Унитарный делитель - Unitary divisor - Wikipedia

В математика, а натуральное число а это унитарный делитель (или же Делитель холла) числа б если а это делитель из б и если а и ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ находятся совмещать, не имеющий общего делителя, кроме 1. Таким образом, 5 является унитарным делителем 60, потому что 5 и ${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$ имеют только 1 как общий множитель, а 6 - это делитель но не унитарный делитель 60, так как 6 и ${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$ имеют общий множитель, отличный от 1, а именно 2. 1 является единичным делителем каждого натурального числа.

Эквивалентно данный делитель а из б является унитарным делителем тогда и только тогда, когда каждый простой делитель а имеет то же самое множественность в а как это было в б.

Функция суммы унитарных делителей обозначается строчной греческой буквой сигма следующим образом: σ * (п). Сумма k-й степени унитарных делителей обозначим σ *_k(п):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\mid n \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Если правильные унитарные делители данного числа складываются в это число, то это число называется унитарное совершенное число.

Характеристики

Количество унитарных делителей числа п 2^k, куда k это количество различных главные факторы из п.

Это потому, что каждое целое число N> 1 является произведением положительных степеней p^р_п различных простых чисел p. Таким образом, каждый унитарный делитель числа N является произведением над заданным подмножеством S простых делителей {p} числа N степеней простых чисел p^р_п для p ∈ S.Если простых делителей k, то ровно 2^k подмножества S, и утверждение следует.

Сумма унитарных делителей п это странно, если п является степенью двойки (включая 1), и даже в противном случае.

И количество, и сумма унитарных делителей числа п находятся мультипликативные функции из п которые не являются полностью мультипликативными. В Производящая функция Дирихле является

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

Каждый делитель п унитарен тогда и только тогда, когда п является без квадратов.

Нечетные унитарные делители

Сумма k-я степень нечетных унитарных делителей равна

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Он также мультипликативный, с производящей функцией Дирихле

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

Биунитарные делители

Делитель d из п это биунитарный делитель если наибольший общий унитарный делитель d и п/d равно 1. Число бунитарных делителей числа п является мультипликативной функцией п с средний заказ ${\displaystyle A\log x}$ куда^[1]

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}$

А двуединичное совершенное число единица равна сумме его биунитарных аликвотных делителей. Единственные такие числа - 6, 60 и 90.^[2]

OEIS последовательности

• OEIS: A034444 это σ₀(п) 
•  OEIS: A034448 это σ₁(п) 
•  OEIS: A034676 к OEIS: A034682 являются σ₂(п) в σ₈(п) 
•  OEIS: A068068 это σ^{(о) *}₀(п) 
•  OEIS: A192066 это σ^{(о) *}₁(п) 
•  OEIS: A064609 является ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)}$;

Рекомендации

1. Ивич (1985) стр.395
2. Сандор и др. (2006) стр.115

• Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Springer-Verlag. п. 84. ISBN  0-387-20860-7. Раздел B3.
• Пауло Рибенбойм (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел. Springer-Verlag. п. 352. ISBN  0-387-98911-0.
• Коэн, Экфорд (1959). «Класс систем вычетов (mod r) и связанных с ними арифметических функций. I. Обобщение обращения Мёбиуса». Pacific J. Math. 9 (1): 13–23. Дои:10.2140 / pjm.1959.9.13. МИСТЕР  0109806.
• Коэн, Экфорд (1960). «Арифметические функции, связанные с унитарными делителями целого числа». Mathematische Zeitschrift. 74: 66–80. Дои:10.1007 / BF01180473. МИСТЕР  0112861.
• Коэн, Экфорд (1960). «Число единичных делителей целого числа». Американский математический ежемесячный журнал. 67 (9): 879–880. Дои:10.2307/2309455. JSTOR  2309455. МИСТЕР  0122790.
• Коэн, Грэм Л. (1990). "О бесконечных делителях целых чисел". Математика. Comp. 54 (189): 395–411. Bibcode:1990MaCom..54..395C. Дои:10.1090 / S0025-5718-1990-0993927-5. МИСТЕР  0993927.
• Коэн, Грэм Л. (1993). «Арифметические функции, связанные с бесконечными делителями целого числа». Int. J. Math. Математика. Наука. 16 (2): 373–383. Дои:10.1155 / S0161171293000456.
• Финч, Стивен (2004). «Унитаризм и инфинитаризм» (PDF).
• Ивич, Александар (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями. Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и др .: John Wiley & Sons. п. 395. ISBN  0-471-80634-X. Zbl  0556.10026.
• Матар, Р. Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле по мультипликативным арифметическим функциям». arXiv:1106.4038 [math.NT ]. Раздел 4.2
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Тот, Л. (2009). «О биунитарных аналогах арифметической функции Эйлера и функции НОД-суммы». J. Int. Seq. 12.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарный делитель». MathWorld.