Мощное число - Powerful number

Демонстрация с Удилища Cuisenaire, мощной природы 1, 4, 8 и 9

А мощное число это положительное число м так что для каждого простое число п разделение м, п² также разделяет м. Точно так же мощное число является продуктом квадрат и куб, то есть число м формы м = а²б³, куда а и б положительные целые числа. Мощные числа также известны как квадратный, полный квадрат, или же 2-полный. Пол Эрдёш и Джордж Секерес изучили такие числа и Соломон В. Голомб назвал такие числа мощный.

Ниже приводится список всех сильных чисел от 1 до 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (последовательность A001694 в OEIS ).

Эквивалентность двух определений

Если м = а²б³, то каждое простое число в простые множители из а появляется в простом факторизации м с показателем не менее двух, и каждое простое число в простой факторизации числа б появляется в простом факторизации м с показателем не менее трех; следовательно, м мощный.

В другом направлении предположим, что м мощный, с простой факторизацией

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

где каждый α_я ≥ 2. Определите γ_я быть тремя, если α_я нечетно, и ноль в противном случае, и определим β_я = α_я − γ_я. Тогда все значения β_я - неотрицательные четные целые числа, и все значения γ_я равны нулю или трем, поэтому

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

обеспечивает желаемое представление м как произведение квадрата и куба.

Неформально, учитывая простую факторизацию м, брать б быть произведением основных факторов м с нечетным показателем (если их нет, возьмем б быть 1). Потому что м является мощным, каждый простой множитель с нечетной экспонентой имеет показатель не менее 3, поэтому м/б³ целое число. Кроме того, каждый простой фактор м/б³ имеет четный показатель степени, поэтому м/б³ идеальный квадрат, так что назовите это а²; тогда м = а²б³. Например:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

Представление м = а²б³ вычисленное таким образом имеет свойство, что б является свободный от квадратов, и однозначно определяется этим свойством.

Математические свойства

Сумма обратных сильных чисел сходится. Значение этой суммы может быть записано несколькими другими способами, в том числе в виде бесконечного произведения

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3),}$

куда п пробегает все простые числа, ζ (s) обозначает Дзета-функция Римана, и ζ(3) является Постоянная апери.^[1]В более общем смысле, сумма обратных величин s-ые степени сильных чисел (a Серия Дирихле производящая функция) равна

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

всякий раз, когда он сходится.

Позволять k(Икс) обозначают количество сильных чисел в интервале [1,Икс]. потом k(Икс) пропорциональна квадратный корень из Икс. Точнее,

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

(Голомб, 1970).

Два самых маленьких последовательных мощных числа - это 8 и 9. Поскольку Уравнение Пелла Икс² − 8у² = 1 имеет бесконечно много целых решений, существует бесконечно много пар последовательных сильных чисел (Голомб, 1970); В более общем смысле, можно найти последовательные сильные числа, решив аналогичное уравнение Пелла Икс² − нью-йорк² = ±1 для любого идеальный куб п. Однако одно из двух сильных чисел в паре, образованной таким образом, должно быть квадратом. По словам Гая, Эрдеш спросил, существует ли бесконечно много пар последовательных сильных чисел, таких как (23³, 2³3²13²) в котором ни одно число в паре не является квадратом. Уокер (1976) показал, что таких пар действительно бесконечно много, показав, что 3³c² + 1 = 7³d² имеет бесконечно много решений. Решения Уокера этого уравнения генерируются для любого нечетного целого числа k, учитывая число

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

для целых чисел а делится на 7 и б делится на 3, и построение из а и б последовательные сильные числа 7а² и 3б² с 7а² = 1 + 3б²Наименьшая последовательная пара в этом семействе генерируется для k = 1, а = 2637362, и б = 4028637 в качестве

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

и

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

Нерешенная проблема в математике: Могут ли три последовательных числа быть сильными? (больше нерешенных задач по математике)

Это догадка Эрдеша, Моллина и Уолша, что не существует трех последовательных сильных чисел.

Суммы и разности сильных чисел

Наглядное доказательство того, что разности последовательных квадратов представляют собой последовательные нечетные числа

Любое нечетное число - это разница двух последовательных квадратов: (k + 1)² = k² + 2k +1, поэтому (k + 1)² − k² = 2k + 1. Аналогично, любое число, кратное четырем, представляет собой разность квадратов двух чисел, различающихся на два: (k + 2)² − k² = 4k + 4. Однако однократно четное число, то есть число, делимое на два, но не на четыре, не может быть выражено как разность квадратов. Это мотивирует вопрос об определении того, какие отдельные четные числа могут быть выражены как разности сильных чисел. Голомб выставил несколько изображений этого типа:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3⁵ − 15².

Было высказано предположение, что 6 не может быть представлено таким образом, и Голомб предположил, что существует бесконечно много целых чисел, которые не могут быть представлены как разность между двумя сильными числами. Однако Наркевич показал, что 6 может быть представлено бесконечным числом способов, например

6 = 5⁴7³ − 463²,

и Макдэниел показал, что каждое целое число имеет бесконечно много таких представлений (McDaniel, 1982).

Erds предположил, что каждое достаточно большое целое число является суммой не более трех мощных чисел; это было доказано Роджер Хит-Браун (1987).

Обобщение

В более общем смысле, мы можем рассматривать целые числа, все простые множители которых имеют экспоненты не менее k. Такое целое число называется k-мощный номер, k-полное число, или k-полный номер.

(2^k+1 − 1)^k,  2^k(2^k+1 − 1)^k,   (2^k+1 − 1)^k+1

находятся k-мощные числа в арифметическая прогрессия. Более того, если а₁, а₂, ..., а_s находятся k-сильный в арифметической прогрессии с общей разницей d, тогда

а₁(а_s + d)^k,  

а₂(а_s + d)^k, ..., а_s(а_s + d)^k, (а_s + г)^k+1

находятся s + 1 k-сильные числа в арифметической прогрессии.

У нас есть личность, включающая k-мощные числа:

а^k(а^л + ... + 1)^k + а^{k + 1}(а^л + ... + 1)^k + ... + а^{k + л}(а^л + ... + 1)^k = а^k(а^л + ... +1)^k+1.

Это дает бесконечно много л+ 1-кортежи k-сильные числа, сумма которых также k-мощный. Нитадж показывает, что существует бесконечно много решений Икс+у=z в относительно простых трехзначных числах (Nitaj, 1995). Кон строит бесконечное семейство решений Икс+у=z в относительно простых некубических 3-мощных числах следующим образом: тройка

Икс = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

является решением уравнения 32Икс³ + 49Y³ = 81Z³. Мы можем построить другое решение, задав Икс′ = Икс(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32Икс³ + 81Z³), Z′ = Z(32Икс³ − 49Y³) и без общего делителя.

Смотрите также

• Число Ахилла
• Очень мощное число

Примечания

1. (Голомб, 1970)

Рекомендации

• Кон, Дж. Х. Э. (1998). «Гипотеза Эрдеша о 3-сильных числах». Математика. Comp. 67 (221): 439–440. Дои:10.1090 / S0025-5718-98-00881-3.
• Эрдеш, Пол & Секерес, Джордж (1934). "Uber die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta Litt. Sci. Сегед. 7: 95–102.
• Голомб, Соломон В. (1970). «Мощные числа». Американский математический ежемесячный журнал. 77 (8): 848–852. Дои:10.2307/2317020. JSTOR  2317020.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. Раздел B16. ISBN  978-0-387-20860-2.
• Хит-Браун, Роджер (1988). «Тернарные квадратичные формы и суммы трех квадратичных чисел». Séminaire de Théorie des Nombres, Париж, 1986-7. Бостон: Биркхойзер. С. 137–163.
• Хит-Браун, Роджер (1990). «Суммы трех целых чисел». Теория чисел, I (Будапешт, 1987). Коллок. Математика. Soc. Янош Бойяи, нет. 51. С. 163–171.
• Ивич, Александар (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями. Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и др .: John Wiley & Sons. С. 33–34, 407–413. ISBN  978-0-471-80634-9. Zbl  0556.10026.
• МакДэниел, Уэйн Л. (1982). «Представления каждого целого числа как разности сильных чисел». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 20: 85–87.
• Нитадж, Абдеррахман (1995). «О гипотезе Эрдеша о 3-сильных числах». Бык. Лондонская математика. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563. Дои:10.1112 / blms / 27.4.317.
• Уокер, Дэвид Т. (1976). «Последовательные целые пары сильных чисел и связанные с ними диофантовы уравнения» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 14 (2): 111–116. МИСТЕР  0409348.

внешняя ссылка

• Полный номер питания в Энциклопедия математики.
• Вайсштейн, Эрик В. «Мощный номер». MathWorld.
• Гипотеза abc
• OEIS последовательность A060355 (числа n такие, что n и n + 1 - пара последовательных сильных чисел)