Константа (математика) - Constant (mathematics)

В математика, слово постоянный может иметь несколько значений. Как прилагательное, оно относится к неизменности (т.е. неизменности по отношению к другим ценность ); как существительное оно имеет два разных значения:

Фиксированный и четко определенный количество или другие неизменные математический объект.^[1] Условия математическая константа или физическая постоянная иногда используются, чтобы различить это значение.
А функция чье значение остается неизменным (т.е. постоянная функция ).^[2] Такая постоянная обычно обозначается переменная который не зависит от основной рассматриваемой переменной (ов). Так обстоит дело, например, с постоянная интеграции, которая является произвольной постоянной функцией (т. е. той, которая не зависит от переменной интегрирования), добавленной к конкретному первообразный чтобы получить все первообразные данной функции.

Например, генерал квадратичная функция обычно записывается как:

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,,}

где $а$ , $б$ и $c$ являются константами (или параметрами), и $Икс$ а переменная - заполнитель для аргумент изучаемой функции. Более явный способ обозначить эту функцию -

{ Displaystyle х mapsto ax ^ {2} + bx + c ,,}

что делает статус функции-аргумента $Икс$ (и, следовательно, постоянство $а$ , $б$ и $c$ ) Чисто. В этом примере $а$ , $б$ и $c$ находятся коэффициенты из многочлен. поскольку $c$ встречается в термине, который не включает $Икс$ , это называется постоянный член полинома и может рассматриваться как коэффициент при $Икс 0$ . В более общем смысле, любой полиномиальный член или выражение степень ноль - постоянная величина.^[3]^:18

Постоянная функция

Константа может использоваться для определения постоянная функция который игнорирует свои аргументы и всегда дает одно и то же значение. Постоянная функция одной переменной, например ${ displaystyle f (x) = 5}$ , имеет график горизонтальной прямой, параллельной Икс-ось. Такая функция всегда принимает одно и то же значение (в данном случае 5), потому что ее аргумент не появляется в выражении, определяющем функцию.

Контекстная зависимость

Контекстно-зависимый характер понятия «константа» можно увидеть в этом примере из элементарного исчисления:

{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} 2 ^ {x} & = lim _ {h to 0} { frac {2 ^ {x + h} -2 ^ { x}} {h}} = lim _ {h to 0} 2 ^ {x} { frac {2 ^ {h} -1} {h}} [8pt] & = 2 ^ {x} lim _ {h to 0} { frac {2 ^ {h} -1} {h}} && { text {, поскольку}} x { text {является постоянным (т.е. не зависит от}} h { text {)}} [8pt] & = 2 ^ {x} cdot mathbf {constant,} && { text {where}} mathbf {constant} { text {означает не зависит от}} x . end {выравнивается}}}

«Константа» означает отсутствие зависимости от какой-либо переменной; не меняется при изменении этой переменной. В первом случае выше это означает отсутствие зависимости отчас; во втором - это не зависит отИкс. Константа в более узком контексте может рассматриваться как переменная в более широком контексте.^[1]

Известные математические константы

Некоторые значения часто встречаются в математике и условно обозначаются специальным символом. Эти стандартные символы и их значения называются математическими константами. Примеры включают:

0 (нуль ).
1 (один ), натуральное число после нуля.
$π$ (Пи ), константа, представляющая соотношение длины окружности к ее диаметру, примерно равному 3,141592653589793238462643.^[4]
$е$ , примерно равно 2,718281828459045235360287.
$я$ , то мнимая единица такой, что $я 2 = -1$ .
${ displaystyle { sqrt {2}}}$ (квадратный корень из 2 ), длина диагонали квадрата с единичными сторонами, примерно равна 1,414213562373095048801688.
$φ$ (Золотое сечение ), примерно равное 1,618033988749894848204586, или алгебраически ${ displaystyle 1 + { sqrt {5}} более 2}$ .^[1]

Константы в исчислении

В исчисление, константы обрабатываются по-разному в зависимости от операции. Например, производная постоянной функции равна нулю. Это связано с тем, что производная измеряет скорость изменения функции по отношению к переменной, а поскольку константы по определению не изменяются, их производная, следовательно, равна нулю.

И наоборот, когда интеграция постоянная функция, постоянная умножается на переменную интегрирования. Во время оценки предел, константа остается такой же, как была до и после оценки.

Интеграция функции одной переменной часто включает постоянная интеграции. Это возникает из-за того, что интегральный оператор это обратный из дифференциальный оператор, что означает, что цель интегрирования - восстановить исходную функцию до дифференцирования. Дифференциал постоянной функции равен нулю, как отмечалось выше, а дифференциальный оператор является линейным оператором, поэтому функции, которые отличаются только постоянным членом, имеют одинаковую производную. Чтобы признать это, к переменной добавляется постоянная интеграции. неопределенный интеграл; это гарантирует включение всех возможных решений. Константа интегрирования обычно обозначается как «c» и представляет собой константу с фиксированным, но неопределенным значением.

Примеры

Если $ж$ - постоянная функция такая, что ${ displaystyle f (x) = 72}$ для каждого $Икс$ тогда

{ displaystyle { begin {align} f '(x) & = 0 int f (x) , dx & = 72x + c end {align}}}

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б ^c «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-08.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Постоянный". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-08.
^ Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, Уч. Ред. (Под ред. Классики). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.
^ Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2001). Пи - развязанный. Springer. п.240. ISBN 978-3540665724.

внешние ссылки

СМИ, связанные с Константы в Wikimedia Commons

[:0-1] а ^б ^c «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-08.

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Постоянный". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-08.

[3] Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, Уч. Ред. (Под ред. Классики). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.

[4] Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2001). Пи - развязанный. Springer. п.240. ISBN 978-3540665724.

[1]

[2]

[3]

[4]