Гипотеза Римана - Riemann hypothesis

Для музыкального термина см. Риманова теория.

Действительная часть (красный цвет) и мнимая часть (синий цвет) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re (s) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть на Im (s) = ± 14,135, ± 21,022 и ± 25,011.

В математике Гипотеза Римана это догадка что Дзета-функция Римана имеет свой нули только при отрицательных четных числах и сложные числа с реальная часть 1/2. Многие считают это важнейшей нерешенной проблемой в чистая математика (Bombieri 2000 ). Это вызывает большой интерес в теория чисел потому что это подразумевает результаты о распределении простые числа. Это было предложено Бернхард Риманн  (1859 ), в честь которого назван.

Гипотеза Римана и некоторые ее обобщения, а также Гипотеза Гольдбаха и гипотеза о простых близнецах, включать Восьмая проблема Гильберта в Дэвид Гильберт список 23 нерешенных проблемы; это также один из Институт математики Клэя Задачи Премии тысячелетия. Это имя также используется для некоторых близких аналогов, таких как Гипотеза Римана для кривых над конечными полями.

Дзета-функция Римана ζ (s) это функция чей аргумент s может быть любой комплексное число кроме 1, и значения которых также являются сложными. Он имеет нули при отрицательных четных числах; то есть ζ (s) = 0, когда s является одним из −2, −4, −6, .... Они называются его тривиальные нули. Однако отрицательные четные целые числа - не единственные значения, для которых дзета-функция равна нулю. Остальные называются нетривиальные нули. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна1/2.

Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули лежат на критической прямой, состоящей из комплексных чисел 1/2 + Это, куда т это настоящий номер и я это мнимая единица.

Есть несколько нетехнических книг по гипотезе Римана, таких как Дербишир (2003), Рокмор (2005), (Саббаг2003a, 2003b ),дю Сотуа (2003), и Уоткинс (2015). Книги Эдвардс (1974), Паттерсон (1988), Borwein et al. (2008), Мазур и Штейн (2015) и Броуган (2017) дать математические представления, аТитчмарш (1986), Ивич (1985) и Карацуба и Воронин (1992) продвинуты монографии.

Дзета-функция Римана

В Дзета-функция Римана определяется для сложных s с действительной частью больше 1 на абсолютно сходящийся бесконечная серия

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Леонард Эйлер уже рассматривал этот ряд в 1730-х годах для реальных значений s в сочетании с его решением Базельская проблема. Он также доказал, что он равен Произведение Эйлера

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots }$

где бесконечный продукт распространяется на все простые числа п.^[1]

Гипотеза Римана обсуждает нули вне области сходимости этого ряда и произведения Эйлера. Чтобы понять гипотезу, необходимо аналитически продолжить функция для получения формы, которая действительна для всех сложных s. Это допустимо, потому что дзета-функция мероморфный, поэтому его аналитическое продолжение гарантированно будет уникальным, а функциональные формы эквивалентны домены. Сначала нужно показать, что дзета-функция и Эта функция Дирихле удовлетворять отношению

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots .}$

Но ряд справа сходится не только тогда, когда действительная часть s больше единицы, но чаще, когда s имеет положительную реальную часть. Таким образом, этот альтернативный ряд расширяет дзета-функцию от Re (s) > 1 в большую область Re (s) > 0, без нулей ${\displaystyle s=1+2\pi in/\ln(2)}$ из ${\displaystyle 1-2/2^{s}}$ куда ${\displaystyle n}$ - любое ненулевое целое число (см. Эта функция Дирихле ). Дзета-функцию также можно расширить до этих значений, взяв пределы, давая конечное значение для всех значений s с положительной действительной частью, за исключением простой полюс в s = 1.

В полосе 0 s) < 1 дзета-функция удовлетворяет функциональное уравнение

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Тогда можно определить ζ (s) для всех оставшихся ненулевых комплексных чисел s (Re (s) ≤ 0 и s ≠ 0), применяя это уравнение вне полосы и полагая ζ (s) равняется правой части уравнения всякий раз, когда s имеет неположительную действительную часть (и s ≠ 0).

Если s - четное отрицательное число, то ζ (s) = 0, поскольку множитель sin (πs/ 2) исчезает; эти тривиальные нули дзета-функции. (Если s положительное четное целое число, этот аргумент неприменим, потому что нули синус функции отменяются полюсами гамма-функция поскольку он принимает отрицательные целочисленные аргументы.)

Значение ζ (0) = −1/2 не определяется функциональным уравнением, но является предельным значением ζ (s) в качестве s приближается к нулю. Функциональное уравнение также подразумевает, что дзета-функция не имеет нулей с отрицательной действительной частью, кроме тривиальных нулей, поэтому все нетривиальные нули лежат в критической полосе, где s имеет действительную часть от 0 до 1.

Источник

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... очень вероятно, что все корни настоящие. Конечно, здесь хотелось бы получить строгое доказательство; Я пока, после нескольких мимолетных тщетных попыток, временно отложил поиски этого, так как это кажется ненужным для непосредственной цели моего расследования.

— Утверждение Римана гипотезы Римана из (Риман 1859 г. ). (Он обсуждал версию дзета-функции, измененную так, чтобы ее корни (нули) были действительными, а не на критической линии.)

Первоначальной мотивацией Римана к изучению дзета-функции и ее нулей было их появление в его явная формула для количество простых чисел π(Икс) меньше или равно заданному числу Икс, который он опубликовал в своей статье 1859 г. "О количестве простых чисел меньше заданной величины ". Его формула была дана в терминах связанной функции

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{\frac {1}{2}})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{\frac {1}{3}})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{\frac {1}{4}})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{\frac {1}{5}})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{\frac {1}{6}})+\cdots }$

который считает простые числа и степени простых чисел до Икс, считая простую степень п^п как¹⁄_п. Число простых чисел можно восстановить из этой функции с помощью Формула обращения Мебиуса,

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{\frac {1}{n}})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{\frac {1}{2}})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{\frac {1}{3}})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{\frac {1}{5}})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{\frac {1}{6}})-\cdots ,\end{aligned}}}$

куда μ это Функция Мёбиуса. Формула Римана тогда

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log(t)}}}$

где сумма ведется по нетривиальным нулям дзета-функции и где Π₀ - это слегка измененная версия Π, которая заменяет его значение в точках разрыва на среднее значение его верхнего и нижнего пределов:

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Суммирование в формуле Римана не является абсолютно сходящийся, но можно оценить, взяв нули ρ в порядке абсолютного значения их мнимой части. Функция li, встречающаяся в первом члене, является (без смещения) логарифмическая интегральная функция предоставленный Главное значение Коши расходящегося интеграла

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log(t)}}.}$

Слагаемые li (Икс^ρ), включающие нули дзета-функции, требуют некоторой осторожности при их определении, поскольку li имеет точки ветвления в 0 и 1 и определены (для Икс > 1) аналитическим продолжением по комплексной переменной ρ в области Re (ρ)> 0, т.е. их следует рассматривать как Ei (ρ пер Икс). Остальные члены также соответствуют нулям: доминирующий член li (Икс) исходит от полюса в s = 1, рассматриваемый как нуль кратности −1, а остальные малые члены происходят из тривиальных нулей. Некоторые графики сумм первых нескольких членов этой серии см. Ризель и Гёль (1970) или же Загир (1977).

Эта формула говорит, что нули дзета-функции Римана управляют колебаниями простых чисел вокруг их «ожидаемых» положений. Риман знал, что нетривиальные нули дзета-функции симметрично распределены относительно линии s = 1/2 + Это, и он знал, что все его нетривиальные нули должны лежать в диапазоне 0 ≤ Re (s) ≤ 1. Он проверил, что несколько нулей лежат на критической линии с действительной частью 1/2, и предположил, что все они лежат; это гипотеза Римана.

Результат захватил воображение большинства математиков, потому что он настолько неожиданный, что связывает две, казалось бы, не связанные между собой области математики; а именно, теория чисел, который является исследованием дискретного, и комплексный анализ, который имеет дело с непрерывными процессами. (Бертон 2006, п. 376)

Последствия

Практическое использование гипотезы Римана включает множество утверждений, которые, как известно, истинны в рамках гипотезы Римана, и некоторые из них, которые можно показать как эквивалентные гипотезе Римана.

Распределение простых чисел

Явная формула Римана за количество простых чисел меньше заданного числа в терминах суммы по нулям дзета-функции Римана говорит, что величина колебаний простых чисел вокруг их ожидаемого положения контролируется действительными частями нулей дзета-функции. В частности, термин ошибки в теорема о простых числах тесно связан с положением нулей. Например, если β - верхняя граница действительных частей нулей, то (Ингхэм 1932 ),^{:Теорема 30, стр.83} (Монтгомери и Воан 2007 )^{:п. 430}

${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\left(x^{\beta }\log x\right)}$.

Уже известно, что 1/2 ≤ β ≤ 1 (Ингхэм 1932 ).^{:п. 82}

Фон Кох (1901) доказал, что гипотеза Римана дает «наилучшую возможную» оценку ошибки теоремы о простых числах. Точная версия результата Коха, благодаря Шенфельд (1976), говорит, что гипотеза Римана влечет

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}$

где π (Икс) это функция подсчета простых чисел, и журнал (Икс) это натуральный логарифм из Икс.

Шенфельд (1976) также показал, что гипотеза Римана влечет

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}$

где ψ (Икс) является Вторая функция Чебышева.

Дудек (2014) доказал, что из гипотезы Римана следует, что для всех ${\displaystyle x\geq 2}$ есть прайм ${\displaystyle p}$ удовлетворение

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$

.

Это явная версия теоремы Крамер.

Рост арифметических функций

Гипотеза Римана подразумевает строгие ограничения на рост многих других арифметических функций в дополнение к функции подсчета простых чисел выше.

Один из примеров включает Функция Мёбиуса μ. Утверждение, что уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

действительно для каждого s с действительной частью больше 1/2, с суммой в правой части сходящейся, эквивалентно гипотезе Римана. Из этого также можно сделать вывод, что если Функция Мертенса определяется

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

затем утверждение, что

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

для любого положительного ε эквивалентно гипотезе Римана (Дж. Э. Литтлвуд, 1912; см., например: параграф 14.25 в Титчмарш (1986) ). (Значение этих символов см. Обозначение Big O.) Определитель порядка п Матрица Редхеффера равно M(п), поэтому гипотезу Римана также можно сформулировать как условие роста этих детерминант. Гипотеза Римана довольно жестко ограничивает рост M, поскольку Odlyzko & Te Riele (1985) опровергает чуть более сильное Гипотеза Мертенса

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

Гипотеза Римана эквивалентна многим другим гипотезам о скорости роста других арифметических функций, помимо μ (п). Типичный пример: Теорема Робина (Робин 1984 ), который утверждает, что если σ (п) это делительная функция, данный

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

тогда

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

для всех п > 5040 тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, где γ - Константа Эйлера – Маскерони.

Другой пример нашел Жером Франель, и продлен Ландо (видеть Франель и Ландау (1924) ). Гипотеза Римана эквивалентна нескольким утверждениям, показывающим, что члены Последовательность Фари довольно регулярны. Одна такая эквивалентность следующая: если F_п последовательность порядка Фарея п, начиная с 1 /п и с точностью до 1/1, то утверждение, что для всех ε> 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })}$

эквивалентно гипотезе Римана. Здесь

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\phi (i)}$

количество членов в последовательности Фарея порядка п.

Для примера из теория групп, если грамм(п) является Функция Ландау задается максимальным порядком элементов симметричная группа S_п степени п, тогда Массиас, Николас и Робин (1988) показал, что гипотеза Римана эквивалентна оценке

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

для всех достаточно больших п.

Гипотеза Линделёфа и рост дзета-функции

Гипотеза Римана также имеет несколько более слабых следствий; один - это Гипотеза Линделёфа от скорости роста дзета-функции на критической линии, которая говорит, что для любого ε > 0,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

в качестве ${\displaystyle t\to \infty }$.

Гипотеза Римана также подразумевает довольно точные ограничения на скорость роста дзета-функции в других областях критической полосы. Например, это означает, что

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

так что скорость роста ζ (1+Это), а обратное - с точностью до 2 (Титчмарш 1986 ).

Гипотеза о большом разрыве простых чисел

Из теоремы о простых числах следует, что в среднем зазор между премьер п и его преемник - журналп. Однако некоторые промежутки между простыми числами могут быть намного больше среднего. Крамер доказал, что в предположении гипотезы Римана каждый разрыв равен О(√п бревноп). Это случай, когда даже лучшая оценка, которая может быть доказана с помощью гипотезы Римана, намного слабее, чем то, что кажется верным: Гипотеза Крамера означает, что каждый пробел О((бревноп)²), который, хотя и больше среднего зазора, намного меньше, чем граница, предполагаемая гипотезой Римана. Численные данные подтверждают гипотезу Крамера (Красиво 1999 ).

Аналитические критерии, эквивалентные гипотезе Римана

Было найдено множество утверждений, эквивалентных гипотезе Римана, хотя до сих пор ни одно из них не привело к значительному прогрессу в ее доказательстве (или опровержении). Вот некоторые типичные примеры. (Другие включают делительная функция σ (п).)

В Критерий Рисса был дан Рис (1916), о том, что граница

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

выполняется для всех ε> 0 тогда и только тогда, когда выполняется гипотеза Римана.

Найман (1950) доказал, что гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда пространство функций вида

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

где ρ (z) - дробная часть z, 0 ≤ θ_ν ≤ 1, и

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0}$,

плотно в Гильбертово пространство L²(0,1) квадратично интегрируемых функций на единичном интервале. Бёрлинг (1955) расширил это, показав, что дзета-функция не имеет нулей с действительной частью больше 1 /п тогда и только тогда, когда это функциональное пространство плотно в L^п(0,1)

Салем (1953) показал, что гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\phi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

не имеет нетривиальных ограниченных решений ${\displaystyle \phi }$ за ${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$.

Критерий Вейля - это утверждение, что положительность некоторой функции эквивалентна гипотезе Римана. Связано это Критерий Ли, утверждение о том, что положительность некоторой последовательности чисел эквивалентна гипотезе Римана.

Шпайзер (1934) доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что ${\displaystyle \zeta '(s)}$, производная от ${\displaystyle \zeta (s)}$, не имеет нулей в полосе

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

Который ${\displaystyle \zeta (s)}$ имеет только простые нули на критической прямой, что эквивалентно его производной, не имеющей нулей на критической прямой.

В Последовательность Фари обеспечивает две эквивалентности из-за Джером Франель и Эдмунд Ландау в 1924 г.

Последствия обобщенной гипотезы Римана

Несколько приложений используют обобщенная гипотеза Римана за Дирихле L-серия или же дзета-функции числовых полей а не просто гипотезу Римана. Многие основные свойства дзета-функции Римана можно легко обобщить на все L-ряды Дирихле, поэтому вполне вероятно, что метод, доказывающий гипотезу Римана для дзета-функции Римана, также будет работать для обобщенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле. Некоторые результаты, впервые доказанные с использованием обобщенной гипотезы Римана, позже получили безусловные доказательства без ее использования, хотя обычно это было намного сложнее. Многие из последствий в следующем списке взяты из Конрад (2010).

• В 1913 г. Grönwall показал, что из обобщенной гипотезы Римана следует, что список мнимых квадратичных полей с номером класса 1 является полным, хотя Бейкер, Старк и Хегнер позже дали безусловные доказательства этого, не используя обобщенную гипотезу Римана.
• В 1917 году Харди и Литтлвуд показали, что из обобщенной гипотезы Римана следует гипотеза Чебышева о том, что

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$

который говорит, что простые числа 3 по модулю 4 в некотором смысле более распространены, чем простые числа 1 по модулю 4. (Соответствующие результаты см. Теорема о простых числах § Гонка простых чисел.)

• В 1923 году Харди и Литтлвуд показали, что обобщенная гипотеза Римана влечет слабую форму Гипотеза Гольдбаха для нечетных чисел: каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел, хотя в 1937 году Виноградов дал безусловное доказательство. В 1997 г. Deshouillers, Эффингер, te Riele, а Зиновьев показал, что из обобщенной гипотезы Римана следует, что каждое нечетное число больше 5 является суммой трех простых чисел. В 2013 Харальд Хельфготт доказал тернарную гипотезу Гольдбаха без зависимости GRH, после некоторых обширных вычислений, выполненных с помощью Дэвида Дж. Платта.
• В 1934 году Чоула показал, что обобщенная гипотеза Римана предполагает, что первое простое число в арифметической прогрессии а мод м самое большее Км²бревно(м)² для некоторой фиксированной константы K.
• В 1967 году Хули показал, что из обобщенной гипотезы Римана следует Гипотеза Артина о первобытных корнях.
• В 1973 году Вайнбергер показал, что обобщенная гипотеза Римана означает, что список Эйлера идонеальные числа завершено.
• Вайнбергер (1973) показал, что из обобщенной гипотезы Римана для дзета-функций всех полей алгебраических чисел следует, что любое числовое поле с номером класса 1 либо Евклидово или поле мнимых квадратичных чисел дискриминанта -19, -43, -67 или -163.
• В 1976 г. Г. Миллер показал, что из обобщенной гипотезы Римана следует, что можно проверить, является ли число простым за полиномиальное время через Проба Миллера. В 2002 году Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена безоговорочно доказали этот результат, используя Тест на простоту AKS.
• Одлызко (1990) обсудили, как обобщенную гипотезу Римана можно использовать для получения более точных оценок дискриминантов и числа классов числовых полей.
• Оно и Саундарараджан (1997) показал, что из обобщенной гипотезы Римана следует, что Интегральная квадратичная форма Рамануджана Икс² + у² + 10z² представляет все целые числа, которые он представляет локально, за ровно 18 исключений.

Исключенный средний

Некоторые следствия RH также являются следствиями его отрицания и, таким образом, являются теоремами. В своем обсуждении Гекке, Дойринг, Морделл, теорема Хейльбронна, (Ирландия и Розен 1990, п. 359) say

Метод доказательства здесь поистине потрясающий. Если обобщенная гипотеза Римана верна, то теорема верна. Если обобщенная гипотеза Римана неверна, то теорема верна. Итак, теорема верна !! (пунктуация в оригинале)

Следует позаботиться о том, чтобы понять, что имеется в виду, когда говорят, что обобщенная гипотеза Римана ложна: следует точно указать, какой класс рядов Дирихле имеет контрпример.

Теорема Литтлвуда

Это касается признака ошибки в теорема о простых числах Вычислено, что π (Икс)

Икс) для всех Икс ≤ 10²⁵ (видеть это стол ), а не значение Икс известно, для которого π (Икс)> li (Икс).

В 1914 году Литтлвуд доказал, что существуют сколь угодно большие значения Икс для которого

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

и что существуют также сколь угодно большие значения Икс для которого

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Таким образом, разность π (Икс) - li (Икс) меняет знак бесконечно много раз. Число Скьюза оценка стоимости Икс соответствует первой смене знака.

Доказательство Литтлвуда делится на два случая: RH считается ложным (около половины страницы Ингхэм 1932, Гл. V), а RH считается истинным (около десятка страниц). Станислав Кнаповский последовал за этим и опубликовал статью о том, сколько раз ${\displaystyle \Delta (n)}$ меняет знак в интервале ${\displaystyle \Delta (n)}$.^[2]

Гипотеза числа классов Гаусса

Это догадка (впервые указано в статье 303 Гаусса Disquisitiones Arithmeticae ), что существует только конечное число мнимых квадратичных полей с данным номером класса. Один из способов доказать это - показать, что дискриминант D → −∞ номер класса час(D) → ∞.

Следующая последовательность теорем, включающих гипотезу Римана, описана в Ирландия и Розен 1990, стр. 358–361:

Теорема (Гекке; 1918). Позволять D <0 - дискриминант мнимого поля квадратичных чисел K. Предположим обобщенную гипотезу Римана для L-функции всех мнимых квадратичных характеров Дирихле. Тогда существует абсолютная постоянная C такой, что

${\displaystyle h(D)>C{\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}.}$

Теорема (Дойринг; 1933). Если RH ложно, то час(D)> 1, если |D| достаточно большой.

Теорема (Морделл; 1934). Если RH ложно, то час(D) → ∞ при D → −∞.

Теорема (Хайльбронн; 1934). Если обобщенная RH ложна для L-функция некоторого мнимого квадратичного характера Дирихле, то час(D) → ∞ при D → −∞.

(В работе Гекке и Хайльбронна единственный L-функции, которые имеют место, связаны с воображаемыми квадратичными символами, и это только для тех L-функции, которые GRH правда или же GRH ложно предназначен; отказ GRH для L-функция кубического символа Дирихле, строго говоря, означала бы ложность GRH, но Хайльбронн имел в виду не такой отказ GRH, поэтому его предположение было более ограниченным, чем просто GRH ложно.)

В 1935 г. Карл Сигель позже усилил результат без использования RH или GRH.

Рост тотента Эйлера

В 1983 г. Дж. Л. Николас доказано (Рибенбойм 1996, п. 320) что

${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$

бесконечно много п, где φ (п) является Функция Эйлера и γ есть Постоянная Эйлера.

Рибенбойм отмечает, что:

Метод доказательства интересен тем, что неравенство показано, во-первых, в предположении, что гипотеза Римана верна, а во-вторых, в противоположном предположении.

Обобщения и аналоги

Дирихле L-серия и другие числовые поля

Гипотезу Римана можно обобщить, заменив дзета-функцию Римана на формально похожую, но гораздо более общую глобальную L-функции. В этом более широком контексте ожидаются нетривиальные нули глобального L-функции иметь реальную часть 1/2. Именно эти гипотезы, а не классическая гипотеза Римана только для единственной дзета-функции Римана, объясняют истинную важность гипотезы Римана в математике.

В обобщенная гипотеза Римана распространяет гипотезу Римана на все L-функции Дирихле. В частности, отсюда следует гипотеза, что Зигель нули (нули L-функции между 1/2 и 1) не существуют.

В расширенная гипотеза Римана распространяет гипотезу Римана на все Дзета-функции Дедекинда из поля алгебраических чисел. Расширенная гипотеза Римана для абелевого расширения рациональных чисел эквивалентна обобщенной гипотезе Римана. Гипотезу Римана также можно распространить на L-функции Гекке персонажи числовых полей.

В великая гипотеза Римана распространяется на все автоморфные дзета-функции, Такие как Меллин трансформируется из Собственные формы Гекке.

Функциональные поля и дзета-функции многообразий над конечными полями

Артин (1924) введены глобальные дзета-функции (квадратичные) функциональные поля и предположил для них аналог гипотезы Римана, который был доказан Хассе в случае рода 1 и Вейль (1948) в целом. Например, тот факт, что Сумма Гаусса квадратичного характера конечное поле размера q (с q нечетное), имеет абсолютное значение ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ на самом деле является примером гипотезы Римана в настройке поля функции. Это привело Вейль (1949) предположить подобное утверждение для всех алгебраические многообразия; результирующий Гипотезы Вейля были доказаны Пьер Делинь  (1974, 1980 ).

Арифметические дзета-функции арифметических схем и их L-факторы

Арифметические дзета-функции обобщить дзета-функции Римана и Дедекинда, а также дзета-функции многообразий над конечными полями на любую арифметическую схему или схему конечного типа над целыми числами. Арифметическая дзета-функция регулярного связного равноразмерный арифметическая схема размерности Кронекера п может быть разложен на произведение соответственно определенных L-факторов и вспомогательного фактора Жан-Пьер Серр  (1969–1970 ). Предполагая функциональное уравнение и мероморфное продолжение, обобщенная гипотеза Римана для L-фактора утверждает, что его нули внутри критической полосы ${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$ лежат на центральной линии. Соответственно, обобщенная гипотеза Римана для арифметической дзета-функции регулярной связной равноразмерной арифметической схемы утверждает, что ее нули внутри критической полосы лежат на вертикальных прямых ${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$ а его полюса внутри критической полосы лежат на вертикальных линиях ${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$. Это известно для схем с положительной характеристикой и следует из Пьер Делинь  (1974, 1980 ), но остается совершенно неизвестным в нулевой характеристике.

Дзета-функции Сельберга

Основная статья: Дзета-функция Сельберга

Сельберг (1956) представил Дзета-функция Сельберга римановой поверхности. Они похожи на дзета-функцию Римана: у них есть функциональное уравнение и бесконечное произведение, подобное произведению Эйлера, но взятое по замкнутым геодезическим, а не по простым числам. В Формула следа Сельберга является аналогом этих функций явные формулы в теории простых чисел. Сельберг доказал, что дзета-функции Сельберга удовлетворяют аналогу гипотезы Римана с мнимыми частями их нулей, связанными с собственными значениями лапласовского оператора римановой поверхности.

Ихара дзета-функции

В Дзета-функция Ихары конечного графа является аналогом Дзета-функция Сельберга, который был впервые представлен Ясутака Ихара в контексте дискретных подгрупп p-адической специальной линейной группы два на два. Регулярный конечный граф - это График Рамануджана, математическая модель эффективных коммуникационных сетей, если и только если ее дзета-функция Ихара удовлетворяет аналогу гипотезы Римана, как было указано Т. Сунада.

Гипотеза парной корреляции Монтгомери

Монтгомери (1973) предложил гипотеза парной корреляции что корреляционные функции (подходящим образом нормированных) нулей дзета-функции должны быть такими же, как корреляционные функции собственных значений случайная эрмитова матрица. Одлызко (1987) показали, что это подтверждается крупномасштабными численными расчетами этих корреляционных функций.

Монтгомери показал, что (исходя из гипотезы Римана) по крайней мере 2/3 всех нулей простые, и связанная с этим гипотеза состоит в том, что все нули дзета-функции просты (или, в более общем случае, не имеют нетривиальных целочисленных линейных отношений между их мнимыми частями. ). Дзета-функции Дедекинда полей алгебраических чисел, которые обобщают дзета-функцию Римана, часто действительно имеют несколько комплексных нулей (Радзеевский 2007 ). Это потому, что дзета-функции Дедекинда разлагаются на множители как произведение степеней Артина L-функции, поэтому нули L-функций Артина иногда приводят к множественным нулям дзета-функций Дедекинда. Другими примерами дзета-функций с несколькими нулями являются L-функции некоторых эллиптические кривые: они могут иметь несколько нулей в реальной точке их критической линии; то Гипотеза Берча-Суиннертона-Дайера предсказывает, что кратность этого нуля является рангом эллиптической кривой.

Другие дзета-функции

Есть много других примеров дзета-функций с аналогами гипотезы Римана, некоторые из которых доказаны. Дзета-функции Госса функциональных полей имеют гипотезу Римана, доказанную Sheats (1998). Основная гипотеза из Теория Ивасавы, доказано Барри Мазур и Эндрю Уайлс за циклотомические поля, и Уайлс за полностью реальные поля, определяет нули п-адический L-функция с собственными значениями оператора, поэтому ее можно рассматривать как аналог Гипотеза Гильберта – Полиа за п-адический L-функции (Уайлс 2000 ).

Попытки доказательства

Несколько математиков обратились к гипотезе Римана, но ни одна из их попыток еще не была принята в качестве доказательства. Уоткинс (2007) перечисляет некоторые неправильные решения, и другие часто объявляется.

Теория операторов

Основная статья: Гипотеза Гильберта – Полиа

Гильберт и Полиа предположили, что один из способов вывести гипотезу Римана - это найти самосопряженный оператор, от существования которых утверждение о действительных частях нулей ζ (s) будет следовать, если применить критерий к реальной собственные значения. Некоторая поддержка этой идеи исходит от нескольких аналогов дзета-функций Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над конечным полем соответствуют собственным значениям оператора Элемент Фробениуса на этальные когомологии группы, нули Дзета-функция Сельберга собственные значения Оператор лапласа римановой поверхности, а нули p-адическая дзета-функция соответствуют собственным векторам действия Галуа на идеальные группы классов.

Одлызко (1987) показал, что распределение нулей дзета-функции Римана обладает некоторыми статистическими свойствами с собственными значениями случайные матрицы взяты из Гауссовский унитарный ансамбль. Это дает некоторую поддержку гипотезе Гильберта – Полиа.

В 1999 году, Майкл Берри и Джонатан Китинг предположил, что существует какое-то неизвестное квантование ${\displaystyle {\hat {H}}}$ классического гамильтониана ЧАС = xp так что

${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$

и тем более что нули Римана совпадают со спектром оператора ${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$. Это в отличие от каноническое квантование, что приводит к Принцип неопределенности Гейзенберга ${\displaystyle [x,p]=1/2}$ и натуральные числа как спектр квантовый гармонический осциллятор. Ключевым моментом является то, что гамильтониан должен быть самосопряженным оператором, чтобы квантование было реализацией программы Гильберта – Полиа. В связи с этой квантово-механической проблемой Берри и Конн предположили, что обратная величина потенциала гамильтониана связана с полупроизводной функции

${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$

то в подходе Берри – Конна

${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}}$

(Конн 1999 ). Это дает гамильтониан, собственные значения которого представляют собой квадрат мнимой части нулей Римана, а также то, что функциональный определитель этого гамильтонова оператора есть просто Функция Римана Кси. Фактически, функция Римана Кси будет пропорциональна функциональному определителю (произведению Адамара).

${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$

как было доказано Конном и другими, в этом подходе

${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$

Аналогия с гипотезой Римана над конечными полями предполагает, что гильбертово пространство, содержащее собственные векторы, соответствующие нулям, могло бы быть своего рода первой группой когомологий спектр Спецификация (Z) целых чисел. Денингер (1998) описал некоторые попытки найти такую ​​теорию когомологий (Leichtnam 2005 ).

Загир (1981) constructed a natural space of invariant functions on the upper half plane that has eigenvalues under the Laplacian operator that correspond to zeros of the Riemann zeta function—and remarked that in the unlikely event that one could show the existence of a suitable positive definite inner product on this space, the Riemann hypothesis would follow. Cartier (1982) discussed a related example, where due to a bizarre bug a computer program listed zeros of the Riemann zeta function as eigenvalues of the same Laplacian operator.

Schumayer & Hutchinson (2011) surveyed some of the attempts to construct a suitable physical model related to the Riemann zeta function.

Lee–Yang theorem

В Lee–Yang theorem states that the zeros of certain partition functions in statistical mechanics all lie on a "critical line" with their real part equals to 0, and this has led to some speculation about a relationship with the Riemann hypothesis (Knauf 1999 ).

Turán's result

Пал Туран  (1948 ) showed that if the functions

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$

have no zeros when the real part of s is greater than one then

${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$

where λ(п) это Liouville function given by (−1)^р если п имеет р prime factors. He showed that this in turn would imply that the Riemann hypothesis is true. Но Haselgrove (1958) доказал, что Т(Икс) is negative for infinitely many Икс (and also disproved the closely related Гипотеза Поли ), и Borwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) showed that the smallest such Икс является 72185376951205. Spira (1968) showed by numerical calculation that the finite Dirichlet series above for N=19 has a zero with real part greater than 1. Turán also showed that a somewhat weaker assumption, the nonexistence of zeros with real part greater than 1+N^−1/2+ε для больших N in the finite Dirichlet series above, would also imply the Riemann hypothesis, but Montgomery (1983) showed that for all sufficiently large N these series have zeros with real part greater than 1 + (log log N)/(4 log N). Therefore, Turán's result is vacuously true and cannot help prove the Riemann hypothesis.

Некоммутативная геометрия

Конн  (1999, 2000 ) has described a relationship between the Riemann hypothesis and некоммутативная геометрия, and shows that a suitable analog of the Формула следа Сельберга for the action of the idèle class group on the adèle class space would imply the Riemann hypothesis. Some of these ideas are elaborated in Lapidus (2008).

Hilbert spaces of entire functions

Луи де Бранж  (1992 ) showed that the Riemann hypothesis would follow from a positivity condition on a certain Hilbert space of целые функции.However Conrey & Li (2000) showed that the necessary positivity conditions are not satisfied. Despite this obstacle, de Branges has continued to work on an attempted proof of the Riemann hypothesis along the same lines, but this has not been widely accepted by other mathematicians(Sarnak 2005 ).

Квазикристаллы

The Riemann hypothesis implies that the zeros of the zeta function form a квазикристалл, a distribution with discrete support whose Fourier transform also has discrete support.Dyson (2009) suggested trying to prove the Riemann hypothesis by classifying, or at least studying, 1-dimensional quasicrystals.

Arithmetic zeta functions of models of elliptic curves over number fields

When one goes from geometric dimension one, e.g. an algebraic number field, to geometric dimension two, e.g. a regular model of an эллиптическая кривая over a number field, the two-dimensional part of the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of the model deals with the poles of the zeta function. In dimension one the study of the zeta integral in Tate's thesis does not lead to new important information on the Riemann hypothesis. Contrary to this, in dimension two work of Иван Фесенко on two-dimensional generalisation of Tate's thesis includes an integral representation of a zeta integral closely related to the zeta function. In this new situation, not possible in dimension one, the poles of the zeta function can be studied via the zeta integral and associated adele groups. Related conjecture of Fesenko  (2010 ) on the positivity of the fourth derivative of a boundary function associated to the zeta integral essentially implies the pole part of the generalized Riemann hypothesis. Suzuki (2011 ) proved that the latter, together with some technical assumptions, implies Fesenko's conjecture.

Multiple zeta functions

Deligne's proof of the Riemann hypothesis over finite fields used the zeta functions of product varieties, whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the original zeta function, in order to bound the real parts of the zeros of the original zeta function. By analogy, Kurokawa (1992) introduced multiple zeta functions whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the Riemann zeta function. To make the series converge he restricted to sums of zeros or poles all with non-negative imaginary part. So far, the known bounds on the zeros and poles of the multiple zeta functions are not strong enough to give useful estimates for the zeros of the Riemann zeta function.

Location of the zeros

Number of zeros

The functional equation combined with the принцип аргумента implies that the number of zeros of the zeta function with imaginary part between 0 and Т is given by

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

за s=1/2+iТ, where the argument is defined by varying it continuously along the line with Im(s)=Т, starting with argument 0 at ∞+iТ. This is the sum of a large but well understood term

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

and a small but rather mysterious term

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log(T)).}$

So the density of zeros with imaginary part near Т is about log(Т)/2π, and the function S describes the small deviations from this. Функция S(т) jumps by 1 at each zero of the zeta function, and for т ≥ 8 it decreases monotonically between zeros with derivative close to −log т.

Карацуба (1996) proved that every interval (Т, Т+ЧАС] за ${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$ contains at least

${\displaystyle H(\ln T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

points where the function S(т) changes sign.

Selberg (1946) showed that the average moments of even powers of S даны

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

Это говорит о том, что S(Т)/(log log Т)^1/2 напоминает Gaussian random variable with mean 0 and variance 2π² (Ghosh (1983) proved this fact).In particular |S(Т) | is usually somewhere around (log log Т)^1/2, but occasionally much larger. The exact order of growth of S(Т) is not known. There has been no unconditional improvement to Riemann's original bound S(Т)=O(log Т), though the Riemann hypothesis implies the slightly smaller bound S(Т)=O(log Т/ журнал журнал Т) (Титчмарш 1986 ). The true order of magnitude may be somewhat less than this, as random functions with the same distribution as S(Т) tend to have growth of order about log(Т)^1/2. In the other direction it cannot be too small: Selberg (1946) showed that S(Т) ≠ o((log Т)^1/3/(log log Т)^7/3), and assuming the Riemann hypothesis Montgomery showed that S(Т) ≠ o((log Т)^1/2/(log log Т)^1/2).

Numerical calculations confirm that S grows very slowly: |S(Т) | < 1 for Т < 280, |S(Т) | < 2 for Т < 6800000, and the largest value of |S(Т) | found so far is not much larger than 3 (Odlyzko 2002 ).

Riemann's estimate S(Т) = O(log Т) implies that the gaps between zeros are bounded, and Littlewood improved this slightly, showing that the gaps between their imaginary parts tends to 0.

Theorem of Hadamard and de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) и de la Vallée-Poussin (1896) independently proved that no zeros could lie on the line Re(s) = 1. Together with the functional equation and the fact that there are no zeros with real part greater than 1, this showed that all non-trivial zeros must lie in the interior of the critical strip 0 < Re(s) < 1. This was a key step in their first proofs of the теорема о простых числах.

Both the original proofs that the zeta function has no zeros with real part 1 are similar, and depend on showing that if ζ(1+Это) vanishes, then ζ(1+2Это) is singular, which is not possible. One way of doing this is by using the inequality

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

for σ > 1, т real, and looking at the limit as σ → 1. This inequality follows by taking the real part of the log of the Euler product to see that

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

where the sum is over all prime powers п^п, так что

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

which is at least 1 because all the terms in the sum are positive, due to the inequality

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

Zero-free regions

De la Vallée-Poussin (1899–1900) proved that if σ + i t is a zero of the Riemann zeta function, then 1 − σ ≥ C/бревно(т) для некоторой положительной постоянной C. In other words, zeros cannot be too close to the line σ = 1: there is a zero-free region close to this line. This zero-free region has been enlarged by several authors using methods such as Vinogradov's mean-value theorem. Ford (2002) gave a version with explicit numerical constants: ζ(σ + i t ) ≠ 0 в любое время |т | ≥ 3 и

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}.}$

Zeros on the critical line

Hardy (1914) и Hardy & Littlewood (1921) showed there are infinitely many zeros on the critical line, by considering moments of certain functions related to the zeta function. Selberg (1942) proved that at least a (small) positive proportion of zeros lie on the line. Levinson (1974) improved this to one-third of the zeros by relating the zeros of the zeta function to those of its derivative, and Conrey (1989) improved this further to two-fifths.

Most zeros lie close to the critical line. Точнее, Bohr & Landau (1914) showed that for any positive ε, all but an infinitely small proportion of zeros lie within a distance ε of the critical line. Ivić (1985) gives several more precise versions of this result, called zero density estimates, which bound the number of zeros in regions with imaginary part at most Т and real part at least 1/2+ε.

Hardy–Littlewood conjectures

В 1914 г. Годфри Гарольд Харди доказал, что ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ has infinitely many real zeros.

The next two conjectures of Харди и Джон Эденсор Литтлвуд on the distance between real zeros of ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ and on the density of zeros of ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ on the interval ${\displaystyle (T,T+H]}$ для достаточно большого ${\displaystyle T>0}$, и ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ and with as small as possible value of ${\displaystyle a>0}$, куда ${\displaystyle \varepsilon >0}$ is an arbitrarily small number, open two new directions in the investigation of the Riemann zeta function:

1. Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ there exists a lower bound ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ так что для ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ и ${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$ the interval ${\displaystyle (T,T+H]}$ contains a zero of odd order of the function ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$.

Позволять ${\displaystyle N(T)}$ be the total number of real zeros, and ${\displaystyle N_{0}(T)}$ be the total number of zeros of odd order of the function ${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$ lying on the interval ${\displaystyle (0,T]~}$.

2. Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ there exists ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ и немного ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, such that for ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ и ${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$ the inequality ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$ правда.

Selberg's zeta function conjecture

Основная статья: Selberg's zeta function conjecture

Атле Сельберг  (1942 ) investigated the problem of Hardy–Littlewood 2 and proved that for any ε > 0 there exists such ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ и c = c(ε) > 0, such that for ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ и ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ the inequality ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$ правда. Selberg conjectured that this could be tightened to ${\displaystyle H=T^{0.5}}$. A. A. Karatsuba  (1984a, 1984b, 1985 ) proved that for a fixed ε satisfying the condition 0 < ε < 0.001, a sufficiently large Т и ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$, ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$, the interval (Т, Т+ЧАС) contains at least cHln (Т) real zeros of the Дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ and therefore confirmed the Selberg conjecture. The estimates of Selberg and Karatsuba can not be improved in respect of the order of growth as Т → ∞.

Karatsuba (1992) proved that an analog of the Selberg conjecture holds for almost all intervals (Т, Т+ЧАС], ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$, where ε is an arbitrarily small fixed positive number. The Karatsuba method permits to investigate zeros of the Riemann zeta-function on "supershort" intervals of the critical line, that is, on the intervals (Т, Т+ЧАС], the length ЧАС of which grows slower than any, even arbitrarily small degree Т. In particular, he proved that for any given numbers ε, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ satisfying the conditions ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ almost all intervals (Т, Т+ЧАС] за ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ contain at least ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ zeros of the function ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$. This estimate is quite close to the one that follows from the Riemann hypothesis.

Numerical calculations

Absolute value of the ζ-function

Функция

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

has the same zeros as the zeta function in the critical strip, and is real on the critical line because of the functional equation, so one can prove the existence of zeros exactly on the real line between two points by checking numerically that the function has opposite signs at these points. Usually one writes

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

where Hardy's function Z и Riemann–Siegel theta function θ are uniquely defined by this and the condition that they are smooth real functions with θ(0)=0.By finding many intervals where the function Z changes sign one can show that there are many zeros on the critical line. To verify the Riemann hypothesis up to a given imaginary part Т of the zeros, one also has to check that there are no further zeros off the line in this region. This can be done by calculating the total number of zeros in the region using Метод Тьюринга and checking that it is the same as the number of zeros found on the line. This allows one to verify the Riemann hypothesis computationally up to any desired value of Т (provided all the zeros of the zeta function in this region are simple and on the critical line).

Some calculations of zeros of the zeta function are listed below. So far all zeros that have been checked are on the critical line and are simple. (A multiple zero would cause problems for the zero finding algorithms, which depend on finding sign changes between zeros.) For tables of the zeros, see Haselgrove & Miller (1960) или же Odlyzko.

Год	Number of zeros	Автор
1859?	3	B. Riemann used the Riemann–Siegel formula (unpublished, but reported in Siegel 1932 ).
1903	15	Дж. П. Gram (1903) использовал Euler–Maclaurin summation и обнаружил Gram's law. He showed that all 10 zeros with imaginary part at most 50 range lie on the critical line with real part 1/2 by computing the sum of the inverse 10th powers of the roots he found.
1914	79 (γп ≤ 200)	R. J. Backlund (1914) introduced a better method of checking all the zeros up to that point are on the line, by studying the argument S(Т) of the zeta function.
1925	138 (γп ≤ 300)	J. I. Hutchinson (1925) found the first failure of Gram's law, at the Gram point грамм126.
1935	195	E. C. Titchmarsh (1935) used the recently rediscovered Riemann–Siegel formula, which is much faster than Euler–Maclaurin summation. It takes about O(Т^3/2+ε) steps to check zeros with imaginary part less than Т, while the Euler–Maclaurin method takes about O(Т^2+ε) steps.
1936	1041	E. C. Titchmarsh (1936) and L. J. Comrie were the last to find zeros by hand.
1953	1104	ЯВЛЯЮСЬ. Turing (1953) found a more efficient way to check that all zeros up to some point are accounted for by the zeros on the line, by checking that Z has the correct sign at several consecutive Gram points and using the fact that S(Т) has average value 0. This requires almost no extra work because the sign of Z at Gram points is already known from finding the zeros, and is still the usual method used. This was the first use of a digital computer to calculate the zeros.
1956	15000	Д. Х. Lehmer (1956) discovered a few cases where the zeta function has zeros that are "only just" on the line: two zeros of the zeta function are so close together that it is unusually difficult to find a sign change between them. This is called "Lehmer's phenomenon", and first occurs at the zeros with imaginary parts 7005.063 and 7005.101, which differ by only .04 while the average gap between other zeros near this point is about 1.
1956	25000	Д. Х. Лемер
1958	35337	N. A. Meller
1966	250000	R. S. Lehman
1968	3500000	Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) stated Rosser's rule (described below).
1977	40000000	R. P. Brent
1979	81000001	R. P. Brent
1982	200000001	R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983	300000001	J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986	1500000001	van de Lune, te Riele & Winter (1986) gave some statistical data about the zeros and give several graphs of Z at places where it has unusual behavior.
1987	A few of large (~10^12) height	A. M. Odlyzko (1987 ) computed smaller numbers of zeros of much larger height, around 10^12, to high precision to check Гипотеза парной корреляции Монтгомери.
1992	A few of large (~10^20) height	A. M. Odlyzko (1992 ) computed a 175 million zeros of heights around 10^20 and a few more of heights around 2×1020, and gave an extensive discussion of the results.
1998	10000 of large (~10^21) height	A. M. Odlyzko (1998 ) computed some zeros of height about 10^21
2001	10000000000	J. van de Lune (unpublished)
2004	~900000000000[3]	S. Wedeniwski (ZetaGrid distributed computing)
2004	10000000000000 and a few of large (up to ~10^24) heights	ИКС. Gourdon (2004) and Patrick Demichel used the Odlyzko–Schönhage algorithm. They also checked two billion zeros around heights 10^13, 10^14, ..., 10^24.
2020	12363153437138 up to height 3000175332800	Platt & Trudgian (2020). They also verified the work of Gourdon (2004) и другие.

Gram points

А Gram point is a point on the critical line 1/2 + Это where the zeta function is real and non-zero. Using the expression for the zeta function on the critical line, ζ(1/2 + Это) = Z(т)e ^{− яθ(т)}, where Hardy's function, Z, is real for real т, and θ is the Riemann–Siegel theta function, we see that zeta is real when sin(θ(т)) = 0. This implies that θ(т) is an integer multiple of π, which allows for the location of Gram points to be calculated fairly easily by inverting the formula for θ. They are usually numbered as грамм_п за п = 0, 1, ..., where грамм_п is the unique solution of θ(т) = пπ.

Gram observed that there was often exactly one zero of the zeta function between any two Gram points; Hutchinson called this observation Gram's law. There are several other closely related statements that are also sometimes called Gram's law: for example, (−1)^пZ(грамм_п) is usually positive, or Z(т) usually has opposite sign at consecutive Gram points. The imaginary parts γ_п of the first few zeros (in blue) and the first few Gram points грамм_п are given in the following table

		грамм−1	γ1	грамм0	γ2	грамм1	γ3	грамм2	γ4	грамм3	γ5	грамм4	γ6	грамм5
0.000	3.436	9.667	14.135	17.846	21.022	23.170	25.011	27.670	30.425	31.718	32.935	35.467	37.586	38.999

This is a polar plot of the first 20 non-trivial Дзета-функция Римана zeros (including Gram points ) along the critical line ${\displaystyle \zeta (1/2+it)}$ для реальных ценностей ${\displaystyle t}$ running from 0 to 50. The consecutively labeled zeros have 50 red plot points between each, with zeros identified by concentric magenta rings scaled to show the relative distance between their values of t. Gram's law states that the curve usually crosses the real axis once between zeros.

The first failure of Gram's law occurs at the 127th zero and the Gram point грамм₁₂₆, which are in the "wrong" order.

грамм124	γ126	грамм125	грамм126	γ127	γ128	грамм127	γ129	грамм128
279.148	279.229	280.802	282.455	282.465	283.211	284.104	284.836	285.752

A Gram point т is called good if the zeta function is positive at 1/2 + Это. The indices of the "bad" Gram points where Z has the "wrong" sign are 126, 134, 195, 211, ... (sequence A114856 в OEIS ). А Gram block is an interval bounded by two good Gram points such that all the Gram points between them are bad. A refinement of Gram's law called Rosser's rule due to Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) says that Gram blocks often have the expected number of zeros in them (the same as the number of Gram intervals), even though some of the individual Gram intervals in the block may not have exactly one zero in them. For example, the interval bounded by грамм₁₂₅ и грамм₁₂₇ is a Gram block containing a unique bad Gram point грамм₁₂₆, and contains the expected number 2 of zeros although neither of its two Gram intervals contains a unique zero. Rosser et al. checked that there were no exceptions to Rosser's rule in the first 3 million zeros, although there are infinitely many exceptions to Rosser's rule over the entire zeta function.

Gram's rule and Rosser's rule both say that in some sense zeros do not stray too far from their expected positions. The distance of a zero from its expected position is controlled by the function S defined above, which grows extremely slowly: its average value is of the order of (log log Т)^1/2, which only reaches 2 for T around 10²⁴. This means that both rules hold most of the time for small Т but eventually break down often. В самом деле, Trudgian (2011) showed that both Gram's law and Rosser's rule fail in a positive proportion of cases. To be specific, it is expected that in about 73% one zero is enclosed by two successive Gram points, but in 14% no zero and in 13% two zeros are in such a Gram-interval on the long run.

Arguments for and against the Riemann hypothesis

Mathematical papers about the Riemann hypothesis tend to be cautiously noncommittal about its truth. Of authors who express an opinion, most of them, such as Riemann (1859) и Bombieri (2000), imply that they expect (or at least hope) that it is true. The few authors who express serious doubt about it include Ivić (2008), который перечисляет некоторые причины скептицизма, и Литтлвуд (1962), который категорически заявляет, что считает это ложным, что нет никаких доказательств этому и нет никаких мыслимых причин, по которым это было бы правдой. Консенсус обзорных статей (Bombieri 2000, Конри 2003, и Сарнак 2005 ) состоит в том, что доказательства этого веские, но не подавляющие, так что, хотя это, вероятно, правда, есть разумные сомнения.

Некоторые аргументы за и против гипотезы Римана перечислены Сарнак (2005), Конри (2003), и Ивич (2008), и включают следующее:

• Уже доказано несколько аналогов гипотезы Римана. Доказательство гипотезы Римана для многообразий над конечными полями с помощью Делинь (1974) возможно, единственная сильнейшая теоретическая причина в пользу гипотезы Римана. Это дает некоторые доказательства более общей гипотезы о том, что все дзета-функции, связанные с автоморфными формами, удовлетворяют гипотезе Римана, которая включает классическую гипотезу Римана как частный случай. по аналогии Дзета-функции Сельберга удовлетворяют аналогу гипотезы Римана и в некотором смысле похожи на дзета-функцию Римана, имея функциональное уравнение и бесконечное разложение произведения, аналогичное разложению произведения Эйлера. Но есть и некоторые важные отличия; например, их не дает ряд Дирихле. Гипотеза Римана для Дзета-функция Госса было доказано Sheats (1998). В отличие от этих положительных примеров, некоторые Дзета-функции Эпштейна не удовлетворяют гипотезе Римана, даже если они имеют бесконечное число нулей на критической прямой (Титчмарш 1986 ). Эти функции очень похожи на дзета-функцию Римана, имеют разложение в ряд Дирихле и функциональное уравнение, но те функции, которые, как известно, не соответствуют гипотезе Римана, не имеют произведения Эйлера и не имеют прямого отношения к автоморфные представления.
• Поначалу численное подтверждение того, что на линии лежит много нулей, кажется убедительным доказательством этого. Но в аналитической теории чисел было много предположений, подтвержденных значительными численными доказательствами, которые оказались ложными. Видеть Число перекосов для печально известного примера, где первое исключение из правдоподобной гипотезы, связанной с гипотезой Римана, вероятно, происходит около 10³¹⁶; контрпример к гипотезе Римана с мнимой частью такого размера был бы намного больше, чем что-либо, что в настоящее время может быть вычислено с использованием прямого подхода. Проблема в том, что на поведение часто влияют очень медленно растущие функции, такие как журнал журнала. Т, которые стремятся к бесконечности, но делают это так медленно, что это не может быть обнаружено вычислением. Такие функции встречаются в теории дзета-функции, контролирующей поведение ее нулей; например, функция S(Т) выше имеет средний размер около (log log Т)^1/2. В качестве S(Т) перескакивает по крайней мере на 2 в любом контрпримере к гипотезе Римана, можно ожидать, что любые контрпримеры к гипотезе Римана начнут появляться только тогда, когда S(Т) становится большим. Насколько было вычислено, оно никогда не бывает намного больше 3, но известно, что оно неограниченно, что предполагает, что вычисления, возможно, еще не достигли области типичного поведения дзета-функции.
• Denjoy вероятностный аргумент в пользу гипотезы Римана (Эдвардс 1974 ) основан на наблюдении, что если μ (Икс) представляет собой случайную последовательность из "1" и "−1", то для каждого ε> 0, то частичные суммы

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

(значениями которых являются позиции в простое случайное блуждание ) удовлетворяют оценке

${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$

с вероятность 1. Гипотеза Римана эквивалентна этой оценке для Функция Мёбиуса μ и Функция Мертенса M получен таким же образом от него. Другими словами, гипотеза Римана в некотором смысле эквивалентна утверждению, что μ (Икс) ведет себя как случайная последовательность подбрасываний монет. Когда μ (Икс) отличен от нуля, его знак дает четность числа простых делителей Икс, поэтому неформально гипотеза Римана гласит, что четность числа простых множителей целого числа ведет себя случайно. Такие вероятностные аргументы в теории чисел часто дают правильный ответ, но, как правило, их очень трудно сделать строгими, и иногда они дают неправильный ответ для некоторых результатов, таких как Теорема Майера.

• Расчеты в Одлызко (1987) показывают, что нули дзета-функции ведут себя очень похоже на собственные значения случайной эрмитовой матрицы, предполагая, что они являются собственными значениями некоторого самосопряженного оператора, что подразумевает гипотезу Римана. Все попытки найти такого оператора не увенчались успехом.
• Есть несколько теорем, например Слабая гипотеза Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел, которые были сначала доказаны с использованием обобщенной гипотезы Римана, а затем оказались безоговорочно истинными. Это можно рассматривать как слабое свидетельство обобщенной гипотезы Римана, поскольку некоторые из ее «предсказаний» верны.
• Феномен Лемера (Лемер 1956 ), где два нуля иногда очень близки, иногда приводят как повод не верить гипотезе Римана. Но можно было бы ожидать, что это будет происходить случайно, даже если гипотеза Римана верна, а расчеты Одлыжко предполагают, что соседние пары нулей встречаются так же часто, как предсказывает Гипотеза Монтгомери.
• Паттерсон (1988) предполагает, что наиболее веской причиной гипотезы Римана для большинства математиков является надежда на то, что простые числа распределяются настолько регулярно, насколько это возможно.^[4]

Примечания

1. Леонард Эйлер. Варианты наблюдений около бесконечной серии. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, стр. 160–188, теоремы 7 и 8. В теореме 7 Эйлер доказывает формулу в частном случае ${\displaystyle s=1}$, и в теореме 8 он доказывает это в более общем виде. В первом следствии своей теоремы 7 он отмечает, что ${\displaystyle \zeta (1)=\log \infty }$, и использует этот последний результат в своей теореме 19, чтобы показать, что сумма обратных простых чисел равна ${\displaystyle \log \log \infty }$.
2. Кнаповский, Станислав (1962). «Об изменении знака разности π (x) -li (x)». Acta Arithmetica. 7 (2): 107–119. Дои:10.4064 / aa-7-2-107-119. ISSN  0065-1036.
3. Вайсштейн, Эрик В. "Нули дзета-функции Римана". mathworld.wolfram.com. Получено 28 апреля 2020. ZetaGrid - это проект распределенных вычислений, пытающийся вычислить как можно больше нулей. По состоянию на 18 февраля 2005 года он достиг 1029,9 миллиарда нулей.
4. п. 75: «К этому списку, вероятно, следует добавить« платоническую »причину, согласно которой можно ожидать, что натуральные числа будут наиболее совершенной идеей, какую только можно представить, и что это совместимо только с простыми числами, распределяемыми наиболее регулярным из возможных способов ...»

Рекомендации

• Артин, Эмиль (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, Дои:10.1007 / BF01181075, S2CID  117936362
• Баклунд, Р. Дж. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ (s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Париж, 158: 1979–1981
• Берлинг, Арне (1955), "Проблема замыкания, связанная с дзета-функцией Римана", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 41 (5): 312–314, Bibcode:1955ПНАС ... 41..312Б, Дои:10.1073 / pnas.41.5.312, МИСТЕР  0070655, ЧВК  528084, PMID  16589670
• Бор, Х.; Ландау, Э. (1914), "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Функционен », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, Дои:10.1007 / BF03014823, S2CID  121145912
• Бомбьери, Энрико (2000), Гипотеза Римана - официальное описание проблемы (PDF), Институт математики Клэя, получено 2008-10-25 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Борвейн, Питер; Чой, Стивен; Руни, Брендан; Вейратмюллер, Андреа, ред. (2008), Гипотеза Римана: ресурс как для знатоков, так и для виртуозов, CMS Книги по математике, Нью-Йорк: Springer, Дои:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN  978-0-387-72125-5
• Борвейн, Питер; Фергюсон, Рон; Моссингхофф, Майкл Дж. (2008), "Знак изменения сумм функции Лиувилля", Математика вычислений, 77 (263): 1681–1694, Bibcode:2008MaCom..77.1681B, Дои:10.1090 / S0025-5718-08-02036-X, МИСТЕР  2398787
• де Бранж, Луи (1992), «Сходимость произведений Эйлера», Журнал функционального анализа, 107 (1): 122–210, Дои:10.1016 / 0022-1236 (92) 90103-П, МИСТЕР  1165869
• Броуган, Кевин (2017), Эквиваленты гипотезы Римана, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1108290784
• Бертон, Дэвид М. (2006), Элементарная теория чисел, Тата МакГроу-Хилл Паблишинг Компани Лимитед, ISBN  978-0-07-061607-3
• Картье, П. (1982), "Комментарий к гипотезе Римана ne fut pas prouvée", Семинар по теории чисел, Париж, 1980–81 (Париж, 1980/1981), Прогр. Математика, 22, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 35–48, МИСТЕР  0693308
• Конн, Ален (1999), "Формула следов в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана", Selecta Mathematica. Новая серия, 5 (1): 29–106, arXiv:математика / 9811068, Дои:10.1007 / с000290050042, МИСТЕР  1694895, S2CID  55820659
• Конн, Ален (2000), «Некоммутативная геометрия и дзета-функция Римана», Математика: рубежи и перспективы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 35–54, МИСТЕР  1754766
• Конн, Ален (2016), «Очерк гипотезы Римана», в Нэш, Дж. Ф.; Рассиас, Майкл (ред.), Открытые задачи по математике, Нью-Йорк: Springer, стр. 225–257, arXiv:1509.05576, Дои:10.1007/978-3-319-32162-2_5
• Конри, Дж. Б. (1989), «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии», J. Reine Angew. Математика., 1989 (399): 1–16, Дои:10.1515 / crll.1989.399.1, МИСТЕР  1004130, S2CID  115910600
• Конри, Дж. Брайан (2003), «Гипотеза Римана» (PDF), Уведомления Американского математического общества: 341–353 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Конри, Дж. Б.; Ли, Сянь-Цзинь (2000), «Заметка о некоторых условиях положительности, связанных с дзета и L-функциями», Уведомления о международных математических исследованиях, 2000 (18): 929–940, arXiv:математика / 9812166, Дои:10.1155 / S1073792800000489, МИСТЕР  1792282, S2CID  14678312
• Делинь, Пьер (1974), "Гипотеза де Вейля. Я", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273–307, Дои:10.1007 / BF02684373, МИСТЕР  0340258, S2CID  123139343
• Делинь, Пьер (1980), "Гипотеза Вейля: II", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, Дои:10.1007 / BF02684780, S2CID  189769469
• Денингер, Кристофер (1998), «Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами на слоеных пространствах», Труды Международного конгресса математиков, Vol. Я (Берлин, 1998), Documenta Mathematica, стр. 163–186, МИСТЕР  1648030
• Дудек, Адриан В. (2014-08-21), «О гипотезе Римана и разнице между простыми числами», Международный журнал теории чисел, 11 (3): 771–778, arXiv:1402.6417, Bibcode:2014arXiv1402.6417D, Дои:10.1142 / S1793042115500426, ISSN  1793-0421, S2CID  119321107
• Дайсон, Фриман (2009), "Птицы и лягушки" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 56 (2): 212–223, МИСТЕР  2483565
• Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41740-0, МИСТЕР  0466039
• Фесенко Иван (2010), «Анализ по арифметическим схемам. II», Журнал K-теории, 5 (3): 437–557, Дои:10.1017 / is010004028jkt103
• Форд, Кевин (2002), "Интеграл Виноградова и оценки дзета-функции Римана", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 85 (3): 565–633, arXiv:1910.08209, Дои:10.1112 / S0024611502013655, МИСТЕР  1936814, S2CID  121144007
• Франель, Дж.; Ландау, Э. (1924), «Les suites de Farey et le problème des nombres premiers» (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Ландау, 202–206)", Göttinger Nachrichten: 198–206
• Гош, Амит (1983), "О дзета-функции Римана - теоремы о среднем значении и распределение | S (T) |", J. Теория чисел, 17: 93–102, Дои:10.1016 / 0022-314X (83) 90010-0
• Гурдон, Ксавье (2004), 10¹³ первые нули дзета-функции Римана и вычисление нулей на очень большой высоте (PDF)
• Грам, Дж. П. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ (s) de Riemann", Acta Mathematica, 27: 289–304, Дои:10.1007 / BF02421310, S2CID  115327214
• Адамар, Жак (1896), "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquences arithmétiques", Bulletin de la Société Mathématique de France, 14: 199–220, Дои:10.24033 / bsmf.545 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Харди, Г. Х. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ (s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Париж, 158: 1012–1014, JFM  45.0716.04 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э. (1921), «Нули дзета-функции Римана на критической прямой», Математика. Z., 10 (3–4): 283–317, Дои:10.1007 / BF01211614, S2CID  126338046
• Haselgrove, C. B. (1958), "Опровержение гипотезы Полиа", Математика, 5 (2): 141–145, Дои:10.1112 / S0025579300001480, ISSN  0025-5793, МИСТЕР  0104638, Zbl  0085.27102 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Haselgrove, C.B.; Миллер, Дж. С. П. (1960), Таблицы дзета-функции Римана, Математические таблицы Королевского общества, Vol. 6, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-06152-0, МИСТЕР  0117905 Рассмотрение
• Хатчинсон, Дж. И. (1925), "О корнях дзета-функции Римана", Труды Американского математического общества, 27 (1): 49–60, Дои:10.2307/1989163, JSTOR  1989163
• Ingham, A.E. (1932), Распределение простых чисел, Кембриджские трактаты по математике и математической физике, 30, Издательство Кембриджского университета. Переиздано 1990 г., ISBN  978-0-521-39789-6, МИСТЕР1074573
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-97329-X
• Ивич, А. (1985), Дзета-функция Римана, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-80634-9, МИСТЕР  0792089 (Перепечатано Dover 2003)
• Ивич, Александар (2008), «О некоторых причинах сомнений в гипотезе Римана», в Borwein, Peter; Чой, Стивен; Руни, Брендан; Вейратмюллер, Андреа (ред.), Гипотеза Римана: ресурс как для знатоков, так и для виртуозов, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, pp. 131–160, arXiv:math.NT / 0311162, ISBN  978-0-387-72125-5
• Карацуба, А.А. (1984a), «Нули функции ζ (s) на коротких отрезках критической прямой», Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (на русском), 48 (3): 569–584, МИСТЕР  0747251
• Карацуба, А.А. (1984b), "Распределение нулей функции ζ(1/2 + Это)", Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (на русском), 48 (6): 1214–1224, МИСТЕР  0772113
• Карацуба, А.А. (1985), "Нули дзета-функции Римана на критической прямой", Труды Матем. Inst. Стеклова. (167): 167–178, МИСТЕР  0804073
• Карацуба, А.А. (1992), «О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих почти во всех коротких интервалах критической прямой», Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. (на русском), 56 (2): 372–397, Bibcode:1993 ИзМат..40..353К, Дои:10.1070 / IM1993v040n02ABEH002168, МИСТЕР  1180378
• Карацуба, А.А.; Воронин, С. М. (1992), Дзета-функция Римана, Выставки де Грюйтера по математике, 5, Берлин: Walter de Gruyter & Co., Дои:10.1515/9783110886146, ISBN  978-3-11-013170-3, МИСТЕР  1183467
• Китинг, Джонатан П .; Снайт, Н. (2000), "Теория случайных матриц и ζ(1/2 + Это)", Коммуникации по математической физике, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214 ... 57K, Дои:10.1007 / s002200000261, МИСТЕР  1794265, S2CID  11095649
• Knauf, Андреас (1999), "Теория чисел, динамические системы и статистическая механика", Обзоры по математической физике, 11 (8): 1027–1060, Bibcode:1999RvMaP..11.1027K, Дои:10.1142 / S0129055X99000325, МИСТЕР  1714352
• фон Кох, Нильс Хельге (1901), "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica, 24: 159–182, Дои:10.1007 / BF02403071, S2CID  119914826
• Курокава, Нобусигэ (1992), «Множественные дзета-функции: пример», Дзета-функции в геометрии (Токио, 1990), Adv. Stud. Чистая математика., 21, Tokyo: Kinokuniya, pp. 219–226, МИСТЕР  1210791
• Лапидус, Мишель Л. (2008), В поисках нулей Римана, Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество, Дои:10.1090 / mbk / 051, ISBN  978-0-8218-4222-5, МИСТЕР  2375028
• Лаврик, А. Ф. (2001) [1994], «Дзета-функция», Энциклопедия математики, EMS Press
• Лемер, Д. Х. (1956), «Расширенное вычисление дзета-функции Римана», Математика. Журнал чистой и прикладной математики, 3 (2): 102–108, Дои:10.1112 / S0025579300001753, МИСТЕР  0086083
• Лейхтнам, Эрик (2005), «Приглашение к работе Денингера над арифметическими дзета-функциями», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика, Contemp. Математика, 387, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 201–236, Дои:10.1090 / conm / 387/07243, МИСТЕР  2180209.
• Левинсон, Н. (1974), «Более одной трети нулей дзета-функции Римана находятся на σ = 1/2», Adv. Математика., 13 (4): 383–436, Дои:10.1016/0001-8708(74)90074-7, МИСТЕР  0564081
• Литтлвуд, Дж. Э. (1962), «Гипотеза Римана», Ученый размышляет: антология отчасти испеченной идеи, Нью-Йорк: Базовые книги
• van de Lune, J .; те Риле, Х. Дж. Дж.; Уинтер, Д. Т. (1986), "О нулях дзета-функции Римана в критической полосе. IV", Математика вычислений, 46 (174): 667–681, Дои:10.2307/2008005, JSTOR  2008005, МИСТЕР  0829637
• Massias, J.-P .; Николя, Жан-Луи; Робин, Г. (1988), "Асимптотическая оценка максимума единства группы symétrique", Acta Arithmetica, 50 (3): 221–242, Дои:10.4064 / aa-50-3-221-242, МИСТЕР  0960551
• Мазур, Барри; Штейн, Уильям (2015), Простые числа и гипотеза Римана
• Монтгомери, Хью Л. (1973), «Парная корреляция нулей дзета-функции», Аналитическая теория чисел, Proc. Симпози. Чистая математика., XXIV, Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество, стр. 181–193, МИСТЕР  0337821 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Монтгомери, Хью Л. (1983), "Нули приближений к дзета-функции", в Эрдеш, Пол (ред.), Исследования по чистой математике. Памяти Пауля Турана, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 497–506, ISBN  978-3-7643-1288-6, МИСТЕР  0820245
• Монтгомери, Хью Л.; Воан, Роберт С. (2007), Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория, Кембриджские исследования по высшей математике, 97, Издательство Кембриджского университета.ISBN  978-0-521-84903-6
• Хорошо, Томас Р. (1999), «Новые максимальные промежутки между простыми числами и первые вхождения», Математика вычислений, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01065-0, МИСТЕР  1627813.
• Найман, Бертил (1950), Об одномерной группе трансляций и полугруппе в некоторых функциональных пространствах, Докторская диссертация, Уппсальский университет: Уппсальский университет, МИСТЕР  0036444
• Одлызко, А.М.; те Риле, Х. Дж. Дж. (1985), «Опровержение гипотезы Мертенса», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1985 (357): 138–160, Дои:10.1515 / crll.1985.357.138, МИСТЕР  0783538, S2CID  13016831, заархивировано из оригинал на 2012-07-11
• Одлызко, А.М. (1987), "О распределении расстояний между нулями дзета-функции", Математика вычислений, 48 (177): 273–308, Дои:10.2307/2007890, JSTOR  2007890, МИСТЕР  0866115
• Одлызко, А.М. (1990), «Границы дискриминантов и соответствующие оценки для чисел классов, регуляторов и нулей дзета-функций: обзор последних результатов», Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Серия 2, 2 (1): 119–141, Дои:10.5802 / jtnb.22, МИСТЕР  1061762
• Одлызко, А.М. (1992), 10²⁰-й ноль дзета-функции Римана и 175 миллионов ее соседей (PDF) В этой неопубликованной книге описывается реализация алгоритма и подробно обсуждаются результаты.
• Одлызко, А.М. (1998), 10²¹st нуль дзета-функции Римана (PDF)
• Оно, Кен; Соундарараджан, К. (1997), "Тернарная квадратичная форма Рамануджана", Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415–454, Bibcode:1997InMat.130..415O, Дои:10.1007 / s002220050191, S2CID  122314044
• Паттерсон, С. Дж. (1988), Введение в теорию дзета-функции Римана, Кембриджские исследования по высшей математике, 14, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511623707, ISBN  978-0-521-33535-5, МИСТЕР  0933558
• Платт, Дэвид; Трудгиан, Тим (2020), Гипотеза Римана верна до ${\displaystyle 3\cdot 10^{12}}$, arXiv:2004.09765v1
• Радзеевский, Мацей (2007), "Независимость дзета-функций Гекке конечного порядка над нормальными полями", Труды Американского математического общества, 359 (5): 2383–2394, Дои:10.1090 / S0002-9947-06-04078-5, МИСТЕР  2276625, Существует бесконечно много неизоморфных полей алгебраических чисел, дзета-функции Дедекинда которых имеют бесконечно много нетривиальных кратных нулей.
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел, Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-94457-5
• Риман, Бернхард (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. В Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), перепечатано Dover, New York (1953). Оригинальная рукопись (с английским переводом). Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ) и (Эдвардс 1974 )
• Ризель, Ганс; Гёль, Гуннар (1970), "Некоторые вычисления, связанные с формулой простых чисел Римана", Математика вычислений, 24 (112): 969–983, Дои:10.2307/2004630, JSTOR  2004630, МИСТЕР  0277489
• Рисса, М. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica, 40: 185–190, Дои:10.1007 / BF02418544
• Робин, Г. (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, МИСТЕР  0774171
• Россер, Дж. Баркли; Yohe, J.M .; Шенфельд, Лоуэлл (1969), «Строгое вычисление и нули дзета-функции Римана. (С обсуждением)», Обработка информации 68 (Материалы Конгресса ИФИП, Эдинбург, 1968), Vol. 1. Математика, программное обеспечение, Амстердам: Северная Голландия, стр. 70–76, МИСТЕР  0258245
• Рудин, Вальтер (1973), Функциональный анализ, 1-е издание (январь 1973 г.), Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  0-070-54225-2
• Салем, Рафаэль (1953), "Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 236: 1127–1128, МИСТЕР  0053148
• Сарнак, Петр (2005), Проблемы тысячелетия: гипотеза Римана (2004) (PDF), Институт математики Клэя, получено 2015-07-28 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Шенфельд, Лоуэлл (1976), «Более точные оценки для функций Чебышева θ (x) и ψ (x). II», Математика вычислений, 30 (134): 337–360, Дои:10.2307/2005976, JSTOR  2005976, МИСТЕР  0457374
• Шумайер, Даниэль; Хатчинсон, Дэвид А. В. (2011), "Физика гипотезы Римана", Обзоры современной физики, 83 (2): 307–330, arXiv:1101.3116, Bibcode:2011РвМП ... 83..307С, Дои:10.1103 / RevModPhys.83.307, S2CID  119290777
• Сельберг, Атле (1942), «О нулях дзета-функции Римана», SKR. Norske Vid. Акад. Осло I., 10: 59 п., МИСТЕР  0010712
• Сельберг, Атле (1946), "Вклад в теорию дзета-функции Римана", Arch. Математика. Натурвид., 48 (5): 89–155, МИСТЕР  0020594
• Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметрических римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Soc. (Н.С.), 20: 47–87, МИСТЕР  0088511
• Серр, Жан-Пьер (1969–1970), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (определения и предположения)", Семинэр Деланж-Пизо-Пуату, 19
• Шетс, Джеффри Т. (1998), "Гипотеза Римана для дзета-функции Госса для F_q[T] ", Журнал теории чисел, 71 (1): 121–157, arXiv:математика / 9801158, Дои:10.1006 / jnth.1998.2232, МИСТЕР  1630979, S2CID  119703557
• Сигель, К. (1932), «Убер Риманс нахласс цур аналитишен Захлентеори», Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Перепечатано в Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Берлин: Springer-Verlag, 1966.
• Шпайзер, Андреас (1934), "Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion", Mathematische Annalen, 110: 514–521, Дои:10.1007 / BF01448042, JFM  60.0272.04, S2CID  119413347, заархивировано из оригинал на 2015-06-27
• Спира, Роберт (1968), "Нули участков дзета-функции. II", Математика вычислений, 22 (101): 163–173, Дои:10.2307/2004774, JSTOR  2004774, МИСТЕР  0228456
• Штейн, Уильям; Мазур, Барри (2007), Что такое гипотеза Римана? (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2009-03-27
• Сузуки, Масатоши (2011), "Положительность некоторых функций, связанных с анализом на эллиптических поверхностях", Журнал теории чисел, 131 (10): 1770–1796, Дои:10.1016 / j.jnt.2011.03.007
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1935), «Нули дзета-функции Римана», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, Королевское общество, 151 (873): 234–255, Bibcode:1935RSPSA.151..234T, Дои:10.1098 / rspa.1935.0146, JSTOR  96545
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1936), «Нули дзета-функции Римана», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, Королевское общество, 157 (891): 261–263, Bibcode:1936RSPSA.157..261T, Дои:10.1098 / rspa.1936.0192, JSTOR  96692
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853369-6, МИСТЕР  0882550
• Трудгиан, Тимоти (2011), «Об успехе и неудаче закона Грама и правила Россера», Acta Arithmetica, 125 (3): 225–256, Дои:10.4064 / aa148-3-2
• Туран, Пол (1948), «О некоторых аппроксимативных полиномах Дирихле в теории дзета-функции Римана», Danske Vid. Сельск. Мат.-Фыс. Medd., 24 (17): 36, МИСТЕР  0027305 Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Тьюринг, Алан М. (1953), "Некоторые вычисления дзета-функции Римана", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 3: 99–117, Дои:10,1112 / плмс / с3–3,1,99, МИСТЕР  0055785
• де ла Валле-Пуссен, Ch.J. (1896), "Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers", Анна. Soc. Sci. Брюссель, 20: 183–256
• де ла Валле-Пуссен, Ch.J. (1899–1900), "Sur la fonction ζ (s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée", Mem. Couronnes Acad. Sci. Бельг., 59 (1) Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ).
• Вайль, Андре (1948), Sur les Courbes algébriques et les varétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., Нет. 1041 = Publ. Inst. Математика. Univ. Страсбург 7 (1945), Hermann et Cie., Париж, МИСТЕР  0027151
• Вайль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях», Бюллетень Американского математического общества, 55 (5): 497–508, Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4, МИСТЕР  0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques / Collected Papers Андре Вайлем ISBN  0-387-90330-5
• Вайнбергер, Питер Дж. (1973), "О евклидовых кольцах целых алгебраических чисел", Аналитическая теория чисел (Университет Сент-Луиса, 1972), Proc. Симпози. Чистая математика., 24, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 321–332, МИСТЕР  0337902
• Уайлс, Эндрю (2000), «Двадцать лет теории чисел», Математика: рубежи и перспективы, Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество, стр. 329–342, ISBN  978-0-8218-2697-3, МИСТЕР  1754786
• Загир, Дон (1977), «Первые 50 миллионов простых чисел» (PDF), Математика. Интеллигенсер, Спрингер, 0: 7–19, Дои:10.1007 / BF03039306, МИСТЕР  0643810, S2CID  189886510, заархивировано из оригинал (PDF) на 2009-03-27
• Загир, Дон (1981), «Ряды Эйзенштейна и дзета-функция Римана», Автоморфные формы, теория представлений и арифметика (Бомбей, 1979), Tata Inst. Фонд. Res. Исследования по математике., 10, Tata Inst. Фундаментальные исследования, Бомбей, стр. 275–301, МИСТЕР  0633666

Популярные экспозиции

• Саббаг, Карл (2003a), Величайшая нерешенная проблема математики, Фаррар, Страус и Жиру, Нью-Йорк, ISBN  978-0-374-25007-2, МИСТЕР  1979664
• Саббаг, Карл (2003b), Нули доктора Римана, Atlantic Books, Лондон, ISBN  978-1-843-54101-1
• дю Сотуа, Маркус (2003), Музыка простых людей, Издательство HarperCollins, ISBN  978-0-06-621070-4, МИСТЕР  2060134
• Рокмор, Дэн (2005), Преследование гипотезы Римана, Книги Пантеона, ISBN  978-0-375-42136-5, МИСТЕР  2269393
• Дербишир, Джон (2003), Основная одержимость, Джозеф Генри Пресс, Вашингтон, округ Колумбия, ISBN  978-0-309-08549-6, МИСТЕР  1968857
• Уоткинс, Мэтью (2015), Тайна простых чисел, Книги Либералис, ISBN  978-1782797814, МИСТЕР  0000000
• Френкель, Эдвард (2014), Гипотеза Римана Numberphile, 11 марта 2014 г. (видео)

внешняя ссылка

• Математический портал

• Американский институт математики, Гипотеза Римана
• Нули база данных, 103 800 788 359 нулей
• Ключ к гипотезе Римана - Numberphile, а YouTube видео о гипотезе Римана Numberphile
• Апостол, Том, Где нули дзеты s? Поэма о гипотезе Римана, пел к Джон Дербишир.
• Борвейн, Питер, Гипотеза Римана (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2009-03-27 (Слайды для лекции)
• Конрад, К. (2010), Последствия гипотезы Римана
• Конри, Дж. Брайан; Фермер, Дэвид В., Эквивалентность гипотезе Римана, заархивировано из оригинал на 2010-03-16
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2004), Вычисление нулей дзета-функции (Обзор гипотезы GUE, а также обширная библиография).
• Одлызко Андрей, Домашняя страница включая статьи о нулях дзета-функции и таблицы нулей дзета-функции
• Одлызко Андрей (2002), Нули дзета-функции Римана: предположения и вычисления (PDF) Слайды выступления
• Пегг, Эд (2004), Десять триллионов дзетов-нулей, Веб-сайт математических игр. Обсуждение вычислений Ксавье Гурдоном первых десяти триллионов нетривиальных нулей
• Пью, Глен, Java-апплет для построения Z (t)
• Рубинштейн, Михаил, алгоритм генерации нулей, заархивировано из оригинал на 2007-04-27.
• дю Сотуа, Маркус (2006), Простые числа связаны, Seed Magazine, архивировано с оригинал на 2017-09-22, получено 2006-03-27
• Штейн, Уильям А., Что такое гипотеза Римана, заархивировано из оригинал на 2009-01-04
• де Вриз, Андреас (2004), График дзета-функции Римана ζ (s), простой анимированный Java-апплет.
• Уоткинс, Мэтью Р. (18 июля 2007 г.), Предлагаемые доказательства гипотезы Римана
• Зетагрид (2002) Проект распределенных вычислений, который попытался опровергнуть гипотезу Римана; закрыт в ноябре 2005 г.