Теорема лагранжа (теория групп) - Lagranges theorem (group theory) - Wikipedia

G - группа

{ Displaystyle mathbb {Z} / 8 mathbb {Z}}

, то целые числа по модулю 8 под дополнением. Подгруппа H содержит только 0 и 4 и изоморфна

{ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}

. У H четыре левых смежных класса: собственно H, 1 + H, 2 + H и 3 + H (написано с использованием аддитивной записи, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на непересекающиеся множества равного размера. Таким образом индекс [G: H] равно 4.

Теорема Лагранжа, в теория групп, часть математика, утверждает, что если $ЧАС$ это подгруппа из конечная группа $грамм$ , то порядок из $ЧАС$ делит порядок $грамм$ (порядок группы - это количество элементов в ней). Теорема названа в честь Жозеф-Луи Лагранж. Следующий вариант также определяет соотношение ${ displaystyle | G | / | H |}$ , как индекс $[грамм : ЧАС]$ , определяемый как количество оставшихся смежные классы из $ЧАС$ в $грамм$ .

Теорема Лагранжа — Если $ЧАС$ является подгруппой группы $грамм$ , тогда ${ Displaystyle left | G right | = left [G: H right] CDOT left | H right |.}$

Этот вариант верен, даже если $грамм$ бесконечно при условии, что ${ displaystyle | G |}$ , ${ displaystyle | H |}$ , и $[грамм : ЧАС]$ интерпретируются как Количественные числительные.

Доказательство

Слева смежные классы из $ЧАС$ в $грамм$ являются классы эквивалентности определенного отношение эквивалентности на $грамм$ : конкретно звоните $Икс$ и $у$ в $грамм$ эквивалент, если существует $час$ в $ЧАС$ такой, что $Икс = ага$ . Следовательно, левые классы смежности образуют раздел из $грамм$ .Каждый левый смежный класс $ах$ имеет ту же мощность, что и $ЧАС$ потому что ${ Displaystyle х mapsto ax}$ определяет биекцию ${ displaystyle H to aH}$ (обратное ${ displaystyle y mapsto a ^ {- 1} y}$ Количество левых смежных классов равно индекс $[грамм : ЧАС]$ .В трех предыдущих предложениях

{ Displaystyle left | G right | = left [G: H right] CDOT left | H right |.}

Расширение

Теорема Лагранжа может быть распространена на уравнение индексов между тремя подгруппами $грамм$ .^[1]

Расширение теоремы Лагранжа. — Если $ЧАС$ является подгруппой $грамм$ и $K$ является подгруппой $ЧАС$ , тогда

{ Displaystyle [G: K] = [G: H] , [H: K].}

Доказательство —

Позволять $S$ быть набором представителей смежных классов для $K$ в $ЧАС$ , так ${ Displaystyle H = coprod _ {s in S} sK}$ (непересекающееся объединение) и ${ displaystyle | S | = [H: K]}$ .Для любого ${ displaystyle a in G}$ , умножение слева на $а$ это биекция ${ displaystyle G to G}$ , так ${ displaystyle aH = coprod _ {s in S} asK}$ . Таким образом, каждый левый смежный класс $ЧАС$ разлагается на ${ displaystyle [H: K]}$ левые классы $K$ .С $грамм$ разлагается на ${ displaystyle [G: H]}$ левые классы $ЧАС$ , каждый из которых распадается на ${ displaystyle [H: K]}$ левые классы $K$ , общее количество ${ displaystyle [G: K]}$ левых смежных классов $K$ в $грамм$ является ${ displaystyle [G: H] [H: K]}$ .

Если мы возьмем $K = {е}$ ( $е$ является элементом идентичности $грамм$ ), тогда $[грамм : {е}] = | грамм |$ и $[ЧАС : {е}] = | ЧАС |$ . Следовательно, мы можем восстановить исходное уравнение $| грамм | = [грамм : ЧАС] | ЧАС |$ .

Приложения

Следствием теоремы является то, что порядок любого элемента $а$ конечной группы (т. е. наименьшее положительное целое число $k$ с $а k = е$ , куда $е$ является единичным элементом группы) делит порядок этой группы, так как порядок $а$ равен порядку циклический подгруппа генерируется к $а$ . Если в группе есть $п$ элементы, следует

{ Displaystyle Displaystyle а ^ {п} = е { mbox {.}}}

Это можно использовать для доказательства Маленькая теорема Ферма и его обобщение, Теорема Эйлера. Эти частные случаи были известны задолго до доказательства общей теоремы.

Теорема также показывает, что любая группа простого порядка циклическая и просто. Это, в свою очередь, может быть использовано для доказательства Теорема Вильсона, что если $п$ тогда простое $п$ фактор ${ Displaystyle (п-1)! + 1}$ .

Теорема Лагранжа также может быть использована, чтобы показать, что существует бесконечно много простые числа: если бы было самое большое простое число $п$ , то простой делитель $q$ из Число Мерсенна ${ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ будет таким, что порядок $2$ в мультипликативная группа ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / д mathbb {Z}) ^ {*}}$ (видеть модульная арифметика ) делит порядок ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / д mathbb {Z}) ^ {*}}$ , который ${ displaystyle q-1}$ . Следовательно $п < q$ , что противоречит предположению, что $п$ является самым большим простым числом.^[2]

Существование подгрупп заданного порядка

Теорема Лагранжа поднимает обратный вопрос о том, является ли каждый делитель порядка группы порядком некоторой подгруппы. В общем случае это неверно: для конечной группы грамм и делитель d из |грамм|, не обязательно существует подгруппа грамм с заказом d. Самый маленький пример: А₄ (в переменная группа степени 4), в котором 12 элементов, но нет подгруппы порядка 6.

Группа "Обращение к теореме Лагранжа" (CLT) - это конечная группа, обладающая тем свойством, что для каждого делителя порядка группы существует подгруппа этого порядка. Известно, что группа CLT должна быть разрешимый и что каждый сверхразрешимая группа это группа CLT. Однако существуют разрешимые группы, не являющиеся CLT (например, А₄) и CLT-группы, которые не являются сверхразрешимыми (например, S₄, симметрическая группа степени 4).

Есть частичные обращения к теореме Лагранжа. Для общих групп, Теорема Коши гарантирует существование элемента, а следовательно, и циклической подгруппы порядка любого простого числа, делящего порядок группы. Теорема Силова расширяет это до существования подгруппы порядка, равного максимальной степени любого простого числа, делящего порядок группы. Для разрешимых групп Теоремы холла утверждают существование подгруппы порядка, равного любому унитарный делитель группового порядка (то есть дивизор, взаимно простой со своим кофактором).

Контрпример обращения теоремы Лагранжа

Обратное к теореме Лагранжа утверждает, что если $d$ это делитель порядка группы $грамм$ , то существует подгруппа $ЧАС$ куда $| ЧАС | = d$ .

Мы рассмотрим переменная группа $А 4$ , набор четных перестановки как подгруппа Симметричная группа $S 4$ .

А 4 = {е, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}

.

$| А 4 | = 12$ так что делители $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Предположим противное, что существует подгруппа $ЧАС$ в $А 4$ с $| ЧАС | = 6$ .

Позволять $V$ быть нециклический подгруппа $А 4$ называется Кляйн четыре группы.

V = {е, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}

.

Позволять $K = ЧАС ⋂ V$ . Поскольку оба $ЧАС$ и $V$ являются подгруппами $А 4$ , $K$ также является подгруппой $А 4$ .

Из теоремы Лагранжа порядок $K$ должен разделить оба $6$ и $4$ , приказы $ЧАС$ и $V$ соответственно. Единственные два положительных целых числа, которые делят оба $6$ и $4$ находятся $1$ и $2$ . Так $| K | = 1$ или же $2$ .

Предполагать $| K | = 1$ , тогда $K = {е}$ . Если $ЧАС$ не разделяет никаких элементов с $V$ , то 5 элементов в $ЧАС$ Кроме Элемент идентичности $е$ должен иметь форму $(а б в)$ куда $а, б, в$ отдельные элементы в ${1, 2, 3, 4}$ .

Поскольку любой элемент формы $(а б в)$ в квадрате $(а в б)$ , и $(а б в)(а в б) = е$ , любой элемент $ЧАС$ в виде $(а б в)$ должен быть соединен с его инверсией. В частности, оставшиеся 5 элементов $ЧАС$ должны происходить из разных пар элементов в $А 4$ что не в $V$ . Это невозможно, поскольку пары элементов должны быть четными и не могут содержать до 5 элементов. Таким образом, предположения, что $| K | = 1$ неправильно, поэтому $| K | = 2$ .

Потом, $K = {е, v}$ куда $v \in V$ , $v$ должен быть в форме $(а б)(CD)$ куда $а, б, в, г$ являются отдельными элементами ${1, 2, 3, 4}$ . Остальные четыре элемента в $ЧАС$ - циклы длины 3.

Обратите внимание, что смежные классы генерируется подгруппой группы есть разбиение группы. Классы смежности, генерируемые определенной подгруппой, либо идентичны друг другу, либо непересекающийся. Индекс подгруппы в группе $[А 4 : ЧАС] = | А 4 |/| ЧАС |$ - количество смежных классов, порожденных этой подгруппой. С $| А 4 | = 12$ и $| ЧАС | = 6$ , $ЧАС$ сгенерирует два левых смежных класса, один из которых равен $ЧАС$ и другой, $gH$ , который имеет длину 6 и включает все элементы в $А 4$ не в $ЧАС$ .

Поскольку существует только 2 различных смежных класса, порожденных $ЧАС$ , тогда $ЧАС$ должно быть нормально. Из-за этого, $ЧАС = gHg -1 (\forall грамм \in А 4)$ . В частности, это верно для $грамм = (а б в) \in А 4$ . С $ЧАС = gHg -1, gvg -1 \in ЧАС$ .

Без ограничения общности предположим, что $а = 1, б = 2, c = 3, d = 4$ . потом $грамм = (1 2 3), v = (1 2)(3 4), грамм -1 = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg -1 = (1 4)(2 3)$ . Преобразовывая обратно, получаем $gvg -1 = (а г) (б в)$ . Потому что $V$ содержит все непересекающиеся транспозиции в $А 4$ , $gvg -1 \in V$ . Следовательно, $gvg -1 \in ЧАС ⋂ V = K$ .

С $gvg -1 \neq v$ , мы показали, что есть третий элемент в $K$ . Но ранее мы предполагали, что $| K | = 2$ , получаем противоречие.

Следовательно, наше исходное предположение о существовании подгруппы порядка 6 неверно, и, следовательно, в группе нет подгруппы порядка 6. $А 4$ и обратное утверждение теоремы Лагранжа не обязательно верно.Q.E.D.

История

Лагранж не доказал теорему Лагранжа в общем виде. Он заявил в своей статье Réflexions sur la résolution algébrique des équations,^[3] что если многочлен от $п$ переменные переставляются во всех $п!$ Таким образом, количество получаемых различных многочленов всегда составляет $п!$ . (Например, если переменные $Икс$ , $у$ , и $z$ переставляются всеми шестью возможными способами в полиноме $Икс + у - z$ тогда мы получаем всего 3 различных многочлена: $Икс + у - z, Икс + z - у, и у + z - Икс$ . Обратите внимание, что 3 - это коэффициент 6.) Количество таких многочленов является индексом в симметричная группа $S п$ подгруппы $ЧАС$ перестановок, сохраняющих многочлен. (На примере $Икс + у - z$ , подгруппа $ЧАС$ в $S 3$ содержит тождество и транспозицию $(х у)$ .) Так что размер $ЧАС$ разделяет $п!$ . С развитием абстрактных групп этот результат Лагранжа о многочленах был признан распространенным на общую теорему о конечных группах, которая теперь носит его имя.

В его Disquisitiones Arithmeticae в 1801 г., Карл Фридрих Гаусс доказал теорему Лагранжа для частного случая ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / п mathbb {Z}) ^ {*}}$ , мультипликативная группа ненулевых целых чисел по модулю $п$ , куда $п$ это простое число.^[4] В 1844 г. Огюстен-Луи Коши доказал теорему Лагранжа для симметрической группы $S п$ .^[5]

Камилла Джордан окончательно доказал теорему Лагранжа для случая любого группа перестановок в 1861 г.^[6]

Примечания

^ Брей, Николас, Групповая теорема Лагранжа, MathWorld
^ Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 1», Доказательства из КНИГИ (Переработанное и дополненное шестое изд.), Берлин: Springer, стр. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1
^ Лагранж, Жозеф-Луи (1771). "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs" [Серия размышлений об алгебраическом решении уравнений. Третий раздел. О решении уравнений пятой и более высоких степеней. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin: 138–254. ; особенно видеть страницы 202-203.
^ Гаусс, Карл Фридрих (1801), Disquisitiones Arithmeticae (на латыни), Лейпциг (Липсия): Г. Флейшер, С. 41-45, Ст. 45-49.
^ Огюстен-Луи Коши, §VI. - Sur les dérivées d'une ou de plusieurs замен, et sur les systèmes de replaces consuguées [О произведениях одной или нескольких перестановок и о системах сопряженных перестановок]: "Воспоминание о сделках, сделанных ранее, а также о перестановках или заменах в аранжировках на прошлое" [Воспоминание об аранжировках, которые можно сформировать с помощью заданных букв, и о перестановках или заменах, посредством которых человек переходит от одного расположения к другому] в: Упражнения по математическому анализу и математике телосложения [Упражнения по анализу и математической физике], т. 3 (Париж, Франция: Башелье, 1844 г.), С. 183-185.
^ Иордания, Камилла (1861). "Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions" [Воспоминание о количестве значений функций]. Journal de l'École Polytechnique. 22: 113–194. Жордановское обобщение теоремы Лагранжа появляется на стр.166.

внешняя ссылка

Брей, Николас. "Групповая теорема Лагранжа". MathWorld.

[1] Брей, Николас, Групповая теорема Лагранжа, MathWorld

[2] Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 1», Доказательства из КНИГИ (Переработанное и дополненное шестое изд.), Берлин: Springer, стр. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1

[3] Лагранж, Жозеф-Луи (1771). "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs" [Серия размышлений об алгебраическом решении уравнений. Третий раздел. О решении уравнений пятой и более высоких степеней. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin: 138–254. ; особенно видеть страницы 202-203.

[4] Гаусс, Карл Фридрих (1801), Disquisitiones Arithmeticae (на латыни), Лейпциг (Липсия): Г. Флейшер, С. 41-45, Ст. 45-49.

[5] Огюстен-Луи Коши, §VI. - Sur les dérivées d'une ou de plusieurs замен, et sur les systèmes de replaces consuguées [О произведениях одной или нескольких перестановок и о системах сопряженных перестановок]: "Воспоминание о сделках, сделанных ранее, а также о перестановках или заменах в аранжировках на прошлое" [Воспоминание об аранжировках, которые можно сформировать с помощью заданных букв, и о перестановках или заменах, посредством которых человек переходит от одного расположения к другому] в: Упражнения по математическому анализу и математике телосложения [Упражнения по анализу и математической физике], т. 3 (Париж, Франция: Башелье, 1844 г.), С. 183-185.

[6] Иордания, Камилла (1861). "Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions" [Воспоминание о количестве значений функций]. Journal de l'École Polytechnique. 22: 113–194. Жордановское обобщение теоремы Лагранжа появляется на стр.166.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]