Функция Чебышева - Chebyshev function

Функция Чебышева ψ(Икс), с Икс < 50

Функция ψ(Икс) − Икс, за Икс < 10⁴

Функция ψ(Икс) − Икс, за Икс < 10⁷

В математика, то Функция Чебышева является одной из двух связанных функций. В первая функция Чебышева ϑ(Икс) или же θ(Икс) дан кем-то

${displaystyle vartheta (x)=sum _{pleq x}log p}$

с суммой, распространяющейся на все простые числа п которые меньше или равны Икс.

В вторая функция Чебышева ψ(Икс) определяется аналогично, причем сумма по всем степеням простых чисел не превышаетИкс

${displaystyle psi (x)=sum _{kin mathbb {N} }sum _{p^{k}leq x}log p=sum _{nleq x}Lambda (n)=sum _{pleq x}leftlfloor log _{p}xightfloor log p,}$

куда Λ это функция фон Мангольдта. Чебышевские функции, особенно вторая ψ(Икс), часто используются в доказательствах, связанных с простые числа, потому что с ними обычно проще работать, чем с функция подсчета простых чисел, π(Икс) (Видеть точная формула ниже.) Обе функции Чебышева асимптотичныИкс, утверждение, эквивалентное теорема о простых числах.

Обе функции названы в честь Пафнутый Чебышев.

Отношения

Вторую функцию Чебышева можно увидеть как связанную с первой, записав ее как

${displaystyle psi (x)=sum _{pleq x}klog p}$

куда k - единственное целое число такое, что п^k ≤ Икс и Икс < п^{k + 1}. Ценности k даны в OEIS: A206722. Более прямую связь дает

${displaystyle psi (x)=sum _{n=1}^{infty }vartheta left(x^{frac {1}{n}}ight).}$

Обратите внимание, что эта последняя сумма имеет лишь конечное число ненулевых членов, так как

${displaystyle vartheta left(x^{frac {1}{n}}ight)=0quad { ext{for}}quad n>log _{2}x ={frac {log x}{log 2}}.}$

Вторая функция Чебышева - это логарифм наименьший общий множитель целых чисел от 1 доп.

${displaystyle operatorname {lcm} (1,2,dots ,n)=e^{psi (n)}.}$

Ценности lcm (1,2, ...,п) для целочисленной переменной п дается в OEIS: A003418.

Асимптотика и оценки

Для функций Чебышева известны следующие оценки:^[1][2] (в этих формулах п_k это kое простое число п₁ = 2, п₂ = 3, так далее.)

${displaystyle {egin{aligned}vartheta (p_{k})&geq kleft(ln k+ln ln k-1+{frac {ln ln k-2.050735}{ln k}}ight)&&{ ext{for }}kgeq 10^{11},[8px]vartheta (p_{k})&leq kleft(ln k+ln ln k-1+{frac {ln ln k-2}{ln k}}ight)&&{ ext{for }}kgeq 198,[8px]|vartheta (x)-x|&leq 0.006788{frac {x}{ln x}}&&{ ext{for }}xgeq 10,544,111,[8px]|psi (x)-x|&leq 0.006409{frac {x}{ln x}}&&{ ext{for }}xgeq e^{22},[8px]0.9999{sqrt {x}}&<psi (x)-vartheta (x)<1.00007{sqrt {x}}+1.78{sqrt[{3}]{x}}&&{ ext{for }}xgeq 121.end{aligned}}}$

Кроме того, под Гипотеза Римана,

${displaystyle {egin{aligned}|vartheta (x)-x|&=Oleft(x^{{frac {1}{2}}+varepsilon }ight)|psi (x)-x|&=Oleft(x^{{frac {1}{2}}+varepsilon }ight)end{aligned}}}$

для любого ε > 0.

Верхние границы существуют для обоих ϑ(Икс) и ψ(Икс) так что,^{[1] [3]}

${displaystyle {egin{aligned}vartheta (x)&<1.000028xpsi (x)&<1.03883xend{aligned}}}$

для любого Икс > 0.

Объяснение константы 1.03883 дано на OEIS: A206431.

Точная формула

В 1895 г. Ганс Карл Фридрих фон Мангольдт доказано^[4] ан явное выражение за ψ(Икс) в виде суммы по нетривиальным нулям Дзета-функция Римана:

${displaystyle psi _{0}(x)=x-sum _{ho }{frac {x^{ho }}{ho }}-{frac {zeta '(0)}{zeta (0)}}-{ frac {1}{2}}log(1-x^{-2}).}$

(Числовое значение ζ ′(0)/ζ(0) является журнал (2π).) Здесь ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции, а ψ₀ такой же как ψ, за исключением того, что на разрывах скачка (степени простого числа) он принимает значение посередине между значениями слева и справа:

${displaystyle psi _{0}(x)={ frac {1}{2}}left(sum _{nleq x}Lambda (n)+sum _{n<x}Lambda (n)ight)={egin{cases}psi (x)-{ frac {1}{2}}Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,dots [5px]psi (x)&{mbox{otherwise.}}end{cases}}}$

От Серия Тейлор для логарифм, последний член в явной формуле можно понимать как сумму Икс^ω/ω над тривиальными нулями дзета-функции, ω = −2, −4, −6, ..., т.е.

${displaystyle sum _{k=1}^{infty }{frac {x^{-2k}}{-2k}}={ frac {1}{2}}log left(1-x^{-2}ight).}$

Точно так же первый член, Икс = Икс¹/1, соответствует простому столб дзета-функции в 1. То, что полюс, а не ноль, означает противоположный знак члена.

Характеристики

Теорема из Эрхард Шмидт утверждает, что для некоторой явной положительной постоянной K, натуральных чисел бесконечно много Икс такой, что

${displaystyle psi (x)-x<-K{sqrt {x}}}$

и бесконечно много натуральных чисел Икс такой, что

${displaystyle psi (x)-x>K{sqrt {x}}.}$^[5][6]

В маленький-о обозначение, можно записать это как

${displaystyle psi (x)-xeq oleft({sqrt {x}}ight).}$

Харди и Littlewood^[7] доказать более сильный результат, что

${displaystyle psi (x)-xeq oleft({sqrt {x}}log log log xight).}$

Отношение к примориалам

Первая функция Чебышева - это логарифм первобытный из Икс, обозначенный Икс#:

${displaystyle vartheta (x)=sum _{pleq x}log p=log prod _{pleq x}p=log left(x#ight).}$

Это доказывает, что первобытный Икс# асимптотически равно е^{(1 + о(1))Икс}, куда "о"это маленький-о обозначение (см. большой О обозначение ) и вместе с теоремой о простых числах устанавливает асимптотическое поведение п_п#.

Связь с функцией подсчета простых чисел

Функция Чебышева может быть связана с функцией счета простых чисел следующим образом. Определять

${displaystyle Pi (x)=sum _{nleq x}{frac {Lambda (n)}{log n}}.}$

потом

${displaystyle Pi (x)=sum _{nleq x}Lambda (n)int _{n}^{x}{frac {dt}{tlog ^{2}t}}+{frac {1}{log x}}sum _{nleq x}Lambda (n)=int _{2}^{x}{frac {psi (t),dt}{tlog ^{2}t}}+{frac {psi (x)}{log x}}.}$

Переход от Π к функция подсчета простых чисел, π, производится уравнением

${displaystyle Pi (x)=pi (x)+{ frac {1}{2}}pi left({sqrt {x}}ight)+{ frac {1}{3}}pi left({sqrt[{3}]{x}}ight)+cdots }$

Безусловно π(Икс) ≤ Икс, поэтому для приближения это последнее соотношение можно переписать в виде

${displaystyle pi (x)=Pi (x)+Oleft({sqrt {x}}ight).}$

Гипотеза Римана

В Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть 1/2. В этом случае, |Икс^ρ| = √Икс, и можно показать, что

${displaystyle sum _{ho }{frac {x^{ho }}{ho }}=Oleft({sqrt {x}}log ^{2}xight).}$

По сказанному выше это означает

${displaystyle pi (x)=operatorname {li} (x)+Oleft({sqrt {x}}log xight).}$

Хорошее свидетельство того, что гипотеза может быть верной, исходит из факта, предложенного Ален Конн и другие, что если мы дифференцируем формулу фон Мангольдта по Икс мы получили Икс = е^ты. Манипулируя, мы имеем "формулу следа" для экспоненты гамильтонова оператора, удовлетворяющую

${displaystyle left.zeta left({ frac {1}{2}}+i{hat {H}}ight)ight|ngeq zeta left({ frac {1}{2}}+iE_{n}ight)=0,}$

и

${displaystyle sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{frac {u}{2}}-e^{-{frac {u}{2}}}{frac {dpsi _{0}}{du}}-{frac {e^{frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=operatorname {Tr} left(e^{iu{hat {H}}}ight),}$

где «тригонометрическую сумму» можно рассматривать как след оператора (статистическая механика ) е^iuĤ, что верно, только если ρ = 1/2 + iE(п).

Используя полуклассический подход, потенциал ЧАС = Т + V удовлетворяет:

${displaystyle {frac {Z(u)u^{frac {1}{2}}}{sqrt {pi }}}sim int _{-infty }^{infty }e^{ileft(uV(x)+{frac {pi }{4}}ight)},dx}$

с Z(ты) → 0 в качестветы → ∞.

решение этого нелинейного интегрального уравнения может быть получено (среди прочего) с помощью

${displaystyle V^{-1}(x)approx {sqrt {4pi }}cdot {frac {d^{frac {1}{2}}}{dx^{frac {1}{2}}}}N(x)}$

чтобы получить обратную величину потенциала:

${displaystyle pi N(E)=operatorname {Arg} xi left({ frac {1}{2}}+iEight).}$

Функция сглаживания

Разница сглаженной функции Чебышева и Икс²/2 за Икс < 10⁶

В функция сглаживания определяется как

${displaystyle psi _{1}(x)=int _{0}^{x}psi (t),dt.}$

Можно показать, что

${displaystyle psi _{1}(x)sim {frac {x^{2}}{2}}.}$

Вариационная формулировка

Функция Чебышева, вычисленная на Икс = е^т минимизирует функционал

${displaystyle J[f]=int _{0}^{infty }{frac {f(s)zeta '(s+c)}{zeta (s+c)(s+c)}},ds-int _{0}^{infty }!!!int _{0}^{infty }e^{-st}f(s)f(t),ds,dt,}$

так

${displaystyle f(t)=psi left(e^{t}ight)e^{-ct}quad { ext{for }}c>0.}$

Примечания

1. Россер, Дж. Баркли; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел». Иллинойс Дж. Математика. 6: 64–94.

• ^ Пьер Дюзар, "Оценки некоторых функций над простыми числами без R.H.". arXiv:1002.0442
• ^ Пьер Дюзар, "Более точные оценки для ψ, θ, π, п_k", Rapport de recherche № 1998-06, Université de Limoges. Сокращенная версия появилась как" The kth простое число больше, чем k(ln k + ln ln k − 1) за k ≥ 2", Математика вычислений, Vol. 68, № 225 (1999), стр. 411–415.
• ^ Эрхард Шмидт, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), стр. 195–204.
• ^ G .H. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, "Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел", Acta Mathematica, 41 (1916) стр. 119–196.
• ^ Давенпорт, Гарольд (2000). В Теория мультипликативных чисел. Springer. п. 104. ISBN  0-387-95097-4. Поиск книг Google.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Чебышевские функции». MathWorld.
• «Сумматорная функция Мангольдта». PlanetMath.
• «Чебышевские функции». PlanetMath.
• Явная формула Римана, с изображениями и фильмами