L-функция Дирихле - Dirichlet L-function

В математика, а Дирихле L-серии является функцией вида

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Здесь χ - Dirichlet персонаж и s а комплексная переменная с реальная часть больше 1. По аналитическое продолжение, эту функцию можно расширить до мероморфная функция в целом комплексная плоскость, а затем называется Дирихле L-функция а также обозначается L(s, χ).

Эти функции названы в честь Питер Густав Лежен Дирихле кто представил их в (Дирихле 1837 ), чтобы доказать теорема о простых числах в арифметических прогрессиях который также носит его имя. В ходе доказательства Дирихле показывает, что L(s, χ) не равно нулю в s = 1. Более того, если х главный, то соответствующий Дирихле L-функция имеет простой полюс в s = 1.

Нули L-функций Дирихле

Если χ - примитивный характер с χ (−1) = 1, то единственные нули L(s, χ) с Re (s) <0 лежат в отрицательных четных целых числах. Если χ - примитивный характер с χ (−1) = −1, то единственные нули L(s, χ) с Re (s) <0 относятся к отрицательным нечетным целым числам.

Вплоть до возможного существования Зигель ноль, области без нулей, включая и за линией Re (s) = 1, аналогичные дзета-функции Римана, существуют для всех L-функции: например, для χ нереальный характер модуля q, у нас есть

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log {\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$

для β + iγ ненулевой ноль.^[1]

Предполагается, что дзета-функция Римана подчиняется Гипотеза Римана, поэтому Дирихле L-функции, как предполагается, подчиняются обобщенная гипотеза Римана.

Произведение Эйлера

Поскольку характер Дирихле χ является полностью мультипликативный, его L-функция также может быть записана как Произведение Эйлера в полуплоскость из абсолютная конвергенция:

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

где продукт над всем простые числа.^[2]

Функциональное уравнение

Предположим, что χ - примитивный характер модуля k. Определение

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}$

где Γ обозначает Гамма-функция и символ а дан кем-то

${\displaystyle a={\begin{cases}0;&{\mbox{if }}\chi (-1)=1,\\1;&{\mbox{if }}\chi (-1)=-1,\end{cases}}}$

у одного есть функциональное уравнение

${\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ),}$

где τ (χ) - Сумма Гаусса

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}$

Отметим, что | τ (χ) | знак равно k^1/2.

Связь с дзета-функцией Гурвица

Дирихле L-функции могут быть записаны как линейная комбинация Дзета-функция Гурвица при рациональных ценностях. Исправление целого числа k ≥ 1, Дирихле L-функции для символов по модулю k являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами функции ζ (s,q) где q = м/k и м = 1, 2, ..., k. Это означает, что дзета-функция Гурвица для рациональных q обладает аналитическими свойствами, которые тесно связаны с Дирихле. L-функции. В частности, пусть χ - характер по модулю k. Тогда мы можем написать его Дирихле L-функция как

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\chi (m)\;\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).}$

Смотрите также

• Обобщенная гипотеза Римана
• L-функция
• Теорема модульности
• Гипотеза Артина
• Специальные значения L-функций

Примечания

1. Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Серия региональных конференций по математике. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 163. ISBN  0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
2. Апостол 1976 г., Теорема 11.7 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFApostol1976 (Помогите)

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, Г-Н  0434929, Zbl  0335.10001
• Апостол, Т. М. (2010), «L-функция Дирихле», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Х. Давенпорт (2000). Теория мультипликативных чисел. Springer. ISBN  0-387-95097-4.
• Дирихле, П.Г.Л. (1837 г.). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Ак. Wiss. Берлин. 48.
• «Дирихле-L-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]