Последовательность - Sequence

В математика, а последовательность представляет собой перечислимый набор объектов, в котором разрешены повторения и порядок имеет значение. Как набор, это содержит члены (также называемый элементы, или же термины). Количество элементов (возможно, бесконечное) называется длина последовательности. В отличие от набора одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях в последовательности, и, в отличие от набора, порядок имеет значение. Формально последовательность можно определить как функция чей домен является либо набором натуральные числа (для бесконечных последовательностей), либо набор первых п натуральные числа (для последовательности конечной длины п).

Например, (M, A, R, Y) - это последовательность букв, в которой буква «M» первая, а буква «Y» - последняя. Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Кроме того, последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), которая содержит число 1 в двух разных позициях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть конечный, как в этих примерах, или бесконечный, например, последовательность всех четное положительные целые числа (2, 4, 6, ...).

Положение элемента в последовательности - это его классифицировать или же индекс; это натуральное число, для которого элемент является изображением. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или конкретного соглашения. В математический анализ, последовательность часто обозначается буквами в виде ${displaystyle a_ {n}}$ , ${displaystyle b_ {n}}$ и ${displaystyle c_ {n}}$ , где нижний индекс п относится к п-й элемент последовательности;^[1] например, пй элемент Последовательность Фибоначчи ${displaystyle F}$ обычно обозначается как ${displaystyle F_ {n}}$ .

В вычисление и Информатика, конечные последовательности иногда называют струны, слова или же списки, разные имена обычно соответствуют разным способам их представления в память компьютера; бесконечные последовательности называются потоки. Пустая последовательность () включена в большинство понятий последовательности, но может быть исключена в зависимости от контекста.

Бесконечная последовательность действительные числа (в синем). Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, ни сходящейся, ни Коши. Однако он ограничен.

Примеры и обозначения

Последовательность можно рассматривать как список элементов в определенном порядке.^[2]^[3] Последовательности полезны для изучения ряда математических дисциплин. функции, пробелы, и другие математические структуры с использованием конвергенция свойства последовательностей. В частности, последовательности являются основой для серии, которые важны в дифференциальные уравнения и анализ. Последовательности также представляют интерес сами по себе, и их можно изучать как шаблоны или головоломки, например, при изучении простые числа.

Существует несколько способов обозначения последовательности, некоторые из которых более полезны для определенных типов последовательностей. Один из способов указать последовательность - перечислить все ее элементы. Например, первые четыре нечетных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Это обозначение используется и для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечетных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7, ...). Поскольку запись последовательностей многоточие приводит к двусмысленности, листинг наиболее полезен для обычных бесконечных последовательностей, которые можно легко распознать по их первым нескольким элементам. Другие способы обозначения последовательности обсуждаются после примеров.

Примеры

А черепица с квадратами, стороны которых являются последовательными числами Фибоначчи по длине.

В простые числа являются натуральные числа больше 1, у которых нет делители но я и сами. Если взять их в их естественном порядке, получится последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Простые числа широко используются в математика, особенно в теория чисел где существует много связанных с ними результатов.

В Числа Фибоначчи составляют целочисленную последовательность, элементы которой являются суммой двух предыдущих элементов. Первые два элемента - это либо 0 и 1, либо 1 и 1, так что последовательность будет (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).^[2]

Другие примеры последовательностей включают последовательности, состоящие из рациональное число, действительные числа и сложные числа. Последовательность (.9, .99, .999, .9999, ...), например, приближается к числу 1. Фактически, любое действительное число может быть записано как предел последовательности рациональных чисел (например, через ее десятичное разложение ). Другой пример: $π$ является пределом возрастающей последовательности (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). Связанная последовательность - это последовательность десятичных цифр числа $π$ , то есть (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). В отличие от предыдущей последовательности, эта последовательность не имеет никакого рисунка, который можно было бы легко различить при осмотре.

Большой список примеров целочисленных последовательностей см. Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.

Индексирование

Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, шаблон которых не может быть легко угадан, или для последовательностей, которые не имеют шаблона, такого как цифры $π$ . Одно из таких обозначений - написать общую формулу для вычисления п-й член как функция п, заключите его в круглые скобки и включите индекс, указывающий набор значений, которые п может взять. Например, в этих обозначениях последовательность четных чисел может быть записана как ${displaystyle (2n) _ {nin mathbb {N}}}$ . Последовательность квадратов можно записать как ${displaystyle (n ^ {2}) _ {nin mathbb {N}}}$ . Переменная п называется индекс, а набор значений, которые он может принимать, называется набор индексов.

Часто бывает полезно комбинировать эту нотацию с техникой обработки элементов последовательности как отдельных переменных. Это дает выражения вроде ${displaystyle (a_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ , который обозначает последовательность, п-й элемент задается переменной ${displaystyle a_ {n}}$ . Например:

{displaystyle {egin {align} a_ {1} & = 1 {ext {st element of}} (a_ {n}) _ {nin mathbb {N}} a_ {2} & = 2 {ext {nd element} } a_ {3} & = 3 {ext {rd element}} & vdots a_ {n-1} & = (n-1) {ext {th element}} a_ {n} & = n {ext { th element}} a_ {n + 1} & = (n + 1) {ext {th element}} & vdots end {align}}}

Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например ${displaystyle (b_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ может быть другая последовательность, чем ${displaystyle (a_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ . Можно даже рассмотреть последовательность последовательностей: ${displaystyle ((a_ {m, n}) _ {nin mathbb {N}}) _ {min mathbb {N}}}$ обозначает последовательность, мth член - это последовательность ${displaystyle (a_ {m, n}) _ {nin mathbb {N}}}$ .

Альтернативой записи домена последовательности в нижнем индексе является указание диапазона значений, которые может принимать индекс, путем перечисления его самого высокого и самого низкого допустимых значений. Например, обозначение ${displaystyle (k ^ {2}) _ {k = 1} ^ {10}}$ обозначает десятичленную последовательность квадратов ${displaystyle (1,4,9, ..., 100)}$ . Пределы ${displaystyle infty}$ и ${displaystyle -infty}$ разрешены, но они не представляют допустимые значения для индекса, только супремум или же инфимум таких значений соответственно. Например, последовательность ${displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {infty}}$ совпадает с последовательностью ${displaystyle (a_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ , и не содержит дополнительного члена «на бесконечности». Последовательность ${displaystyle (a_ {n}) _ {n = -infty} ^ {infty}}$ это би-бесконечная последовательность, а также может быть записано как ${displaystyle (..., a _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ .

В случаях, когда понятен набор индексных номеров, нижние и верхние индексы часто опускаются. То есть просто пишут ${displaystyle (a_ {k})}$ для произвольной последовательности. Часто индекс k подразумевается, что она проходит от 1 до ∞. Однако последовательности часто индексируются, начиная с нуля, как в

{displaystyle (a_ {k}) _ {k = 0} ^ {infty} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ...).}

В некоторых случаях элементы последовательности естественным образом связаны с последовательностью целых чисел, образец которой можно легко вывести. В этих случаях индексный набор может подразумеваться перечислением нескольких первых абстрактных элементов. Например, последовательность квадратов нечетные числа может быть обозначен любым из следующих способов.

${displaystyle (1,9,25, ...)}$
${displaystyle (a_ {1}, a_ {3}, a_ {5}, ...), qquad a_ {k} = k ^ {2}}$
${displaystyle (a_ {2k-1}) _ {k = 1} ^ {infty}, qquad a_ {k} = k ^ {2}}$
${displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {infty}, qquad a_ {k} = (2k-1) ^ {2}}$
${displaystyle ((2k-1) ^ {2}) _ {k = 1} ^ {infty}}$

Более того, нижние и верхние индексы можно было бы опустить в третьей, четвертой и пятой нотации, если бы набор индексации понимался как натуральные числа. Во втором и третьем маркерах есть четко определенная последовательность ${displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {infty}}$ , но это не то же самое, что последовательность, обозначенная выражением.

Определение последовательности рекурсией

Последовательности, элементы которых напрямую связаны с предыдущими элементами, часто определяются с помощью рекурсия. Это контрастирует с определением последовательностей элементов как функций их позиций.

Чтобы определить последовательность рекурсией, необходимо правило, называемое отношение повторения чтобы построить каждый элемент в терминах предыдущих. Кроме того, должно быть предусмотрено достаточно начальных элементов, чтобы все последующие элементы последовательности могли быть вычислены путем последовательного применения рекуррентного отношения.

В Последовательность Фибоначчи простой классический пример, определяемый рекуррентным соотношением

{displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + a_ {n-2},}

с начальными условиями ${displaystyle a_ {0} = 0}$ и ${displaystyle a_ {1} = 1}$ . Отсюда простое вычисление показывает, что первые десять членов этой последовательности равны 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34.

Сложным примером последовательности, определяемой рекуррентным соотношением, является Последовательность Рекамана,^[4] определяется рекуррентным соотношением

{displaystyle {egin {cases} a_ {n} = a_ {n-1} -n, quad {ext {если результат положительный, а не в предыдущих терминах,}} a_ {n} = a_ {n- 1} + n, четверной {ext {иначе}}, конец {case}}}

с начальным сроком ${displaystyle a_ {0} = 0.}$

А линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами является рекуррентным отношением вида

{displaystyle a_ {n} = c_ {0} + c_ {1} a_ {n-1} + точки + c_ {k} a_ {n-k},}

куда ${displaystyle c_ {0}, точки, c_ {k}}$ находятся константы. Существует общий метод выражения общего термина ${displaystyle a_ {n}}$ такой последовательности как функция $п$ ; видеть Линейное повторение. В случае последовательности Фибоначчи мы имеем ${displaystyle c_ {0} = 0, c_ {1} = c_ {2} = 1,}$ и результирующая функция $п$ дан кем-то Формула Бине.

А голономная последовательность последовательность, определяемая рекуррентным соотношением вида

{displaystyle a_ {n} = c_ {1} a_ {n-1} + точки + c_ {k} a_ {n-k},}

куда ${displaystyle c_ {1}, точки, c_ {k}}$ находятся многочлены в $п$ . Для большинства голономных последовательностей нет явной формулы для явного выражения ${displaystyle a_ {n}}$ как функция $п$ . Тем не менее голономные последовательности играют важную роль в различных областях математики. Например, многие специальные функции есть Серия Тейлор последовательность коэффициентов которого голономна. Использование рекуррентного отношения позволяет быстро вычислять значения таких специальных функций.

Не все последовательности можно задать рекуррентным соотношением. Примером может служить последовательность простые числа в их естественном порядке (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Формальное определение и основные свойства

В математике существует множество различных понятий последовательностей, некоторые из которых (например, точная последовательность ) не подпадают под введенные ниже определения и обозначения.

Определение

В этой статье последовательность формально определяется как функция чей домен является интервал из целые числа. Это определение охватывает несколько различных вариантов использования слова «последовательность», в том числе односторонние бесконечные последовательности, бибесконечные последовательности и конечные последовательности (определения этих видов последовательностей см. Ниже). Однако многие авторы используют более узкое определение, требуя, чтобы домен последовательности был набором натуральные числа. Это более узкое определение имеет недостаток, заключающийся в том, что оно исключает конечные последовательности и бибесконечные последовательности, которые в стандартной математической практике обычно называются последовательностями. Другой недостаток состоит в том, что при удалении первых членов последовательности необходимо переиндексировать остальные термины для соответствия этому определению. В некоторых случаях, чтобы сократить изложение, codomain последовательности фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы это был набор р реальных чисел,^[5] набор C комплексных чисел,^[6] или топологическое пространство.^[7]

Хотя последовательности являются типом функций, они обычно условно отличаются от функций тем, что входные данные записываются в виде нижнего индекса, а не в круглых скобках, то есть $а п$ скорее, чем $а (п)$ . Существуют также терминологические различия: значение последовательности на самом нижнем входе (часто 1) называется «первым элементом» последовательности, значение на втором самом маленьком входе (часто 2) называется «вторым элементом», и т. д. Кроме того, хотя функция, выделенная из ее ввода, обычно обозначается одной буквой, например ж, последовательность, извлеченная из входных данных, обычно записывается с использованием таких обозначений, как ${displaystyle (a_ {n}) _ {nin A}}$ , или просто как ${displaystyle (a_ {n}).}$ Здесь $А$ это домен или набор индексов последовательности.

Последовательности и их пределы (см. Ниже) - важные понятия для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является концепция сети. А сеть функция от (возможно бесчисленный ) направленный набор в топологическое пространство. Условные обозначения для последовательностей обычно применимы и к сетям.

Конечное и бесконечное

В длина последовательности определяется как количество терминов в последовательности.

Последовательность конечной длины п также называется ппара. Конечные последовательности включают пустая последовательность () без элементов.

Обычно термин бесконечная последовательность относится к последовательности, которая бесконечна в одном направлении и конечна в другом - последовательность имеет первый элемент, но не конечный элемент. Такая последовательность называется единственно бесконечная последовательность или односторонняя бесконечная последовательность когда необходимо разрешение неоднозначности. Напротив, последовательность, которая бесконечна в обоих направлениях, т.е. который не имеет ни первого, ни последнего элемента - называется би-бесконечная последовательность, двусторонняя бесконечная последовательность, или же дважды бесконечная последовательность. Функция из набора Z из все целые числа в набор, такой как, например, последовательность всех четных целых чисел (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8 ...), является би-бесконечной. Эту последовательность можно было бы обозначить ${displaystyle (2n) _ {n = -infty} ^ {infty}}$ .

Увеличение и уменьшение

Последовательность называется монотонно возрастающий, если каждый член больше или равен предыдущему. Например, последовательность ${displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {infty}}$ монотонно возрастает тогда и только тогда, когда а_п+1 ${displaystyle geq}$ а_п для всех п ∈ N. Если каждый последующий член строго больше (>) предыдущего члена, то последовательность называется строго монотонно возрастающий. Последовательность монотонно убывающий, если каждый последующий срок меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывающий, если каждый из них строго меньше предыдущего. Если последовательность увеличивается или уменьшается, она называется монотонный последовательность. Это частный случай более общего понятия монотонная функция.

Условия неубывающий и невозрастающий часто используются вместо увеличение и уменьшение во избежание путаницы с строго возрастающий и строго убывающий, соответственно.

Ограниченный

Если последовательность действительных чисел (а_п) таково, что все члены меньше некоторого действительного числа M, то последовательность называется ограниченный сверху. Другими словами, это означает, что существует M такой, что для всех п, а_п ≤ M. Любая такая M называется верхняя граница. Точно так же, если на самом деле м, а_п ≥ м для всех п больше, чем некоторые N, то последовательность ограниченный снизу и любой такой м называется нижняя граница. Если последовательность ограничена сверху и снизу, то последовательность называется ограниченный.

Подпоследовательности

А подпоследовательность данной последовательности - это последовательность, образованная из данной последовательности путем удаления некоторых элементов без нарушения относительного положения остальных элементов. Например, последовательность положительных целых чисел (2, 4, 6, ...) является подпоследовательностью положительных целых чисел (1, 2, 3, ...). Положение некоторых элементов меняется при удалении других элементов. Однако взаимное расположение сохраняется.

Формально подпоследовательность последовательности ${displaystyle (a_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ любая последовательность вида ${displaystyle (a_ {n_ {k}}) _ {kin mathbb {N}}}$ , куда ${displaystyle (n_ {k}) _ {kin mathbb {N}}}$ представляет собой строго возрастающую последовательность натуральных чисел.

Другие типы последовательностей

Некоторые другие типы последовательностей, которые легко определить, включают:

An целочисленная последовательность представляет собой последовательность, члены которой являются целыми числами.
А полиномиальная последовательность - последовательность, члены которой являются полиномами.
Положительную целочисленную последовательность иногда называют мультипликативный, если а_нм = а_п а_м для всех пар п, м такой, что п и м находятся совмещать.^[8] В других случаях последовательности часто называют мультипликативный, если а_п = на₁ для всех п. Более того, мультипликативный Последовательность Фибоначчи^[9] удовлетворяет рекурсивному соотношению а_п = а_п−1 а_п−2.
А двоичная последовательность представляет собой последовательность, члены которой имеют одно из двух дискретных значений, например база 2 значения (0,1,1,0, ...), серия подбрасываний монеты (орел / решка) H, T, H, H, T, ..., ответы на набор вопросов True или False ( T, F, T, T, ...) и так далее.

Пределы и конвергенция

Сюжет сходящейся последовательности (а_п) отображается синим цветом. Из графика видно, что последовательность сходится к пределу нуля как п увеличивается.

Важное свойство последовательности - конвергенция. Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то это сходящийся. Не сходящаяся последовательность - это расходящийся.

Неформально последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению. ${displaystyle L}$ (называется пределом последовательности), и они становятся и остаются произвольно рядом с ${displaystyle L}$ , что означает, что с учетом действительного числа ${displaystyle d}$ больше нуля, все элементы последовательности, кроме конечного, находятся на расстоянии от ${displaystyle L}$ меньше, чем ${displaystyle d}$ .

Например, последовательность ${displaystyle a_ {n} = {гидроразрыв {n + 1} {2n ^ {2}}}}$ показанный справа, сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности ${displaystyle b_ {n} = n ^ {3}}$ (который начинается с 1, 8, 27,…) и ${displaystyle c_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ (который начинается -1, 1, -1, 1,…) оба расходятся.

Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, уникально. Это значение называется предел последовательности. Предел сходящейся последовательности ${displaystyle (a_ {n})}$ обычно обозначается ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n}}$ . Если ${displaystyle (a_ {n})}$ расходящаяся последовательность, то выражение ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n}}$ бессмысленно.

Формальное определение сходимости

Последовательность действительных чисел ${displaystyle (a_ {n})}$ сходится к реальное число ${displaystyle L}$ если для всех ${displaystyle varepsilon> 0}$ , существует натуральное число ${displaystyle N}$ такой, что для всех ${displaystyle ngeq N}$ у нас есть^[5]

${displaystyle | a_ {n} -L |$

Если ${displaystyle (a_ {n})}$ представляет собой последовательность комплексных чисел, а не последовательность действительных чисел, эта последняя формула все еще может использоваться для определения сходимости при условии, что ${displaystyle | cdot |}$ обозначает комплексный модуль, т.е. ${displaystyle | z | = {sqrt {z ^ {*} z}}}$ . Если ${displaystyle (a_ {n})}$ последовательность точек в метрическое пространство, то формулу можно использовать для определения сходимости, если выражение ${displaystyle | a_ {n} -L |}$ заменяется выражением ${displaystyle {ext {dist}} (a_ {n}, L)}$ , что означает расстояние между ${displaystyle a_ {n}}$ и ${displaystyle L}$ .

Приложения и важные результаты

Если ${displaystyle (a_ {n})}$ и ${displaystyle (b_ {n})}$ являются сходящимися последовательностями, то существуют следующие ограничения, которые можно вычислить следующим образом:^[5]^[10]

${displaystyle lim _ {n o infty} (a_ {n} pm b_ {n}) = lim _ {n o infty} a_ {n} pm lim _ {n o infty} b_ {n}}$
${displaystyle lim _ {n o infty} ca_ {n} = clim _ {n o infty} a_ {n}}$ для всех действительных чисел ${displaystyle c}$
${displaystyle lim _ {n o infty} (a_ {n} b_ {n}) = left (lim _ {n o infty} a_ {n} ight) left (lim _ {n o infty} b_ {n} ight) }$
${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = {frac {lim limits _ {n o infty} a_ {n}} {lim limits _ {n o infty} b_ {n}}}}$ , при условии, что ${displaystyle lim _ {n o infty} b_ {n} eq 0}$
${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} ^ {p} = left (lim _ {n o infty} a_ {n} ight) ^ {p}}$ для всех ${displaystyle p> 0}$ и ${displaystyle a_ {n}> 0}$

Более того:

Если ${displaystyle a_ {n} leq b_ {n}}$ для всех ${displaystyle n}$ больше, чем некоторые ${displaystyle N}$ , тогда ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n} leq lim _ {нет информации} b_ {n}}$ .^[а]
(Теорема сжатия )
Если ${displaystyle (c_ {n})}$ последовательность такая, что ${displaystyle a_ {n} leq c_ {n} leq b_ {n}}$ для всех ${displaystyle n> N}$ и ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = lim _ {n o infty} b_ {n} = L}$ ,
тогда ${displaystyle (c_ {n})}$ сходится, и ${displaystyle lim _ {нет информации} c_ {n} = L}$ .
Если последовательность ограниченный и монотонный тогда он сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее подпоследовательности.

Последовательности Коши

Сюжет последовательности Коши (Икс_п), показаны синим цветом, как Икс_п против п. На графике последовательность, кажется, сходится к пределу, поскольку расстояние между последовательными членами в последовательности становится меньше, чем п увеличивается. в действительные числа каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

Последовательность Коши - это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими, когда n становится очень большим. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрические пространства, и, в частности, в реальный анализ. Одним из особенно важных результатов реального анализа является Характеристика Коши сходимости последовательностей:

Последовательность действительных чисел сходится (в действительных числах) тогда и только тогда, когда она является Коши.

Напротив, есть последовательности Коши рациональное число которые не сходятся в рациональных числах, например последовательность, определеннаяИкс₁ = 1 и Икс_п+1 = Икс_п + 2/Икс_п/2является Коши, но не имеет рационального предела, ср. здесь. В более общем смысле, любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональный номер является Коши, но не сходится, когда интерпретируется как последовательность в наборе рациональных чисел.

Метрические пространства, удовлетворяющие характеризации Коши сходимости последовательностей, называются полные метрические пространства и особенно хороши для анализа.

Бесконечные пределы

В исчислении принято определять обозначения для последовательностей, которые не сходятся в рассмотренном выше смысле, но вместо этого становятся и остаются произвольно большими или становятся и остаются произвольно отрицательными. Если ${displaystyle a_ {n}}$ становится произвольно большим, поскольку ${displaystyle n o infty}$ , мы пишем

{displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = infty.}

В этом случае мы говорим, что последовательность расходится, или что это сходится к бесконечности. Пример такой последовательности: а_п = п.

Если ${displaystyle a_ {n}}$ становится произвольно отрицательным (т.е. отрицательным и большим по величине), когда ${displaystyle n o infty}$ , мы пишем

{displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = - infty}

и скажем, что последовательность расходится или же сходится к отрицательной бесконечности.

Серии

А серии неформально говоря, это сумма членов последовательности. То есть это выражение формы ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ или же ${displaystyle a_ {1} + a_ {2} + cdots}$ , куда ${displaystyle (a_ {n})}$ представляет собой последовательность действительных или комплексных чисел. В частичные суммы ряда - это выражения, полученные в результате замены символа бесконечности конечным числом, т. е. N-я частичная сумма ряда ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ это номер

{displaystyle S_ {N} = sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {N}.}

Сами частичные суммы образуют последовательность ${displaystyle (S_ {N}) _ {Nin mathbb {N}}}$ , который называется последовательность частичных сумм из серии ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ . Если последовательность частичных сумм сходится, то говорят, что ряд ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ является сходящийся, а предел ${displaystyle lim _ {нет информации} S_ {N}}$ называется ценить серии. Такие же обозначения используются для обозначения ряда и его значения, т.е. пишем ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n} = lim _ {N o infty} S_ {N}}$ .

Использование в других областях математики

Топология

Последовательности играют важную роль в топологии, особенно при изучении метрические пространства. Например:

А метрическое пространство является компактный именно тогда, когда это последовательно компактный.
Функция из метрического пространства в другое метрическое пространство есть непрерывный именно тогда, когда сходящиеся последовательности превращаются в сходящиеся последовательности.
Метрическое пространство - это связанное пространство тогда и только тогда, когда всякий раз, когда пространство разделяется на два набора, один из двух наборов содержит последовательность, сходящуюся к точке в другом наборе.
А топологическое пространство является отделяемый именно тогда, когда есть плотная последовательность точек.

Последовательности можно обобщить на сети или же фильтры. Эти обобщения позволяют распространить некоторые из приведенных выше теорем на пространства без метрики.

Топология продукта

В топологический продукт последовательности топологических пространств является декартово произведение тех пространств, оборудованных естественная топология называется топология продукта.

Более формально, учитывая последовательность пробелов ${displaystyle (X_ {i}) _ {iin mathbb {N}}}$ , пространство продукта

{displaystyle X: = prod _ {iin mathbb {N}} X_ {i},}

определяется как множество всех последовательностей ${displaystyle (x_ {i}) _ {iin mathbb {N}}}$ так что для каждого я, ${displaystyle x_ {i}}$ является элементом ${displaystyle X_ {i}}$ . В канонические проекции карты п_я : Икс → Икс_я определяется уравнением ${displaystyle p_ {i} ((x_ {j}) _ {jin mathbb {N}}) = x_ {i}}$ . Тогда топология продукта на Икс определяется как грубейшая топология (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции п_я находятся непрерывный. Топологию продукта иногда называют Тихоновская топология.

Анализ

В анализ, говоря о последовательностях, обычно будут рассматривать последовательности вида

{displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, dots) {ext {or}} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, dots)}

то есть бесконечные последовательности элементов, индексированных натуральные числа.

Может быть удобно, чтобы последовательность начиналась с индекса, отличного от 1 или 0. Например, последовательность, определенная Икс_п = 1/бревно (п) будет определено только для п ≥ 2. Когда говорят о таких бесконечных последовательностях, обычно достаточно (и это не сильно меняется для большинства соображений) предположить, что члены последовательности определены, по крайней мере, для всех индексов. достаточно большой, то есть больше некоторых заданных N.

Самый элементарный тип последовательностей - числовые, то есть последовательности настоящий или же сложный числа. Этот тип можно обобщить на последовательности элементов некоторых векторное пространство. При анализе рассматриваемые векторные пространства часто функциональные пространства. В более общем плане можно изучать последовательности с элементами в некоторых топологическое пространство.

Пространства последовательности

А пространство последовательности это векторное пространство элементы которого представляют собой бесконечные последовательности настоящий или же сложный числа. Эквивалентно, это функциональное пространство элементы которого являются функциями от натуральные числа к поле K, куда K является либо полем действительных чисел, либо полем комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всевозможных бесконечных последовательностей с элементами из K, и может быть превращен в векторное пространство под операциями точечное сложение функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей линейные подпространства этого пространства. Пространства последовательности обычно оснащены норма, или, по крайней мере, структура топологическое векторное пространство.

Наиболее важными в анализе пространствами последовательностей являются ℓ^п пространства, состоящие из п-степенно суммируемые последовательности с п-норма. Это частные случаи L^п пробелы для счетная мера на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c₀, с нормой sup. Любое пространство последовательностей также может быть оснащено топология из поточечная сходимость, при котором он становится особым видом Fréchet space называется FK-пространство.

Линейная алгебра

Последовательности над поле также можно рассматривать как векторов в векторное пространство. В частности, набор F-значные последовательности (где F это поле) это функциональное пространство (на самом деле пространство продукта ) из F-значные функции над множеством натуральных чисел.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, включая последовательности математических объектов, таких как группы или кольца.

Бесплатный моноид

Если А это набор, свободный моноид над А (обозначен А^*, также называемый Клини звезда из А) это моноид содержащие все конечные последовательности (или строки) из нуля или более элементов А, с бинарной операцией конкатенации. В свободная полугруппа А⁺ подполугруппа А^* содержащий все элементы, кроме пустой последовательности.

Точные последовательности

В контексте теория групп, последовательность

{displaystyle G_ {0}; {xrightarrow {f_ {1}}}; G_ {1}; {xrightarrow {f_ {2}}}; G_ {2}; {xrightarrow {f_ {3}}}; cdots; { xrightarrow {f_ {n}}}; G_ {n}}

из группы и групповые гомоморфизмы называется точный, если изображение (или же классифицировать ) каждого гомоморфизма равна ядро из следующих:

{displaystyle mathrm {im} (f_ {k}) = mathrm {ker} (f_ {k + 1})}

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть конечной или бесконечной.

Аналогичное определение может быть дано для некоторых других алгебраические структуры. Например, можно получить точную последовательность векторные пространства и линейные карты, или из модули и модульные гомоморфизмы.

Спектральные последовательности

В гомологическая алгебра и алгебраическая топология, а спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологий с помощью последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точные последовательности, а с момента их введения Жан Лере (1946 ), они стали важным инструментом исследования, особенно в теория гомотопии.

Теория множеств

An порядково-индексированная последовательность является обобщением последовательности. Если α - предельный порядковый номер и Икс - множество, α-индексированная последовательность элементов Икс является функцией от α до Икс. В этой терминологии ω-индексированная последовательность - это обычная последовательность.

Вычисление

В Информатика, конечные последовательности называются списки. Потенциально бесконечные последовательности называются потоки. Конечные последовательности символов или цифр называются струны.

Потоки

Бесконечные последовательности цифры (или же символы ) взят из конечный алфавит представляют особый интерес в теоретическая информатика. Их часто называют просто последовательности или же потоки, в отличие от конечных струны. Бесконечные двоичные последовательности, например, являются бесконечными последовательностями биты (символы из алфавита {0, 1}). Набор C = {0, 1}^∞ всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют Канторовское пространство.

Бесконечная двоичная последовательность может представлять собой формальный язык (набор строк), установив п -й бит последовательности в 1 тогда и только тогда, когда п -я строка (в заказ шортлекс ) находится на языке. Это представление полезно в метод диагонализации для доказательств.^[11]

Смотрите также

Операции

Продукт Коши

Примеры

Типы

Связанные понятия

Список (вычисление)
Сеть (топология) (обобщение последовательностей)
Последовательность с порядковым индексом
Рекурсия (информатика)
Набор (математика)
Кортеж

Примечания

^ Обратите внимание, что если неравенства заменить строгими неравенствами, то это неверно: существуют такие последовательности, что ${displaystyle a_ {n}$ для всех ${displaystyle n}$ , но ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n} = lim _ {нет информации} b_ {n}}$ .

внешняя ссылка

[11] Обратите внимание, что если неравенства заменить строгими неравенствами, то это неверно: существуют такие последовательности, что ${displaystyle a_ {n}$ для всех ${displaystyle n}$ , но ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n} = lim _ {нет информации} b_ {n}}$ .

[1] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-17.

[:0-2] а ^б «Последовательности». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-17.

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Последовательность". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-17.

[4] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A005132 (последовательность Рекамана)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS. Получено 26 января 2018.

[Gaughan-5] а ^б ^c Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и сходимость». Введение в анализ. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.

[Saff-6] Эдвард Б. Сафф и Артур Дэвид Снайдер (2003). «Глава 2.1». Основы комплексного анализа. ISBN 978-01-390-7874-3.

[Munkres-7] Джеймс Р. Мункрес (2000). «Главы 1 и 2». Топология. ISBN 978-01-318-1629-9.

[8] Ландо, Сергей К. (21.10.2003). «7.4 Мультипликативные последовательности». Лекции по производящим функциям. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.

[9] Сокол, Серджио (2003). «Мультипликативная последовательность Фибоначчи». Международный журнал математического образования в науке и технологиях. 34 (2): 310–315. Дои:10.1080/0020739031000158362. S2CID 121280842.

[Dawkins-10] Давикинс, Пол. «Серии и последовательности». Онлайн-математические заметки Павла / Calc II (примечания). Получено 18 декабря 2012.

[Oflazer2011-12] Офлазер, Кемаль. «ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ: РАЗРЕШИМОСТЬ» (PDF). cmu.edu. Университет Карнеги Меллон. Получено 24 апреля 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[а]

[11]