Вуден кардинал - Woodin cardinal

В теория множеств, а Вуден кардинал (назван в честь В. Хью Вудин ) это количественное числительное λ такое, что для всех функций

ж : λ → λ

существует кардинал κ <λ такой, что

{ж(β) | β <κ} ⊆ κ

и элементарное вложение

j : V → M

от Вселенная фон Неймана V в переходный внутренняя модель M с критическая точка κ и

V_{j (f) (κ)} ⊆ M.

Эквивалентное определение таково: λ - Woodin если и только если λ - это сильно недоступен и для всех ${\displaystyle A\subseteq V_{\lambda }}$ существует ${\displaystyle \lambda _{A}}$ <λ, что равно ${\displaystyle <\lambda }$-${\displaystyle A}$-сильный.

${\displaystyle \lambda _{A}}$ существование ${\displaystyle <\lambda }$-${\displaystyle A}$-сильный означает, что для всех порядковые α <λ, существует ${\displaystyle j:V\to M}$ который является элементарное вложение с критическая точка ${\displaystyle \lambda _{A}}$, ${\displaystyle j(\lambda _{A})>\alpha }$, ${\displaystyle V_{\alpha }\subseteq M}$ и ${\displaystyle j(A)\cap V_{\alpha }=A\cap V_{\alpha }}$. (Смотрите также сильный кардинал.)

Кардиналу Вудена предшествует стационарный набор из измеримые кардиналы, и, таким образом, это Мало кардинал. Однако первый кардинал Вудена даже не слабо компактный.

Последствия

Кардиналы Вудина важны в описательная теория множеств. По результату^[1] из Мартин и Стали, существование бесконечного числа кардиналов Вудена влечет проективная детерминированность, что, в свою очередь, означает, что каждое проективное множество измеримый, имеет Бэр недвижимость (отличается от открытого набора скудный набор, то есть множество, которое является счетным объединением нигде не плотные множества ), а идеальный набор собственности (либо счетно, либо содержит идеально подмножество).

Непротиворечивость существования кардиналов Вудена может быть доказана с помощью гипотез детерминированности. Работает в ZF +ОБЪЯВЛЕНИЕ +ОКРУГ КОЛУМБИЯ можно доказать, что ${\displaystyle \Theta _{0}}$ является Вуденом в классе наследственно ординально определимых множеств. ${\displaystyle \Theta _{0}}$ - это первый ординал, на который нельзя отобразить континуум с помощью ординально-определяемой сюръекции (см. Θ (теория множеств) ).

Шела доказал, что если существование кардинала Вудена непротиворечиво, то непротиворечиво и нестационарный идеал на ω₁ является ${\displaystyle \aleph _{2}}$-насыщенный. Вудин также доказал равносогласованность существования бесконечного числа кардиналов Вудена и существования ${\displaystyle \aleph _{1}}$-плотный идеал над ${\displaystyle \aleph _{1}}$.

Кардиналы Hyper-Woodin

А кардинал κ называется гипервудином, если существует нормальная мера U на κ такое, что для любого множества S, набор

{λ <κ | λ <κ-S-сильный }

в U.

λ является <κ-S-сильным тогда и только тогда, когда для каждого δ <κ существует переходный класс N и элементарное вложение

j: V → N

с

λ = крит (j),

j (λ) ≥ δ и

${\displaystyle j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }}$.

Название отсылает к классическому результату, что кардинал является Вуденом тогда и только тогда, когда для каждого набора S, набор

{λ <κ | λ <κ-S-сильный }

это стационарный набор

Мера U будет содержать набор всех Кардиналы Шела ниже κ.

Слабо гипервудинские кардиналы

А кардинал κ называется слабо гипервуденовским, если для каждого множества S существует нормальная мера U на κ такое, что множество {λ <κ | λ <κ-S-strong} находится в U. λ является <κ-S-сильным тогда и только тогда, когда для каждого δ <κ существует транзитивный класс N и элементарное вложение j: V → N с λ = crit (j), j (λ)> = δ и ${\displaystyle j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }.}$

Название отсылает к классическому результату, что кардиналом является Вуден, если для каждого набора S, множество {λ <κ | λ <κ-S-сильный } стационарен.

Разница между кардиналами гипервудина и слабо гипервудиновыми кардиналами состоит в том, что выбор U не зависит от выбора набора S для кардиналов Hyper-Woodin.

Примечания и ссылки

1. Доказательство проективной определенности

дальнейшее чтение

• Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN  3-540-00384-3.
• Доказательства двух результатов, перечисленных в следствиях, см. Справочник по теории множеств (Ред. Форман, Канамори, Магидор) (в печати). Черновики некоторых глав доступны.
• Эрнест Шиммерлинг, Кардиналы Вудина, кардиналы Шелаха и основная модель Митчелла-Стила, Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, онлайн
• Сталь, Джон Р. (Октябрь 2007 г.). "Что такое кардинал Вудена?" (PDF ). Уведомления Американского математического общества. 54 (9): 1146–7. Получено 2008-01-15.