Coset - Coset

Не путать с Козетта.

г это группа (ℤ/8ℤ, +), то целые числа по модулю 8 под дополнением. Подгруппа ЧАС содержит только 0 и 4. Есть четыре левых смежных класса по ЧАС: ЧАС сам, 1 + ЧАС, 2 + ЧАС, и 3 + ЧАС (написано с использованием аддитивных обозначений, так как это аддитивная группа ). Вместе они разделяют всю группу г на равные по размеру, неперекрывающиеся наборы. В показатель [г : ЧАС] равно 4.

В математика в частности теория групп, а подгруппа ЧАС из группа г может использоваться для разложения базового набора г в непересекающийся кусочки одинакового размера, называемые смежные классы. Есть два типа смежных классов: левые классы и правые классы. Классы смежных классов (любого типа) имеют одинаковое количество элементов (мощность ) так же как и ЧАС. Более того, ЧАС сам является смежным классом, который одновременно является левым и правым смежным классом. Количество левых смежных классов ЧАС в г равно количеству правых смежных классов ЧАС в г. Общее значение называется показатель из ЧАС в г и обычно обозначается [г : ЧАС].

Классы классов - основной инструмент в изучении групп; например, они играют центральную роль в Теорема Лагранжа в котором говорится, что для любого конечная группа г, количество элементов каждой подгруппы ЧАС из г делит количество элементов г. Классы смежности определенного типа подгруппы (нормальная подгруппа ) могут использоваться как элементы другой группы, называемой фактор-группа или фактор-группа. Классы смежности также появляются в других областях математики, таких как векторные пространства и коды с исправлением ошибок.

Определение

Позволять ЧАС - подгруппа группы г операция которого записана мультипликативно (сопоставление означает применение групповой операции). Учитывая элемент г из г, то левые классы из ЧАС в г - множества, полученные умножением каждого элемента ЧАС фиксированным элементом г из г (где г - левый фактор). В символах это,

gH = { gh : час элемент ЧАС } для каждого г в г.

В правые классы определяются аналогично, за исключением того, что элемент г теперь правильный фактор, то есть

Hg = { hg : час элемент ЧАС } для г в г.

Так как г варьируется в зависимости от группы, кажется, что будет сгенерировано много смежных классов (правых или левых). Это верно, но не все смежные классы различны. Фактически, если два смежных класса одного типа имеют хотя бы один общий элемент, то они идентичны как множества.^[1]

Если групповая операция написана аддитивно, как это часто бывает, когда группа абелевский, используемые обозначения меняются на г + ЧАС или ЧАС + гсоответственно.

Первый пример

Позволять г быть диэдральная группа шестого порядка. Его элементы могут быть представлены {я, а, а², б, ab, а²б}. В этой группе а³ = б² = я и ба = а⁻¹б = а²б. Этой информации достаточно, чтобы заполнить всю таблицу умножения:

*	я	а	а^2	б	ab	а^2б
я	я	а	а^2	б	ab	а^2б
а	а	а^2	я	ab	а^2б	б
а^2	а^2	я	а	а^2б	б	ab
б	б	а^2б	ab	я	а^2	а
ab	ab	б	а^2б	а	я	а^2
а^2б	а^2б	ab	б	а^2	а	я

Позволять Т быть подгруппой {я, б}. (Различные) левые классы смежности Т находятся:

ЭТО = Т = {я, б},

в = {а, ab}, и

а²Т = {а², а²б}.

Поскольку все элементы г теперь появились в одном из этих смежных классов, генерация больше не может давать новые смежные классы, поскольку новый смежный класс должен иметь элемент, общий с одним из них, и, следовательно, быть идентичным одному из этих смежных классов. Например, abT = {ab, а} = в.

Правильные классы Т находятся:

TI = Т = {я, б},

Та = {а, ба} = {а, а²б} , и

Та² = {а², ба²} = {а², ab}.

В этом примере, кроме Т, отсутствие левого смежного класса также является правым.

Позволять ЧАС быть подгруппой {я, а, а²}. Левые смежные классы ЧАС находятся IH = ЧАС и bH = {б, ба, ба²}. Правильные классы ЧАС находятся ЗДРАВСТВУЙ = ЧАС и Hb = {б, ab, а²б} = {б, ба², ба}. В этом случае каждый левый смежный класс ЧАС также является правым смежным классом ЧАС.^[2]

Свойства

Потому что ЧАС является подгруппой, она содержит элемент идентичности, в результате чего элемент г принадлежит к классу gH. Если Икс принадлежит gH тогда xH=gH. Таким образом, каждый элемент г принадлежит ровно одному левому классу смежности по подгруппе ЧАС.^[1]

Тождество находится ровно в одном левом или правом смежном классе, а именно ЧАС сам. Таким образом ЧАС является одновременно левым и правым смежным классом.^[2]

Элементы г и Икс принадлежат к одному левому классу ЧАС, это, xH = gH если и только если г⁻¹Икс принадлежит ЧАС.^[1] Здесь можно сказать больше. Определите два элемента г, сказать Икс и у, чтобы быть эквивалентным относительно подгруппы ЧАС если Икс⁻¹у принадлежит ЧАС. Тогда это отношение эквивалентности на г и классы эквивалентности этого отношения являются левыми смежными классами ЧАС.^[3] Как и любой набор классов эквивалентности, они образуют раздел базового набора. А представитель сосета является представителем в смысле класса эквивалентности. Набор представителей всех смежных классов называется поперечный. В группе есть другие типы отношений эквивалентности, такие как сопряженность, которые образуют разные классы, не обладающие описанными здесь свойствами.

Аналогичные утверждения применимы к правым смежным классам.

Если г является абелева группа, тогда г + ЧАС = ЧАС + г для каждой подгруппы ЧАС из г и каждый элемент г из г. Для общих групп с учетом элемента г и подгруппа ЧАС группы г, правый смежный класс ЧАС относительно г также является левым смежным классом сопряженная подгруппа г⁻¹Hg  относительно г, это, Hg = г ( г⁻¹Hg ).

Нормальные подгруппы

Подгруппа N группы г это нормальная подгруппа из г тогда и только тогда, когда для всех элементов г из г соответствующие левый и правый классы смежности равны, т. е. gN = Нг. Так обстоит дело с подгруппой ЧАС в первом примере выше. Кроме того, смежные классы N в г сформировать группу под названием фактор-группа или фактор-группа.

Если ЧАС не является нормальный в г, то его левые смежные классы отличаются от его правых смежных классов. То есть есть а в г такой, что нет элемента б удовлетворяет ах = Hb. Это означает, что разделение г в левые классы ЧАС это другой раздел, чем раздел г в правые классы ЧАС. Это иллюстрируется подгруппой Т в первом примере выше. (Немного классы смежности могут совпадать. Например, если а находится в центр из г, тогда ах = Ха.)

С другой стороны, если подгруппа N является нормальным множество всех смежных классов образуют группу, называемую факторгруппой г / N с операцией ∗, определенной формулой (аН ) ∗ (bN ) = abN. Поскольку каждый правый смежный класс является левым смежным классом, нет необходимости различать «левые смежные классы» от «правых смежных классов».

Индекс подгруппы

Основная статья: Индекс подгруппы

Каждый левый или правый смежный класс ЧАС имеет такое же количество элементов (или мощность в случае бесконечный ЧАС) так как ЧАС сам. Кроме того, количество левых смежных классов равно количеству правых смежных классов и известно как показатель из ЧАС в г, записанный как [г : ЧАС ]. Теорема Лагранжа позволяет нам вычислить индекс в случае, когда г и ЧАС конечны:

${\displaystyle |G|=[G:H]|H|}$.

Это уравнение справедливо и в случае, когда группы бесконечны, хотя смысл может быть менее ясным.

Еще примеры

Целые числа

Позволять г быть аддитивная группа целых чисел, ℤ = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) и ЧАС подгруппа (3ℤ, +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +). Тогда смежные классы ЧАС в г три набора 3ℤ, 3ℤ + 1, и 3ℤ + 2, где 3ℤ + а = {..., −6 + а, −3 + а, а, 3 + а, 6 + а, ...}. Эти три набора разделяют набор ℤ, поэтому нет других правых смежных классов ЧАС. Из-за общение сложения ЧАС + 1 = 1 + ЧАС и ЧАС + 2 = 2 + ЧАС. То есть каждый левый смежный класс ЧАС также является правым смежным классом, поэтому ЧАС - нормальная подгруппа.^[4] (Тот же аргумент показывает, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна.^[5])

Этот пример можно обобщить. Снова позвольте г - аддитивная группа целых чисел, ℤ = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +), а теперь пусть ЧАС подгруппа (мℤ, +) = ({..., −2м, −м, 0, м, 2м, ...}, +), где м положительное целое число. Тогда смежные классы ЧАС в г являются м наборы мℤ, мℤ + 1, ..., мℤ + (м − 1), где мℤ + а = {..., −2м+а, −м+а, а, м+а, 2м+а, ...}. Не более чем м cosets, потому что мℤ + м = м(ℤ + 1) = мℤ. Косет (мℤ + а, +) это класс конгруэнтности из а по модулю м.^[6] Подгруппа мℤ нормально в ℤ, а значит, можно использовать для формирования фактор-группы ℤ/ мℤ группа целые числа mod m.

Векторы

Другой пример смежного класса исходит из теории векторные пространства. Элементы (векторы) векторного пространства образуют абелева группа под векторное сложение. В подпространства векторного пространства подгруппы этой группы. Для векторного пространства V, подпространство W, и фиксированный вектор а→ в V, наборы

${\displaystyle \{{\vec {x}}\in V\colon {\vec {x}}={\vec {a}}+{\vec {w}},{\vec {w}}\in W\}}$

называются аффинные подпространства, и являются смежными классами (как левыми, так и правыми, поскольку группа абелева). С точки зрения 3-х мерного геометрический векторов, эти аффинные подпространства являются «прямыми» или «плоскостями» параллельно в подпространство, которое представляет собой линию или плоскость, проходящую через начало координат. Например, рассмотрим самолет ℝ². Если м это линия, проходящая через начало координат О, тогда м является подгруппой абелевой группы ℝ². Если п в ℝ², то смежный класс п + м это линия м ' параллельно м и проходя через п.^[7]

Матрицы

Позволять г - мультипликативная группа матриц,^[8]

${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$

и подгруппа ЧАС из г,

${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}$

Для фиксированного элемента г рассмотрим левый смежный класс

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$

То есть левые классы смежности состоят из всех матриц в г с такой же записью в верхнем левом углу. Эта подгруппа ЧАС нормально в г, но подгруппа

${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$

это не нормально в г.

Как орбиты группового действия

Основная статья: Групповое действие

Подгруппа ЧАС группы г может использоваться для определения действие из ЧАС на г двумя естественными способами. А правильное действие, г × ЧАС → г данный (г, час) → gh или левое действие, ЧАС × г → г данный (час, г) → hg. В орбита из г под правым действием находится левый смежный класс gH, а орбита под левым действием является правым смежным классом Hg.^[9]

История

Концепция косета восходит к Галуа работы 1830-31 гг. Он ввел обозначения, но не дал названия концепции. Термин «совокупность» впервые появляется в 1910 г. в статье Г. А. Миллера в Ежеквартальный математический журнал (т. 41, с. 382). Были использованы различные другие термины, в том числе немецкий Небенгруппен (Вебер ) и сопряженная группа (Бернсайд ).^[10]

Галуа заботился о том, чтобы решить, когда полиномиальное уравнение был решаемый радикалами. Инструмент, который он разработал, заключался в том, чтобы отметить, что подгруппа ЧАС группы перестановки г индуцировал два разложения г (то, что мы теперь называем левым и правым смежными классами). Если эти разложения совпадали, то есть если левые классы смежности совпадают с правыми, тогда существовал способ свести проблему к одной из работы над ЧАС вместо того г. Камилла Джордан в своих комментариях к работе Галуа в 1865 и 1869 годах развил эти идеи и определил нормальные подгруппы, как мы сделали выше, хотя он не использовал этот термин.^[5]

Вызов coset gH то левый класс из г относительно ЧАС, хотя сегодня это наиболее распространено,^[9] не всегда было верным в прошлом. Например, Холл (1959) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHall1959 (Помогите) назвал бы gH а правый класс, подчеркивая, что подгруппа находится справа.

Приложение из теории кодирования

Основная статья: Стандартный массив

Двоичный линейный код - это п-мерное подпространство C из м-мерное векторное пространство V над двоичным полем GF (2). Так как V аддитивная абелева группа, C является подгруппой этой группы. Коды можно использовать для исправления ошибок, которые могут возникнуть при передаче. Когда кодовое слово (элемент C) передается, некоторые из его битов могут быть изменены в процессе, и задача приемника состоит в том, чтобы определить наиболее вероятное кодовое слово, которое повреждено. получил слово могло начаться как. Эта процедура называется расшифровка и если при передаче допущено лишь несколько ошибок, это может быть эффективно сделано с помощью всего лишь нескольких ошибок. Один метод, используемый для декодирования, использует расположение элементов V (полученное слово может быть любым элементом V) в стандартный массив. Стандартный массив представляет собой разложение смежных классов V преобразовать в табличную форму определенным образом. А именно, верхняя строка массива состоит из элементов C, записываются в любом порядке, за исключением того, что сначала следует писать нулевой вектор. Затем элемент V с минимальным количеством единиц, которые еще не появляются в верхней строке, и выбирается смежный класс C содержащий этот элемент, записывается как вторая строка (а именно, строка формируется путем взятия суммы этого элемента с каждым элементом C прямо над ним). Этот элемент называется лидер группы и при его выборе может быть какой-то выбор. Теперь процесс повторяется, новый вектор с минимальным количеством единиц, которые еще не появляются, выбирается в качестве нового лидера смежного класса и C содержащая его - следующая строка. Процесс заканчивается, когда все векторы V были отсортированы по смежным классам.

Пример стандартного массива для двумерного кода C = {00000, 01101, 10110, 11011} в 5-мерном пространстве V (с 32 векторами) выглядит следующим образом:

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

Процедура декодирования заключается в том, чтобы найти полученное слово в таблице и затем добавить к нему лидера смежного класса строки, в которой оно находится. Поскольку в двоичной арифметике сложение является той же операцией, что и вычитание, это всегда приводит к элементу C. В случае, если ошибки передачи возникли точно в ненулевых позициях лидера смежного класса, результатом будет правильное кодовое слово. В этом примере, если возникает единственная ошибка, метод всегда исправляет ее, так как в массиве появляются все возможные лидеры смежных классов с одной.

Расшифровка синдрома можно использовать для повышения эффективности этого метода. Это метод вычисления правильного смежного класса (строки), в котором будет полученное слово. п-размерный код C в м-мерное двоичное векторное пространство, a матрица проверки на четность является (м − п) × м матрица ЧАС имея свойство, которое Икс→ЧАС^⊤ = 0→ если и только если Икс→ в C.^[11] Вектор Икс→ЧАС^⊤ называется синдром из Икс→, и по линейность, каждый вектор в одном смежном классе будет иметь один и тот же синдром. Для декодирования поиск теперь сводится к поиску лидера смежного класса, который имеет тот же синдром, что и полученное слово.^[12]

Двойные классы

Основная статья: Двойной смежный класс

Учитывая две подгруппы, ЧАС и K (которые не обязательно должны быть разными) группы г, то двойные классы из ЧАС и K в г являются множествами вида HgK = {hgk : час элемент ЧАС, k элемент K }. Это левые смежные классы K и правые смежные классы ЧАС когда ЧАС = 1 и K = 1 соответственно.^[13]

Два двойных смежных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны.^[14] Набор всех двойных смежных классов для фиксированных ЧАС и K сформировать раздел г.

Двойной смежный класс HxK содержит полные правые классы смежности ЧАС (в г) формы Hxk, с участием k элемент K и полные левые классы смежности K (в г) формы hxK, с участием час в ЧАС.^[14]

Обозначение

Позволять г быть группой с подгруппами ЧАС и K. Некоторые авторы, работающие с этими наборами, разработали специальные обозначения для своих работ, где^[15][16]

• Г / ч обозначает множество левых смежных классов {gH: г в г} из ЧАС в Г.
• H G обозначает множество правых классов смежности {Hg: г в г} из ЧАС в Г.
• К Г / Ч обозначает множество двойных смежных классов {Кг / ч: г в г} из ЧАС и K в г, иногда называемый двойное смежное пространство.
• G // H обозначает двойное смежное пространство H G / H подгруппы ЧАС в г.

Больше приложений

• Сосеты по ℚ в ℝ используются при строительстве Виталий наборы, тип неизмеримое множество.
• Классы смежности занимают центральное место в определении перевод.
• Классы смежности важны в вычислительной теории групп. Например, Алгоритм Thistlethwaite для решения кубик Рубика в значительной степени полагается на смежных классов.
• В геометрии Форма Клиффорда – Клейна двойное смежное пространство Γ г/ЧАС, где г это редуктивная группа Ли, ЧАС - замкнутая подгруппа и Γ дискретная подгруппа (из г), который действует правильно прерывисто на однородное пространство г/ЧАС.

Смотрите также

• Куча
• Перечисление смежных классов

Заметки

1. Ротман 2006, п. 156
2. Дин 1990, п. 100
3. Ротман 2006, стр.155
4. Фрали 1994, п. 117
5. Фрали 1994, п. 169
6. Джоши 1989, п. 323
7. Ротман 2006, п. 155
8. Бертон 1988, стр.128, 135
9. Якобсон 2009, п. 52
10. Миллер 2012, п. 24 сноска
11. Матрица транспонирования используется для того, чтобы векторы можно было записать как векторы-строки.
12. Ротман 2006, п. 423
13. Скотт 1987, п. 19
14. Зал 1959, стр. 14-15 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHall1959 (Помогите)
15. Зейтц, Гэри М. (1998), «Двойные классы смежности в алгебраических группах», в Картере, Р. У .; Саксл, Дж. (Ред.), Алгебраические группы и их представление, Springer, стр. 241–257, Дои:10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN  978-0-7923-5292-1
16. Дакворт, В. Итан (2004), "Бесконечность двойных наборов смежных классов в алгебраических группах", Журнал алгебры, Эльзевьер, 273 (2): 718–733, Дои:10.1016 / j.algebra.2003.08.011 (неактивно 10.11.2020)

использованная литература

• Бертон, Дэвид М. (1988), Абстрактная алгебра, Вт. C. Brown Publishers, ISBN  0-697-06761-0
• Дин, Ричард А. (1990), Классическая абстрактная алгебра, Харпер и Роу, ISBN  0-06-041601-7
• Фрали, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-53467-2
• Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп, Компания Macmillan
• Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Базовая алгебра I (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1
• Джоши, К. Д. (1989), "§ 5.2 Классы смежности подгрупп", Основы дискретной математики, New Age International, стр. 322 и далее, ISBN  81-224-0120-1
• Миллер, Г. А. (2012) [1916], Теория и приложения конечных групп, Applewood Книги, ISBN  9781458500700
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-186267-8
• Скотт, W.R. (1987), "§1.7 Классы смежности и индекс", Теория групп, Courier Dover Publications, стр. 19 и далее, ISBN  0-486-65377-3

дальнейшее чтение

• Цассенхаус, Ханс Дж. (1999), "§1.4 Подгруппы", Теория групп, Courier Dover Publications, стр. 10 и далее, ISBN  0-486-40922-8

внешние ссылки

• Николас Брей. «Козет». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Левый Козет". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Правый косет". MathWorld.
• Иванова, О.А. (2001) [1994], «Косет в группе», Энциклопедия математики, EMS Press
• Coset в PlanetMath.
• Иллюстрированные примеры
• «Козет». группы. Вики Сообщества.