Константа интеграции - Constant of integration

В исчисление, то постоянная интеграции, часто обозначаемый ${\displaystyle C}$, - константа, добавляемая в конец первообразный функции ${\displaystyle f(x)}$ чтобы указать, что неопределенный интеграл из ${\displaystyle f(x)}$ (т.е. набор из всех первообразные из ${\displaystyle f(x)}$), на подключенный домен, определяется только вплоть до аддитивная константа.^[1][2][3][4] Эта константа выражает неоднозначность, присущую конструкции первообразных.

Более конкретно, если функция ${\displaystyle f(x)}$ определяется на интервал, и ${\displaystyle F(x)}$ является первообразной от ${\displaystyle f(x)}$, то набор все первообразные ${\displaystyle f(x)}$ задается функциями ${\displaystyle F(x)+C}$, куда ${\displaystyle C}$ - произвольная константа (это означает, что любой значение ${\displaystyle C}$ сделал бы ${\displaystyle F(x)+C}$ действительный первообразный продукт). По этой причине неопределенный интеграл часто записывают как ${\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$,^[5] хотя константа интегрирования может иногда опускаться в списки интегралов для простоты.

Источник

В производная любой постоянной функции равна нулю. После того, как кто-то нашел одно первообразное ${\displaystyle F(x)}$ для функции ${\displaystyle f(x)}$, добавляя или вычитая любую константу ${\displaystyle C}$ даст нам еще одно первообразное, потому что ${\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)}$. Константа - это способ выразить, что каждая функция, по крайней мере, с одной первообразной, будет иметь их бесконечное количество.

Позволять ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ - две всюду дифференцируемые функции. Предположим, что ${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$ для каждого реального числа Икс. Тогда существует действительное число ${\displaystyle C}$ такой, что ${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$ для каждого реального числа Икс.

Чтобы доказать это, обратите внимание, что ${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}$. Так ${\displaystyle F}$ можно заменить на ${\displaystyle F-G}$, и ${\displaystyle G}$ постоянной функцией ${\displaystyle 0}$, ставя целью доказать, что всюду дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной:

Выберите реальное число ${\displaystyle a}$, и разреши ${\displaystyle C=F(a)}$. Для любого Икс, то основная теорема исчисления, вместе с предположением, что производная от ${\displaystyle F}$ обращается в нуль, означает, что

${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$

тем самым показывая, что ${\displaystyle F}$ - постоянная функция.

Два факта имеют решающее значение в этом доказательстве. Во-первых, настоящая линия связаны. Если бы реальная линия не была подключена, мы не всегда могли бы интегрироваться с фиксированной а к любому данному Икс. Например, если мы попросим функции, определенные на объединении интервалов [0,1] и [2,3], и если а были 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определена между 1 и 2. Здесь будет два константы, по одной на каждую связный компонент из домен. В общем, заменяя константы на локально постоянные функции, мы можем распространить эту теорему на несвязные области. Например, есть две константы интегрирования для ${\displaystyle \textstyle \int dx/x}$, и бесконечно много для ${\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,}$ так, например, общий вид интеграла от 1 /Икс является:^[6][7]

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

Второй, ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ считались всюду дифференцируемыми. Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ не дифференцируемы ни в одной точке, то теорема может быть неверной. В качестве примера пусть ${\displaystyle F(x)}$ быть Ступенчатая функция Хевисайда, который равен нулю при отрицательных значениях Икс и один для неотрицательных значений Икс, и разреши ${\displaystyle G(x)=0}$. Тогда производная от ${\displaystyle F}$ равна нулю там, где он определен, а производная от ${\displaystyle G}$ всегда равен нулю. Но ясно, что ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ не отличаются на константу, даже если предполагается, что ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ везде непрерывны и почти всюду дифференцируемая теорема все еще не верна. В качестве примера возьмем ${\displaystyle F}$ быть Функция Кантора и снова пусть ${\displaystyle G}$ = 0.

Например, предположим, что кто-то хочет найти первообразные ${\displaystyle \cos(x)}$. Одним из таких первообразных является ${\displaystyle \sin(x)}$. Еще один ${\displaystyle \sin(x)+1}$. Третий - это ${\displaystyle \sin(x)-\pi }$. У каждого из них есть производная ${\displaystyle \cos(x)}$, поэтому все они являются первообразными ${\displaystyle \cos(x)}$.

Оказывается, сложение и вычитание констант - единственная гибкость, которая у нас есть при нахождении различных первообразных одной и той же функции. То есть все первообразные с точностью до константы одинаковы. Чтобы выразить этот факт для ${\displaystyle \cos(x)}$, мы пишем:

${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}$

Замена ${\displaystyle C}$ по количеству произведет первообразную. Написав ${\displaystyle C}$ вместо числа, однако, компактное описание всех возможных первообразных ${\displaystyle \cos(x)}$ получается. ${\displaystyle C}$ называется постоянная интеграции. Легко определить, что все эти функции действительно являются первообразными от ${\displaystyle \cos(x)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$

Необходимость

На первый взгляд может показаться, что константа не нужна, поскольку ее можно обнулить. Кроме того, при оценке определенные интегралы с использованием основная теорема исчисления, константа всегда отменяется сама собой.

Однако попытка установить константу равной нулю не всегда имеет смысл. Например, ${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$ можно интегрировать как минимум тремя различными способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+C\end{aligned}}}$

Итак, установка ${\displaystyle C}$ в ноль можно оставить константу. Это означает, что для данной функции не существует «простейшей первообразной».

Еще проблема с настройкой ${\displaystyle C}$ равен нулю, это то, что иногда мы хотим найти первообразную, которая имеет заданное значение в данной точке (как в проблема начального значения ). Например, чтобы получить первообразную ${\displaystyle \cos(x)}$ который имеет значение 100 при Икс = π, то только одно значение ${\displaystyle C}$ будет работать (в этом случае ${\displaystyle C}$ = 100).

Это ограничение можно перефразировать на языке дифференциальные уравнения. Нахождение неопределенного интеграла от функции ${\displaystyle f(x)}$ то же самое, что и решение дифференциального уравнения ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$. Любое дифференциальное уравнение будет иметь множество решений, и каждая константа представляет собой уникальное решение корректной проблема начального значения. Наложив условие, что наша первообразная принимает значение 100 при Икс = π - начальное условие. Каждому начальному условию соответствует одно и только одно значение ${\displaystyle C}$так что без ${\displaystyle C}$ было бы невозможно решить проблему.

Есть еще одно оправдание, исходящее от абстрактная алгебра. Пространство всех (подходящих) действительных функций на действительные числа это векторное пространство, а дифференциальный оператор ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ это линейный оператор. Оператор${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ отображает функцию в ноль тогда и только тогда, когда эта функция постоянна. Следовательно, ядро из ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ - пространство всех постоянных функций. Процесс неопределенного интегрирования сводится к поиску прообраза данной функции. Для данной функции нет канонического прообраза, но набор всех таких прообразов формирует смежный. Выбор константы такой же, как и выбор элемента смежного класса. В этом контексте решение проблема начального значения интерпретируется как лежащий в гиперплоскость предоставленный первоначальные условия.

Рекомендации

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-14.
2. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN  0-495-01166-5.
3. Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN  0-547-16702-4.
4. «Определение постоянной интеграции | Dictionary.com». www.dictionary.com. Получено 2020-08-14.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Константа интеграции». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-14.
6. "Обзор читателей: журнал |Икс| + C ", Том Ленстер, В п-категория кафе, 19 марта 2012 г.
7. Баннер, Адриан (2007). Спасатель исчисления: все инструменты, которые вам нужны, чтобы преуспеть в исчислении. Принстон [u.a.]: Princeton University Press. п.380. ISBN  978-0-691-13088-0.