Теория описательных множеств - Descriptive set theory

В математическая логика, описательная теория множеств (Летнее время) является изучение определенных классов "хорошо воспитанный " подмножества из реальная линия и другие Польские просторы. Помимо того, что это одна из основных областей исследований в теория множеств, у него есть приложения к другим областям математики, таким как функциональный анализ, эргодическая теория, изучение операторные алгебры и групповые действия, и математическая логика.

Польские просторы

Теория описательных множеств начинается с изучения польских пространств и их Наборы Бореля.

А Польское пространство это счетный топологическое пространство это метризуемый с полная метрика. Эвристически это полное разделимое метрическое пространство чья метрика была «забыта». Примеры включают реальная линия ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то Пространство Бэра ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, то Канторовское пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а Куб Гильберта ${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$.

Свойства универсальности

Класс польских пространств обладает несколькими свойствами универсальности, которые показывают, что при рассмотрении польских пространств некоторых ограниченных форм нет потери общности.

• Каждое польское пространство - это гомеоморфный к г_δ подпространство из Куб Гильберта, и каждый г_δ подпространство гильбертова куба польское.
• Каждое польское пространство получается как непрерывный образ пространства Бэра; на самом деле каждое польское пространство - это образ непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Бэра. Точно так же любое компактное польское пространство является непрерывным образом канторовского пространства.

Благодаря этим свойствам универсальности и потому, что пространство Бэра ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ имеет то удобное свойство, что гомеоморфный к ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\omega }}$, многие результаты в описательной теории множеств доказываются только в контексте пространства Бэра.

Наборы Бореля

Класс Наборы Бореля топологического пространства Икс состоит из всех наборов в наименьшем σ-алгебра содержащий открытые наборы Икс. Это означает, что борелевские множества Икс являются наименьшим набором таких наборов, что:

• Каждое открытое подмножество Икс - борелевское множество.
• Если А борелевское множество, ${\displaystyle X\setminus A}$. То есть класс борелевских множеств замкнут относительно дополняемости.
• Если А_п является борелевским множеством для каждого натурального числа п, то союз ${\displaystyle \bigcup A_{n}}$ - борелевское множество. То есть борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений.

Фундаментальный результат показывает, что любые два несчетных польских пространства Икс и Y находятся Борелевский изоморфный: есть биекция от Икс к Y такой, что прообраз любого борелевского множества является борелевским, а образ любого борелевского множества - борелевским. Это дает дополнительное оправдание практике ограничения внимания пространством Бэра и пространством Кантора, поскольку эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.

Борелевская иерархия

Каждый борелевский набор польского пространства классифицируется в Борелевская иерархия в зависимости от того, сколько раз операции счетного объединения и дополнения должны использоваться для получения набора, начиная с открытых наборов. Классификация с точки зрения счетный порядковые номера. Для каждого ненулевого счетного ординала α есть классы ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$, ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$, и ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$.

• Каждый открытый набор объявляется ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$.
• Набор объявлен ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ тогда и только тогда, когда его дополнение ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$.
• Множество А объявлен ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}}$, δ > 1, если существует последовательность ⟨ А_я ⟩ Множеств, каждое из которых ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}}$ для некоторых λ(я) < δ, так что ${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$.
• Набор есть ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$ если и только если это оба ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ и ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$.

Теорема показывает, что любое множество ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ или ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ является ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}}$, и любые ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}}$ набор оба ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ и ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ для всех α > β. Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают включение.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}}$

Свойства регулярности борелевских множеств

Классическая описательная теория множеств включает изучение свойств регулярности борелевских множеств. Например, все борелевские множества польского пространства имеют собственность Бэра и идеальный набор собственности. Современная дескриптивная теория множеств включает в себя изучение способов, которыми эти результаты обобщают или не могут обобщить другие классы подмножеств польских пространств.

Аналитические и коаналитические наборы

Сразу за борелевскими множествами по сложности находятся аналитические наборы и коаналитические множества. Подмножество польского пространства Икс является аналитический если это непрерывный образ борелевского подмножества какого-то другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими. Набор есть коаналитический если его дополнение аналитическое.

Проективные множества и степени Вэджа

Многие вопросы в описательной теории множеств в конечном итоге зависят от теоретико-множественный соображения и свойства порядковый и Количественные числительные. Это явление особенно заметно в проективные множества. Они определяются через проективная иерархия на польском пространстве Икс:

• Набор объявлен ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$ если он аналитический.
• Набор есть ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$ если он коаналитический.
• Множество А является ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ если есть ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ подмножество B из ${\displaystyle X\times X}$ такой, что А это проекция B к первой координате.
• Множество А является ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$ если есть ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$ подмножество B из ${\displaystyle X\times X}$ такой, что А это проекция B к первой координате.
• Набор есть ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ если это оба ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$ .

Как и в случае с иерархией Бореля, для каждого п, Любые ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ набор оба ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}.}$

Свойства проективных множеств полностью не определяются ZFC. При предположении V = L, не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бэра. Однако в предположении проективная детерминированность, все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бэра. Это связано с тем, что ZFC доказывает Борелевская определенность, но не проективная детерминированность.

В более общем смысле, вся коллекция наборов элементов польского пространства Икс можно сгруппировать в классы эквивалентности, известные как Wadge степени, обобщающие проективную иерархию. Эти степени заказываются в Иерархия Wadge. В аксиома детерминированности подразумевает, что иерархия Wadge на любом польском пространстве является хорошо обоснованной и длительной Θ, со структурой, расширяющей проективную иерархию.

Борелевские отношения эквивалентности

Современное направление исследований в области описательной теории множеств Борелевские отношения эквивалентности. А Борелевское отношение эквивалентности на польском пространстве Икс является борелевским подмножеством ${\displaystyle X\times X}$ это отношение эквивалентности на Икс.

Эффективная дескриптивная теория множеств

Площадь эффективная дескриптивная теория множеств сочетает в себе методы дескриптивной теории множеств с методами обобщенная теория рекурсии (особенно гиперарифметическая теория ). В частности, основное внимание уделяется Lightface аналоги иерархий классической дескриптивной теории множеств. Таким образом гиперарифметическая иерархия исследуется вместо иерархии Бореля, а аналитическая иерархия вместо проективной иерархии. Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как Теория множеств Крипке – Платека. и арифметика второго порядка.

Таблица

Lightface		Жирный шрифт
Σ^0 0 = Π^0 0 = Δ^0 0 (иногда то же самое, что Δ^0 1)		Σ^0 0 = Π^0 0 = Δ^0 0 (если определено)
Δ^0 1 = рекурсивный		Δ^0 1 = прищемить
Σ^0 1 = рекурсивно перечислимый	Π^0 1 = ко-рекурсивно перечислимый	Σ^0 1 = г = открыто	Π^0 1 = F = закрыто
Δ^0 2		Δ^0 2
Σ^0 2	Π^0 2	Σ^0 2 = Fσ	Π^0 2 = гδ
Δ^0 3		Δ^0 3
Σ^0 3	Π^0 3	Σ^0 3 = гδσ	Π^0 3 = Fσδ
⋮		⋮
Σ^0 <ω = Π^0 <ω = Δ^0 <ω = Σ^1 0 = Π^1 0 = Δ^1 0 = арифметический		Σ^0 <ω = Π^0 <ω = Δ^0 <ω = Σ^1 0 = Π^1 0 = Δ^1 0 = жирный арифметический
⋮		⋮
Δ^0 α (α рекурсивный )		Δ^0 α (α счетный )
Σ^0 α	Π^0 α	Σ^0 α	Π^0 α
⋮		⋮
Σ^0 ω^СК 1 = Π^0 ω^СК 1 = Δ^0 ω^СК 1 = Δ^1 1 = гиперарифметический		Σ^0 ω1 = Π^0 ω1 = Δ^0 ω1 = Δ^1 1 = B = Борель
Σ^1 1 = лайтфейс аналитический	Π^1 1 = световой коаналитический	Σ^1 1 = А = аналитический	Π^1 1 = CA = коаналитический
Δ^1 2		Δ^1 2
Σ^1 2	Π^1 2	Σ^1 2 = PCA	Π^1 2 = CPCA
Δ^1 3		Δ^1 3
Σ^1 3	Π^1 3	Σ^1 3 = PCPCA	Π^1 3 = CPCPCA
⋮		⋮
Σ^1 <ω = Π^1 <ω = Δ^1 <ω = Σ^2 0 = Π^2 0 = Δ^2 0 = аналитический		Σ^1 <ω = Π^1 <ω = Δ^1 <ω = Σ^2 0 = Π^2 0 = Δ^2 0 = п = проективный
⋮		⋮

Смотрите также

• Pointclass
• Предварительный заказ
• Масштабировать свойство

использованная литература

• Кечрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94374-9.
• Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств. Северная Голландия. п. 2. ISBN  0-444-70199-0.

внешняя ссылка

• Теория описательных множеств, Дэвид Маркер, 2002. Конспект лекций.