Суперсовершенное число - Superperfect number

В математике суперсовершенное число положительный целое число п это удовлетворяет

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

где σ - функция сумматора делителя. Сверхсовершенные числа являются обобщением идеальные числа. Термин был введен Д. Сурьянараяной (1969).^[1]

Первые несколько суперсовершенных чисел:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, ... (последовательность A019279 в OEIS ).

Для иллюстрации: можно увидеть, что 16 - это суперсовершенное число, поскольку σ (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 и σ (31) = 1 + 31 = 32, таким образом, σ (σ (16) ) = 32 = 2 × 16.

Если п является даже суперсовершенное число, тогда п должно быть степенью 2, 2^k, такие что 2^k+1 - 1 - это Мерсенн прайм.^[1][2]

Неизвестно, есть ли странный суперсовершенные числа. Нечетное суперсовершенное число п должно быть квадратным числом, таким, чтобы либо п или σ (п) делится не менее чем на три различных простых числа. ^[2] Нет нечетных суперсовершенных чисел меньше 7×10²⁴.^[1]

Обобщения

Совершенные и суперсовершенные числа являются примерами более широкого класса м-суперфектные числа, удовлетворяющие

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

соответствующий м= 1 и 2 соответственно. Для м ≥ 3 нет даже м-суперфакты.^[1]

В м-суперфектные числа, в свою очередь, являются примерами (м,k) -совершенные числа, удовлетворяющие^[3]

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn\,.}$

В этих обозначениях совершенные числа являются (1,2) -совершенными, множественные числа являются (1,k) -совершенные, суперсовершенные числа являются (2,2) -совершенными и м-суперфектные числа (м, 2) -совершенно.^[4] Примеры классов (м,k) -совершенными числами являются:

м	k	(м,k) -совершенные числа	OEIS последовательность
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144	A019279
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	Любые	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	Любые	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

Заметки

1. Гай (2004) стр. 99.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Суперсовершенное число". MathWorld.
3. Коэн и те Риле (1996)
4. Парень (2007) стр.79

использованная литература

• Суперсовершенное число в PlanetMath.org.
• Cohen, G.L .; те Риле, Х. Дж. Дж. (1996). «Итерация функции суммы делителей». Экспериментальная математика. 5 (2): 93–100. Дои:10.1080/10586458.1996.10504580. Zbl  0866.11003.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. B9. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Сурьянараяна Д. (1969). «Супер идеальные числа». Elem. Математика. 24: 16–17. Zbl  0165.36001.