бесконечным списком кванторы где появляются эллипсы.

Большие кардиналы и аксиома определенности

Непротиворечивость аксиомы определенности тесно связана с вопросом о непротиворечивости большой кардинал аксиомы. По теореме Woodin согласованность теории множеств Цермело – Френкеля без выбора (ZF) вместе с аксиомой детерминированности эквивалентна согласованности теории множеств Цермело – Френкеля с выбором (ZFC) вместе с существованием бесконечного множества Кардиналы Вудена. Поскольку кардиналы Вудена сильно недоступен, если AD непротиворечива, то непротиворечива бесконечность недоступных кардиналов.

Более того, если к гипотезе бесконечного множества кардиналов Вудена добавить существование измеримый кардинал больше, чем все они, очень сильная теория Измеримый по Лебегу появляется множество действительных чисел, поскольку тогда доказывается, что аксиома детерминированности верна в L (R), и поэтому каждый определяется набор действительных чисел в L (R).

Смотрите также

• Аксиома реальной определенности (ОБЪЯВЛЕНИЕ_р)
• Теорема Бореля об определенности
• Мера Мартина
• Топологическая игра

Рекомендации

• Мыцельски, Ян; Штайнхаус, Гюго (1962). «Математическая аксиома, противоречащая аксиоме выбора». Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques and Physiques. 10: 1–3. ISSN  0001-4117. МИСТЕР  0140430.
• Мыцельски, Ян; Свержковский, Станислав (1964). «Об измеримости Лебега и аксиоме детерминированности». Фонд. Математика. 54: 67–71.
• Вудин, У. Хью (1988). «Сверхкомпактные кардиналы, множества вещественных чисел и слабооднородные деревья». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 85 (18): 6587–6591. Дои:10.1073 / пнас.85.18.6587. ЧВК  282022. PMID  16593979.
• Мартин, Дональд А.; Сталь, Джон Р. (Январь 1989 г.). «Доказательство проективной определенности» (PDF). Журнал Американского математического общества. 2 (1): 71–125. Дои:10.2307/1990913. JSTOR  1990913. Архивировано из оригинал (PDF) 30 апреля 2016 г.
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное). Springer. ISBN  978-3-540-44085-7.
• Канамори, Акихиро (2008). Высшее Бесконечное (2-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-88866-6.
• Мощовакис, Яннис Н. (2009). Теория описательных множеств (PDF) (2-е изд.). Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4813-5. Архивировано 12 ноября 2014 года.

дальнейшее чтение

• Филипп Роде, О расширениях аксиомы детерминации, Диссертация, факультет математики, Боннский университет, Германия, 2001 г.
• Телгарский, Р.Дж. Топологические игры: К 50-летию игры Банах-Мазур, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), стр. 227–276. (3,19 МБ)
• «Большие кардиналы и решительность» на Стэнфордская энциклопедия философии