Группа Сельмера - Selmer group

В арифметическая геометрия, то Группа Сельмера, названный в честь работы Эрнст Зейерстед Зельмер  (1951 ) к Джон Уильям Скотт Касселс  (1962 ), является группой, построенной из изогения из абелевы разновидности.

Группа Зельмера изогении

Группа Зельмера абелевой разновидности А в отношении изогения ж : А → B абелевых многообразий можно определить в терминах Когомологии Галуа в качестве

${\displaystyle \operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v}))}$

куда А_v[ж] обозначает ж-кручение из А_v и ${\displaystyle \kappa _{v}}$ это местная карта Куммера ${\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v})}$ изоморфен ${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]}$. Геометрически главные однородные пространства, происходящие из элементов группы Сельмера, имеют K_v-рациональные баллы за все места v из K. Группа Сельмера конечна. Это означает, что часть Группа Тейт-Шафаревич убит ж конечно в силу следующего точная последовательность

0 → B(K)/ж(А(K)) → Sel^(е)(А/K) → Ш (А/K)[ж] → 0.

Группа Сельмера в середине этой точной последовательности конечна и эффективно вычислима. Отсюда следует слабое Теорема Морделла – Вейля. что его подгруппа B(K)/ж(А(K)) конечно. Существует печально известная проблема относительно того, можно ли эффективно вычислить эту подгруппу: существует процедура для ее вычисления, которая завершится правильным ответом, если есть какое-то простое число. п так что п-компонента группы Тейта – Шафаревича конечна. Предполагается, что Группа Тейт-Шафаревич на самом деле конечно, и в этом случае любое простое число п должно сработать. Однако если (что кажется маловероятным) Группа Тейт-Шафаревич имеет бесконечный п-компонент для каждого прайма п, то процедура может никогда не завершиться.

Ральф Гринберг  (1994 ) обобщил понятие группы Сельмера на более общие п-адический Представления Галуа и чтобы п-адические вариации мотивы в контексте Теория Ивасавы.

Группа Сельмера конечного модуля Галуа

В более общем смысле можно определить группу Сельмера конечного модуля Галуа M (например, ядро ​​изогении) как элементы ЧАС¹(грамм_K,M), которые имеют изображения внутри определенных заданных подгрупп ЧАС¹(грамм_Kv,M).

Рекомендации

• Касселс, Джон Уильям Скотт (1962), "Арифметика на кривых рода 1. III. Группы Тейта – Шафаревича и Сельмера", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 12: 259–296, Дои:10.1112 / плмс / с3-12.1.259, ISSN  0024-6115, МИСТЕР  0163913
• Касселс, Джон Уильям Скотт (1991), Лекции по эллиптическим кривым, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 24, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781139172530, ISBN  978-0-521-41517-0, МИСТЕР  1144763
• Гринберг, Ральф (1994), "Теория Ивасавы и p-адическая деформация мотивов", в Серр, Жан-Пьер; Яннсен, Уве; Клейман, Стивен Л. (ред.), Мотивы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1637-0, МИСТЕР  1265554
• Зельмер, Эрнст С. (1951), "Диофантово уравнение топор³ + к³ + cz³  = 0", Acta Mathematica, 85: 203–362, Дои:10.1007 / BF02395746, ISSN  0001-5962, МИСТЕР  0041871