Плотный набор - Dense set

В топология и смежные области математика, а подмножество А из топологическое пространство Икс называется плотный (в Икс) если каждая точка Икс в Икс либо принадлежит А или является предельная точка из А; это закрытие из А составляет целое набор Икс.^[1] Неформально за каждую точку в Икс, точка либо в А или произвольно «близко» к члену А - например, рациональное число являются плотным подмножеством действительные числа потому что каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет рациональное число, произвольно близкое к нему (см. Диофантово приближение ).

Формально подмножество А топологического пространства Икс плотно в X, если для любой точки Икс в Икс, любой район из Икс содержит хотя бы одну точку из А (т.е. А имеет непустой пересечение с каждым непустым открытое подмножество из Икс). Эквивалентно, А плотно в Икс если и только если самый маленький закрытое подмножество из Икс содержащий А является Икс сам. Это также можно выразить, сказав, что закрытие из А является Икс, или что интерьер из дополнять из А пусто.

В плотность топологического пространства Икс наименее мощность плотного подмножества Икс.

Плотность в метрических пространствах

Альтернативное определение плотного множества в случае метрические пространства следующее. Когда топология из Икс дается метрика, то закрытие ${displaystyle {overline {A}}}$ из А в Икс это союз из А и набор всего пределы последовательностей элементов в А (это предельные точки),

${displaystyle {overline {A}}=Acup left{lim _{n o infty }a_{n}mid a_{n}in A{ ext{ for all }}nin mathbb {N} ight}}$

потом А плотно в Икс если

${displaystyle {overline {A}}=X.}$

Если ${displaystyle left{U_{n}ight}}$ представляет собой последовательность плотных открыто множества в полном метрическом пространстве, Икс, тогда ${displaystyle igcap _{n=1}^{infty }U_{n}}$ также плотно в Икс. Этот факт является одной из эквивалентных форм Теорема Бэра о категории.

Примеры

В действительные числа с обычной топологией имеют рациональное число как счетный плотное подмножество, которое показывает, что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше, чем мощность самого пространства. В иррациональные числа являются еще одним плотным подмножеством, которое показывает, что топологическое пространство может иметь несколько непересекающийся плотные подмножества (в частности, два плотных подмножества могут быть дополнениями друг друга), и они даже не обязательно должны быть одинаковой мощности. Возможно, еще более удивительно то, что и рациональные, и иррациональные числа имеют пустую внутреннюю структуру, показывая, что плотные множества не обязательно должны содержать непустые открытые множества. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова плотно и открыто.

Посредством Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, любой данный комплексный непрерывная функция определено на закрытый интервал [а, б] возможно равномерно приближенный так близко, как желает полиномиальная функция. Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве C [а, б] непрерывных комплекснозначных функций на отрезке [а, б], оснащенный верхняя норма.

Каждый метрическое пространство плотно в своем завершение.

Характеристики

Каждый топологическое пространство является плотным подмножеством самого себя. Для набора Икс оснащен дискретная топология, все пространство - единственное плотное подмножество. Каждое непустое подмножество набора Икс оснащен тривиальная топология плотно, и любая топология, для которой каждое непустое подмножество плотно, должна быть тривиальной.

Плотность переходный: Дано три подмножества А, B и C топологического пространства Икс с А ⊆ B ⊆ C ⊆ Икс такой, что А плотно в B и B плотно в C (в соответствующих топология подпространства ) тогда А также плотно в C.

В изображение плотного подмножества под сюръективный непрерывный функция снова плотная. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощности его плотных подмножеств) является топологический инвариант.

Топологическое пространство с связаны плотное подмножество обязательно само связно.

Непрерывные функции в Хаусдорфовы пространства определяются своими значениями на плотных подмножествах: если две непрерывные функции ж, грамм : Икс → Y в Пространство Хаусдорфа Y договориться о плотном подмножестве Икс тогда они соглашаются на все Икс.

Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые могут быть помещены все пространства заданной плотности. встроенный: метрическое пространство плотности α изометрично подпространству С ([0, 1]^α, р), пространство действительных непрерывных функций на товар из α копии единичный интервал. ^[2]

Связанные понятия

Точка Икс подмножества А топологического пространства Икс называется предельная точка из А (в Икс) если каждая окрестность Икс также содержит точку А Кроме как Икс сам, и изолированная точка из А иначе. Подмножество без изолированных точек называется плотный в себе.

Подмножество А топологического пространства Икс называется нигде не плотный (в Икс), если в Икс на котором А плотный. Точно так же подмножество топологического пространства нигде не является плотным, если и только если внутренность его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного набора всегда плотная. Дополнением к замкнутому нигде не плотному множеству является открытое плотное множество. Учитывая топологическое пространство Икс, подмножество А из Икс что может быть выражено как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств Икс называется скудный. Рациональные числа, хотя и плотны в действительных числах, являются скудными как подмножество действительных чисел.

Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется отделяемый. Топологическое пространство - это Пространство Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимый если это объединение двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинал κ, если он содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.

An встраивание топологического пространства Икс как плотное подмножество компактное пространство называется компактификация из Икс.

А линейный оператор между топологические векторные пространства Икс и Y как говорят плотно определенный если это домен плотное подмножество Икс и если это классифицировать содержится в Y. Смотрите также непрерывное линейное расширение.

Топологическое пространство Икс является сверхсвязанный тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое множество плотно в Икс. Топологическое пространство - это субмаксимальный тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество открыто.

Если ${displaystyle left(X,d_{X}ight)}$ метрическое пространство, то непустое подмножество Y называется ε-плотный если

${displaystyle (forall xin X),(exists yin Y),d_{X}(x,y)leq varepsilon .}$

Тогда можно показать, что D плотно в ${displaystyle left(X,d_{X}ight)}$ тогда и только тогда, когда он ε-плотен для каждого ${displaystyle varepsilon >0.}$

Смотрите также

• Теорема Блюмберга
• Плотный порядок
• Плотный (теория решетки)

Рекомендации

Примечания

1. Steen, L.A .; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии, Дувр, ISBN  0-486-68735-X
2. Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура». Бык. Austral. Математика. Soc. 1 (2): 169–173. Дои:10.1017 / S0004972700041411.

Общие ссылки

• Николя Бурбаки (1989) [1971]. Общая топология, главы 1–4. Элементы математики. Springer-Verlag. ISBN  3-540-64241-2.
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, МИСТЕР  0507446