Clopen набор - Clopen set

А график с несколькими наборами Clopen. Каждая из трех больших частей (т.е. составные части ) является открытым множеством, как и объединение любых двух или всех трех.
Не путать с Полуоткрытый интервал.

В топология, а Clopen набор (а чемодан из закрыто-открытый набор) в топологическое пространство это набор, который одновременно открыто и закрыто. То, что это возможно, может показаться нелогичным, так как общие значения открыто и закрыто антонимы, но их математические определения не взаимоисключающий. Набор закрывается, если его дополнять открыто, что оставляет возможность открытого набора, дополнение которого также открыто, что делает оба набора открытыми и закрытые, а значит, закрытые.

Примеры

В любом топологическом пространстве Икс, то пустой набор и все пространство Икс оба закрыты.[1][2]

Теперь рассмотрим пространство Икс который состоит из объединения двух открытых интервалы (0,1) и (2,3) из р. Топология на Икс наследуется как топология подпространства из обычной топологии на реальная линия р. В Икс, множество (0,1) открыто, как и множество (2,3). Это довольно типичный пример: когда пространство состоит из конечного числа непересекающихся связанные компоненты Таким образом, компоненты будут закрыты.

Теперь позвольте Икс - бесконечное множество относительно дискретной метрики, т. е. две точки п, q в Икс иметь расстояние 1, если они не совпадают, и 0 в противном случае. Под результирующим метрическим пространством открыто любое одноэлементное множество; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Так как дополнение любого множества, следовательно, замкнуто, все множества в метрическом пространстве открыто-замкнутые.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство Q из всех рациональное число с их обычной топологией, а множество А всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что не в Q, довольно легко показать, что А является закрытым подмножеством Q. (А является нет замкнутое подмножество реальной линии р; это ни открыто, ни закрыто в р.)

Характеристики

  • Топологическое пространство Икс является связаны тогда и только тогда, когда единственными закрытыми наборами являются пустой набор и Икс.
  • Множество открыто тогда и только тогда, когда его граница пусто.[3]
  • Любое закрытое множество является объединением (возможно, бесконечного множества) связанные компоненты.
  • Если все связанные компоненты Икс открыты (например, если Икс имеет только конечное число компонентов, или если Икс является локально связанный ), то множество открыто в Икс тогда и только тогда, когда это объединение связанных компонентов.
  • Топологическое пространство Икс является дискретный тогда и только тогда, когда все его подмножества закрыты.
  • С использованием союз и пересечение как операции, закрытые подмножества данного топологического пространства Икс сформировать Булева алгебра. Каждый Булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства: см. Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр.

Примечания

  1. ^ Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348. (относительно действительных чисел и пустого множества в R)
  2. ^ Хокинг, Джон Дж .; Янг, Гейл С. (1961). Топология. Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 56. (относительно топологических пространств)
  3. ^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ISBN  0-486-66352-3. Позволять А - подмножество топологического пространства. Докажите, что Бдри (А) = ∅ тогда и только тогда, когда А открыт и закрыт. (Из упражнения 7)

Рекомендации