Первобытный - Primorial

В математика, и особенно в теория чисел, первобытный, обозначенный "#", является функция из натуральные числа к натуральным числам, подобным факториал функция, но вместо того, чтобы последовательно умножать положительные целые числа, функция только умножает простые числа.

Название «первобытный», придуманное Харви Дубнер, проводит аналогию с простые числа подобно тому, как название "факториал" относится к факторы.

Определение простых чисел

п п #

как функция

п

, построенная логарифмически.

Для $п$ ое простое число $п п$ , первозданный $п п #$ определяется как продукт первого $п$ простые числа:^[1]^[2]

{ Displaystyle п_ {п} # эквив прод _ {к = 1} ^ {п} р_ {к}}

,

куда $п k$ это $k$ ое простое число. Например, $п 5 #$ означает произведение первых 5 простых чисел:

{ displaystyle p_ {5} # = 2 times 3 times 5 times 7 times 11 = 2310.}

Первые пять примориалов $п п #$ находятся:

2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS ).

Последовательность также включает $п 0 # = 1$ в качестве пустой продукт. Асимптотически примориалы $п п #$ расти согласно:

{ displaystyle p_ {n} # = e ^ {(1 + o (1)) n log n},}

куда $о ( )$ является Маленькая нотация O.^[2]

Определение натуральных чисел

п!

(желтый) как функция

п

, в сравнении с

п #

(красный), оба графика нанесены логарифмически.

В общем, для положительного целого числа $п$ , его первозданный, $п #$ , является произведением простых чисел, не превышающих $п$ ; то есть,^[1]^[3]

{ displaystyle n # = prod _ { {p mid p { text {простое число и}} p leq n }} = prod _ {i = 1} ^ { pi (n)} p_ {i} = p _ { pi (n)} #}

,

куда $π (п)$ это функция подсчета простых чисел (последовательность A000720 в OEIS ), что дает количество простых чисел ≤ $п$ . Это эквивалентно:

{ displaystyle n # = { begin {cases} 1 & { text {if}} n = 0, 1 (n-1) # times n & { text {if}} n { text {простое}} (n-1) # & { text {if}} n { text {составное}}. end {case}}}

Например, 12 # представляет собой произведение этих простых чисел ≤ 12:

{ displaystyle 12 # = 2 times 3 times 5 times 7 times 11 = 2310.}

С $π (12) = 5$ , это можно рассчитать как:

{ displaystyle 12 # = p _ { pi (12)} # = p_ {5} # = 2310.}

Рассмотрим первые 12 значений $п #$ :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составного $п$ каждый семестр $п #$ просто дублирует предыдущий термин $(п - 1)#$ , как указано в определении. В приведенном выше примере у нас есть $12# = п 5 # = 11#$ так как 12 - составное число.

Первобытные относятся к первому Функция Чебышева, написано $ϑ (п)$ или же $θ (п)$ в соответствии с:

{ Displaystyle пер (п #) = вартета (п).}

^[4]

С $ϑ (п)$ асимптотически приближается $п$ для больших значений $п$ поэтому первоцветы растут по:

{ displaystyle n # = e ^ {(1 + o (1)) n}.}

Идея умножения всех известных простых чисел встречается в некоторых доказательствах бесконечность простых чисел, где он используется для вывода о существовании другого простого числа.

Характеристики

Позволять ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ - два смежных простых числа. Учитывая любые ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ , куда ${ Displaystyle р Leq п <д}$ :

{ Displaystyle п # = р #}

Для Primorial известно следующее приближение:^[5]

{ Displaystyle п # leq 4 ^ {п}}

.

Более того:

{ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n #}} = e}

За

{ displaystyle n <10 ^ {11}}

, значения меньше, чем

{ displaystyle e}

,^[6] но для большего

{ displaystyle n}

, значения функции превышают предел

{ displaystyle e}

и бесконечно колебаться вокруг

{ displaystyle e}

позже.

Позволять ${ displaystyle p_ {k}}$ быть ${ displaystyle k}$ -е простое число, затем ${ displaystyle p_ {k} #}$ точно ${ displaystyle 2 ^ {k}}$ делители. Например, ${ displaystyle 2 #}$ имеет 2 делителя, ${ displaystyle 3 #}$ имеет 4 делителя, ${ displaystyle 5 #}$ имеет 8 делителей и ${ displaystyle 97 #}$ уже есть ${ displaystyle 2 ^ {25}}$ делители, так как 97 - это 25-е простое число.

Сумма обратных величин первичного сходится к постоянному

{ displaystyle sum _ {p , in , mathbb {P}} {1 over p #} = {1 over 2} + {1 over 6} + {1 over 30} + ldots = 0 {.} 7052301717918 ldots}

В Расширение Engel этого числа приводит к последовательности простых чисел (см. (последовательность A064648 в OEIS ))

В соответствии с Теорема евклида, ${ displaystyle p # + 1}$ используется для доказательства бесконечности всех простых чисел.

Приложения и свойства

Primorials играют роль в поисках простые числа в аддитивных арифметических прогрессиях. Например, 2236133941 + 23 # приводит к простому числу, начиная с последовательности из тринадцати простых чисел, найденных путем повторного добавления 23 #, и заканчивая 5136341251. 23 # также является общей разницей в арифметических прогрессиях пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждый очень сложное число является продуктом примориалов (например, 360 = 2 × 6 × 30).^[7]

Primorials все целые числа без квадратов, и у каждого есть более отчетливые главные факторы чем любое число меньше его. Для каждого приморала $п$ , дробь $φ (п) / п$ меньше, чем для любого меньшего целого числа, где $φ$ это Функция Эйлера.

Любой полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в примориалах, так как он определяется своими значениями в простых числах, которые могут быть восстановлены путем деления смежных значений.

Базовые системы, соответствующие примориалам (например, база 30, не путать с изначальная система счисления ) имеют меньшую долю повторяющиеся дроби чем любая меньшая база.

Каждый примориал - это редко встречающееся число.^[8]

В $п$ -композитор составное число $п$ является произведением всех составных чисел до $п$ .^[9] В $п$ -compositorial равен $п$ -факториал разделенный примориалом $п #$ . Композиторы

1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, ...^[10]

Внешность

В Дзета-функция Римана в положительных целых числах больше единицы может быть выражено^[11] используя примитивную функцию и Тотальная функция Джордана $J k (п)$ :

{ displaystyle zeta (k) = { frac {2 ^ {k}} {2 ^ {k} -1}} + sum _ {r = 2} ^ { infty} { frac {(p_ { r-1} #) ^ {k}} {J_ {k} (p_ {r} #)}}, quad k = 2,3, dots}

Таблица примориалов

$п$	$п #$	$п п$	$п п #$ ^[12]	Первоначальный премьер ?
$п$	$п #$	$п п$	$п п #$ ^[12]	п_п# + 1^[13]	п_п# − 1^[14]
0	1	Нет данных	1	да	Нет
1	1	2	2	да	Нет
2	2	3	6	да	да
3	6	5	30	да	да
4	6	7	210	да	Нет
5	30	11	2310	да	да
6	30	13	30030	Нет	да
7	210	17	510510	Нет	Нет
8	210	19	9699690	Нет	Нет
9	210	23	223092870	Нет	Нет
10	210	29	6469693230	Нет	Нет
11	2310	31	200560490130	да	Нет
12	2310	37	7420738134810	Нет	Нет
13	30030	41	304250263527210	Нет	да
14	30030	43	13082761331670030	Нет	Нет
15	30030	47	614889782588491410	Нет	Нет
16	30030	53	32589158477190044730	Нет	Нет
17	510510	59	1922760350154212639070	Нет	Нет
18	510510	61	117288381359406970983270	Нет	Нет
19	9699690	67	7858321551080267055879090	Нет	Нет
20	9699690	71	557940830126698960967415390	Нет	Нет
21	9699690	73	40729680599249024150621323470	Нет	Нет
22	9699690	79	3217644767340672907899084554130	Нет	Нет
23	223092870	83	267064515689275851355624017992790	Нет	Нет
24	223092870	89	23768741896345550770650537601358310	Нет	да
25	223092870	97	2305567963945518424753102147331756070	Нет	Нет
26	223092870	101	232862364358497360900063316880507363070	Нет	Нет
27	223092870	103	23984823528925228172706521638692258396210	Нет	Нет
28	223092870	107	2566376117594999414479597815340071648394470	Нет	Нет
29	6469693230	109	279734996817854936178276161872067809674997230	Нет	Нет
30	6469693230	113	31610054640417607788145206291543662493274686990	Нет	Нет
31	200560490130	127	4014476939333036189094441199026045136645885247730	Нет	Нет
32	200560490130	131	525896479052627740771371797072411912900610967452630	Нет	Нет
33	200560490130	137	72047817630210000485677936198920432067383702541010310	Нет	Нет
34	200560490130	139	10014646650599190067509233131649940057366334653200433090	Нет	Нет
35	200560490130	149	1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410	Нет	Нет
36	200560490130	151	225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910	Нет	Нет
37	7420738134810	157	35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870	Нет	Нет
38	7420738134810	163	5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810	Нет	Нет
39	7420738134810	167	962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270	Нет	Нет
40	7420738134810	173	166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710	Нет	Нет

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Первобытный». MathWorld.
^ ^а ^б (последовательность A002110 в OEIS )
^ (последовательность A034386 в OEIS )
^ Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева». MathWorld.
^ Г. Х. Харди, Э. М. Райт: Введение в теорию чисел. 4-е издание. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд, 1975. ISBN 0-19-853310-1.
Теорема 415, с. 341
^ Л. Шенфельд: Более точные оценки функций Чебышева ${ Displaystyle тета (х)}$ и ${ Displaystyle psi (х)}$ . II. Математика. Комп. Vol. 34, № 134 (1976) 337–360; п. 359.
Цитируется по: Г. Робин: Оценка функции Чебышефа ${ displaystyle theta}$ сюр-ле ${ displaystyle k}$ -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction ${ Displaystyle omega (п)}$ , nombre de diviseurs premiers de ${ displaystyle n}$ . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731 КБ ); п. 371
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002182 (Сильно составные числа)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
^ Массер, Д.; Шиу П. (1986). "По малочисленным номерам". Pac. J. Math. 121 (2): 407–426. Дои:10.2140 / pjm.1986.121.407. ISSN 0030-8730. МИСТЕР 0819198. Zbl 0538.10006.
^ Уэллс, Дэвид (2011). Простые числа: самые загадочные числа в математике. Джон Вили и сыновья. п. 29. ISBN 9781118045718. Получено 16 марта 2016.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A036691 (Составные числа: произведение первых n составных чисел.)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
^ Мезо, Иштван (2013). «Первобытный и дзета-функция Римана». Американский математический ежемесячник. 120 (4): 321.
^ http://planetmath.org/TableOfTheFirst100Primorials
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A014545 (Первоначальный плюс 1 простой индекс)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A057704 (Первоначальный - 1 простой индекс)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.