Тривиальная топология - Trivial topology
В топология, а топологическое пространство с тривиальная топология тот, где единственный открытые наборы являются пустой набор и все пространство. Такие пространства обычно называют недискретный, антидискретный, или кодискретный. Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «сгруппированы вместе» и не могут быть выдающийся топологическими средствами. Каждое недискретное пространство - это псевдометрическое пространство в которой расстояние между любыми двумя точками находится нуль.
подробности
Тривиальная топология - это топология с наименьшим возможным числом открытые наборы, а именно пустое множество и все пространство, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два множества были открытыми. Несмотря на свою простоту, пространство Икс с более чем один элемент и тривиальная топология лишена ключевого желаемого свойства: это не Т0 Космос.
Другие свойства недискретного пространства Икс- многие из которых довольно необычны - включают:
- Единственный закрытые наборы пустое множество и Икс.
- Единственно возможный основа из Икс является {Икс}.
- Если Икс имеет более одного балла, то, поскольку это не Т0, он не удовлетворяет ни одному из высших Т аксиомы либо. В частности, это не Пространство Хаусдорфа. Не будучи Хаусдорфом, Икс не является топология заказа, и это не метризуемый.
- Икс однако регулярный, полностью обычный, нормальный, и совершенно нормально; все это довольно бессмысленно, поскольку единственными замкнутыми множествами являются ∅ и Икс.
- Икс является компактный и поэтому паракомпакт, Линделёф, и локально компактный.
- Каждые функция чья домен является топологическим пространством и codomain Икс является непрерывный.
- Икс является соединенный путём и так связанный.
- Икс является счетный, и поэтому исчисляемый первым, отделяемый и Линделёф.
- Все подпространства из Икс имеют тривиальную топологию.
- Все факторпространства из Икс иметь тривиальную топологию
- Произвольный продукты тривиальных топологических пространств, либо топология продукта или коробчатая топология, имеют тривиальную топологию.
- Все последовательности в Икс сходиться в каждую точку Икс. В частности, каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (всю последовательность или любую другую подпоследовательность), поэтому Икс является последовательно компактный.
- В интерьер каждого набора, кроме Икс пусто.
- В закрытие каждого непустого подмножества Икс является Икс. Другими словами: каждое непустое подмножество Икс является плотный, свойство, характеризующее тривиальные топологические пространства.
- В результате этого закрытие каждого открытого подмножества U из Икс является либо ∅ (если U = ∅) или Икс (в противном случае). В частности, закрытие каждого открытого подмножества Икс снова открытое множество, и поэтому Икс является экстремально отключенный.
- Если S любое подмножество Икс с более чем одним элементом, то все элементы Икс находятся предельные точки из S. Если S это одиночка, то каждая точка Икс \ S все еще является пределом S.
- Икс это Пространство Бэра.
- Два топологических пространства с тривиальной топологией: гомеоморфный если только у них то же самое мощность.
В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология, в котором открыто каждое подмножество.
Тривиальная топология принадлежит однородное пространство в котором все декартово произведение Икс × Икс единственный свита.
Позволять верхний быть категория топологических пространств с непрерывными отображениями и Набор быть категория наборов с функциями. Если г : верхний → Набор это функтор который присваивает каждому топологическому пространству его базовое множество (так называемый забывчивый функтор ), и ЧАС : Набор → верхний - функтор, который ставит тривиальную топологию на заданное множество, то ЧАС (так называемое cofree функтор ) является правый смежный к г. (Так называемое свободный функтор F : Набор → верхний что ставит дискретная топология на данном наборе левый смежный к г.)[1][2]
Смотрите также
Заметки
- ^ Киган Смит, «Присоединенные функторы в алгебре, топологии и математической логике», 8 августа 2008 г., с. 13.
- ^ бесплатный функтор в nLab
использованная литература
- Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, Г-Н 0507446