Граница (топология) - Boundary (topology)

Эта статья о границах в общей топологии. Не следует путать с граница многообразия.

Набор (голубой) и его граница (темно-синий).

В топология и математика в целом граница подмножества S из топологическое пространство Икс это набор точек, к которым можно подойти как из S и снаружи S. Точнее, это набор точек в закрытие из S не принадлежащий к интерьер из S. Элемент границы S называется граничная точка из S. Период, термин пограничная операция относится к поиску или взятию границы набора. Обозначения, используемые для границы множества S включить bd (S), fr (S), и ${\displaystyle \partial S}$. Некоторые авторы (например, Уиллард, в Общая топология) используйте термин граница вместо границы в попытке избежать путаницы с другое определение используется в алгебраическая топология и теория коллекторы. Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, термин «граница» использовался для описания остаток из S, а именно S \ S (множество граничных точек не в S).^{[нужна цитата ]} Феликс Хаусдорф^[1] назвал пересечение S с его границей граница из S (термин «граница» используется для обозначения этого набора в Метрические пространства Э. Т. Копсон).

А связный компонент границы S называется граничный компонент из S.

Общие определения

Есть несколько эквивалентных определений границы подмножества S топологического пространства Икс:

• то закрытие из ${\displaystyle S}$ минус интерьер из ${\displaystyle S}$: ${\displaystyle \partial S:={\bar {S}}\setminus S^{\circ }}$
• пересечение закрытия ${\displaystyle S}$ с закрытием своего дополнять: ${\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$
• набор точек ${\displaystyle p\in X}$ так что каждый окрестности из ${\displaystyle p}$ содержит хотя бы одну точку ${\displaystyle S}$ и хотя бы один пункт не ${\displaystyle S}$: ${\displaystyle \partial S:=\{p\in X\mid \forall O\ni p:O\cap S\neq \emptyset \,{\text{ and }}\,O\cap S^{c}\neq \emptyset \}}$

Примеры

Граница гиперболических составляющих Набор Мандельброта

Рассмотрим реальную линию ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с обычной топологией (т.е. топологией, базисные наборы находятся открытые интервалы ) и ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, подмножество рациональных чисел (с пустыми интерьер ). Надо

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Эти последние два примера иллюстрируют тот факт, что граница плотный набор с пустым интерьером его закрытие.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( топология подпространства из ${\displaystyle \mathbb {R} }$) граница ${\displaystyle (-\infty ,a)}$, где а иррационально, пусто.

Граница множества - это топологический понятие и может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, граница замкнутого диска ${\displaystyle \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$ окружность диска: ${\displaystyle \partial \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$. Если диск рассматривается как набор в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ со своей обычной топологией, т.е. ${\displaystyle \Omega =\{(x,y,0)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$, то границей диска является сам диск: ${\displaystyle \partial \Omega =\Omega }$. Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), то граница диска пуста.

Свойства

• Граница множества закрыто.^[2]
• Граница внутренней части множества, так же как и граница замыкания множества, оба содержатся в границе множества.
• Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотный.
• Граница множества - это граница дополнения множества: ${\displaystyle \partial S=\partial (S^{C})}$.
• Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество.

Отсюда:

• п является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность п содержит хотя бы одну точку в наборе и хотя бы одну точку не в наборе.
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда он не пересекается со своей границей.
• Замыкание множества равно объединению множества с его границей: ${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial S}$.
• Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор одновременно закрыт и открыт (то есть Clopen набор ).
• Внутри границы замыкания множества есть пустое множество.

Концептуальный Диаграмма Венна показывая отношения между различными точками подмножества S р^п. A = набор предельные точки S, B = набор граничные точки S, область, закрашенная зеленым цветом = набор внутренние точки S, область заштрихована желтым = набор изолированные точки из S, области, закрашенные черным цветом = пустые множества. Каждая точка S является либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Аналогично, каждая граничная точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.

Граница границы

Для любого набора S, ∂S ⊇ ∂∂S, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда граница S не имеет внутренних точек, что будет, например, если S либо закрыто, либо открыто. Поскольку граница множества замкнута, ${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$ для любого набора S. Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленному виду идемпотентность.

Обсуждая границы коллекторы или симплексы и их симплициальные комплексы, часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, конструкция особые гомологии критически опирается на этот факт. Объяснение очевидного несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. (В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, тогда как граница многообразия инвариантна.)

Смотрите также

• См. Обсуждение границы в топологическое многообразие Больше подробностей.
• Граничная точка
• Теорема плотности Лебега, для теоретико-меры характеризации и свойств границы
• Поверхность (топология)

использованная литература

1. Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Veit. п.214. ISBN  978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.
2. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ISBN  0-486-66352-3. Следствие 4.15. Для каждого подмножества А, Брды (А) закрыто.

дальнейшее чтение

• Мункрес, Дж. Р. (2000). Топология. Прентис-Холл. ISBN  0-13-181629-2.
• Уиллард, С. (1970). Общая топология. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-08707-3.
• ван ден Дрис, Л. (1998). Приручить топологию. ISBN  978-0521598385.