Мера Мартина - Martin measure

В описательная теория множеств, то Мера Мартина это фильтр на съемках Степени Тьюринга наборов натуральные числа, названный в честь Дональд А. Мартин. Под аксиома детерминированности можно показать, что это ультрафильтр.

Определение

Позволять ${displaystyle D}$ - множество степеней Тьюринга множеств натуральных чисел. Учитывая некоторый класс эквивалентности ${displaystyle [X]in D}$, мы можем определить конус (или восходящий конус) из ${displaystyle [X]}$ как набор всех степеней Тьюринга ${displaystyle [Y]}$ такой, что ${displaystyle Xleq _{T}Y}$; то есть набор степеней Тьюринга, которые "по крайней мере столь же сложны", как ${displaystyle X}$ при редукции Тьюринга.

Мы говорим, что набор ${displaystyle A}$ степеней Тьюринга имеет меру 1 относительно меры Мартина именно тогда, когда ${displaystyle A}$ содержит конус. Поскольку это возможно, для любого ${displaystyle A}$, чтобы построить игру, в которой игрок I имеет выигрышную стратегию именно тогда, когда ${displaystyle A}$ содержит конус, и у которого у игрока II есть выигрышная стратегия именно тогда, когда дополнение ${displaystyle A}$ содержит конус, аксиома детерминированности означает, что наборы степеней Тьюринга с мерой 1 образуют ультрафильтр.

Последствия

Легко показать, что счетное пересечение конусов само является конусом; поэтому мера Мартина является счетно полный фильтр. Этот факт в сочетании с тем, что меру Мартина можно перенести на ${displaystyle omega _{1}}$ простым отображением говорит нам, что ${displaystyle omega _{1}}$ измерима по аксиоме детерминированности. Этот результат показывает часть важной связи между определенностью и большие кардиналы.

использованная литература

• Мощовакис, Яннис Н. (2009). Описательная теория множеств. Математические обзоры и монографии. 155 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 338. ISBN  9780821848135.