Группа Тейт-Шафаревич - Tate–Shafarevich group

В арифметическая геометрия, то Группа Тейт-Шафаревич Ш (А/K), представлен Серж Ланг и Джон Тейт  (1958 ) и Игорь Шафаревич  (1959 ), из абелева разновидность А (или в более общем смысле групповая схема ) определяется над числовым полем K состоит из элементов Группа Вейля – Шатле ТУАЛЕТ(А/K) = H1(граммK, А) которые становятся тривиальными при всех пополнениях K (т.е. п-адические поля получен из K, а также его реальные и сложные доработки). Таким образом, с точки зрения Когомологии Галуа, это можно записать как

Это самый продолжительный вклад автора в эту тему. Первоначальная запись была TS, который, как говорит мне Тейт, был призван продолжить ухоженный намек на Туалет. Термин «крутое дерьмо» американизма указывает на ту часть, которую трудно устранить.

Дж. В. С. Касселс  (1990, сноска на странице 109), комментируя введение им обозначений Ш.

Кассель ввел обозначение Ш (А/K), куда Ш это Кириллица письмо "Ша ", для Шафаревича, заменяя старые обозначения TS.

Элементы группы Тейт – Шафаревич

Геометрически нетривиальные элементы группы Тейта – Шафаревича можно рассматривать как однородные пространства А который имеет Kv-рациональные точки для каждого место v из K, но нет K-рациональная точка. Таким образом, группа измеряет степень, в которой Принцип Хассе не выполняется для рациональных уравнений с коэффициентами в поле K. Карл-Эрик Линд (1940 ) привел пример такого однородного пространства, показав, что кривая рода 1 Икс4 − 17 = 2у2 есть решения по реалам и по всем п-адические поля, но не имеет рациональных точек.Эрнст С. Зельмер  (1951 ) привел еще много примеров, таких как 3Икс3 + 4у3 + 5z3 = 0.

Частный случай группы Тейта – Шафаревича для конечной групповой схемы, состоящей из точек некоторого заданного конечного порядка п абелевой разновидности тесно связан с Группа Зельмера.

Гипотеза Тейта-Шафаревича

Гипотеза Тейта – Шафаревича утверждает, что группа Тейта – Шафаревича конечна. Карл Рубин  (1987 ) доказал это для некоторых эллиптических кривых ранга не выше 1 с комплексное умножение. Виктор Анатольевич Колывагин (1988 ) распространил это на модулярные эллиптические кривые над рациональными числами аналитического ранга не выше 1. ( теорема модульности позже показал, что предположение модульности выполняется всегда.)

Спаривание Касселса и Тейта

Пара Касселса – Тейта - это билинейное спаривание Ш (А) × Ш (Â) → Q/Z, куда А является абелевой разновидностью и Â это его двойственный. Кассель (1962) представил это для эллиптические кривые, когда А можно отождествить с Â и спаривание - это чередующаяся форма. Ядром этой формы является подгруппа делимых элементов, что тривиально, если гипотеза Тейта – Шафаревича верна. Тейт (1963) распространил спаривание на общие абелевы многообразия как разновидность Двойственность Тейт. Выбор поляризации на А дает карту из А к Â, которое индуцирует билинейное спаривание на Ш (А) со значениями в Q/Z, но, в отличие от эллиптических кривых, они не обязательно должны быть знакопеременными или даже кососимметричными.

Для эллиптической кривой Касселс показал, что спаривание чередуется, и, как следствие, если порядок Ш конечно, то это квадрат. Для более общих абелевых разновидностей на протяжении многих лет иногда ошибочно полагали, что порядок Ш является квадратом, когда он конечен; эта ошибка возникла в статье Суиннертон-Дайер (1967), который неверно процитировал один из результатов Тейт (1963). Пунен и Штолл (1999) привел несколько примеров, где порядок равен удвоенному квадрату, например, якобиан некоторой кривой рода 2 над рациональными числами, группа Тейта – Шафаревича которых имеет порядок 2, и Штейн (2004) привел несколько примеров, когда степень нечетного простого делителя порядка нечетна. Если абелево многообразие имеет главную поляризацию, то форма на Ш кососимметрична, что означает, что порядок Ш является квадратом или дважды квадратом (если он конечен), и если, кроме того, основная поляризация исходит от рационального делителя (как в случае эллиптических кривых), то форма чередуется и порядок Ш квадрат (если он конечен).

Смотрите также

Рекомендации