Общительный номер - Sociable number

В математика, общительные числа числа, чьи аликвотные суммы образуют циклическую последовательность, которая начинается и заканчивается одним и тем же номером. Они являются обобщениями концепций мирные номера и идеальные числа. Первые две социальные последовательности, или социальные цепочки, были обнаружены и названы бельгийский математик Поль Пуле в 1918 г.^[1] В наборе общительных чисел каждое число представляет собой сумму надлежащие факторы предыдущего числа, т. е. сумма исключает само предыдущее число. Чтобы последовательность была общительной, она должна быть циклической и возвращаться в исходную точку.

В период последовательности или порядка набора общительных чисел - это количество чисел в этом цикле.

Если период последовательности равен 1, это число является общительным числом порядка 1 или идеальное число - например, собственные делители из 6 равны 1, 2 и 3, сумма которых снова равна 6. Пара мирные номера представляет собой набор общительных чисел порядка 2. Нет известных общительных чисел порядка 3, и их поиски велись до ${\displaystyle 5\times 10^{7}}$ по состоянию на 1970 год.^[2]

Остается открытым вопрос, попадут ли все числа в число общительных или в основной (и, следовательно, 1), или, что то же самое, существуют ли числа, аликвотная последовательность никогда не прекращается и, следовательно, неограниченно растет.

Пример

Пример с периодом 4:

Сумма собственных делителей ${\displaystyle 1264460}$ (${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719}$) является

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

сумма собственных делителей ${\displaystyle 1547860}$ (${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$) является

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

сумма собственных делителей ${\displaystyle 1727636}$ (${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$) является

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, и

сумма собственных делителей ${\displaystyle 1305184}$ (${\displaystyle =2^{5}\cdot 40787}$) является

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Список известных общительных номеров

Следующее классифицирует все известные общительные числа по состоянию на июль 2018 года по длине соответствующей аликвотной последовательности:

Последовательность длина	Количество известных последовательности
1 (Идеальное число )	51
2 (Дружный номер )	1225736919[3]
4	5398
5	1
6	5
8	4
9	1
28	1

это предполагаемый что если п является конгруэнтный до 3 по модулю 4, то такой последовательности с длиной п.

Наименьшее число из единственного известного 28-цикла - 14316.

В поисках общительных номеров

В аликвотная последовательность можно представить как ориентированный граф, ${\displaystyle G_{n,s}}$, для данного целого числа ${\displaystyle n}$, куда ${\displaystyle s(k)}$ обозначает сумму собственных делителей ${\displaystyle k}$.^[4]Циклы в ${\displaystyle G_{n,s}}$ представляют собой общительные числа в пределах интервала ${\displaystyle [1,n]}$. Два особых случая - это петли, представляющие идеальные числа и циклы длины два, которые представляют дружные пары.

Гипотеза о сумме общительных числовых циклов

Предполагается, что по мере того, как количество общительных числовых циклов длиной больше 2 приближается к бесконечности, процент сумм общительных числовых циклов, делящихся на 10, приближается к 100%. (последовательность A292217 в OEIS ).

Рекомендации

1. П. Пуле, # 4865, L'Intermédiaire des Mathématiciens 25 (1918), стр. 100–101. (Полный текст можно найти на ProofWiki: гипотеза Каталонии-Диксона.)
2. Брэтли, Пол; Ланнон, Фред; Маккей, Джон (1970). «Дружеские номера и их раздача». Математика вычислений. 24 (110): 431–432. Дои:10.1090 / S0025-5718-1970-0271005-8. ISSN  0025-5718.
3. Сергей Черных Список дружеских пар
4. Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Распределенное обнаружение циклов в крупномасштабных разреженных графах, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), Дои:10.13140 / RG.2.1.1233.8640

• Х. Коэн, На дружные и общительные номера, Математика. Комп. 24 (1970), стр. 423–429.

внешняя ссылка

• Список известных общительных номеров
• Обширные таблицы идеальных, дружеских и общительных номеров
• Вайсштейн, Эрик В. «Общительные номера». MathWorld.
• A003416 (наименьшее общительное число из каждого цикла) и A122726 (все общительные номера) в OEIS