Абелева разновидность - Abelian variety

В математика, особенно в алгебраическая геометрия, комплексный анализ и алгебраическая теория чисел, абелева разновидность это проективное алгебраическое многообразие это тоже алгебраическая группа, т.е. имеет групповой закон что может быть определено регулярные функции. Абелевы многообразия в то же время являются одними из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для многих исследований по другим темам алгебраической геометрии и теории чисел.

Абелево многообразие можно определить уравнениями с коэффициентами в любых поле; тогда говорят, что многообразие определено над это поле. Исторически первыми изучаемыми абелевыми разновидностями были те, которые были определены в области сложные числа. Такие абелевы разновидности оказываются именно такими комплексные торы которые можно встроить в сложный проективное пространство. Абелевы многообразия, определенные над поля алгебраических чисел являются частным случаем, важным также с точки зрения теории чисел. Локализация методы естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечные поля и различные местные поля. Поскольку числовое поле - это поле дробей Дедекиндский домен, для любого ненулевого простого числа вашего Дедекиндский домен, существует отображение из области Дедекинда в частное из области Дедекинда по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. Это индуцирует отображение поля дробей в любое такое конечное поле. Для данной кривой с уравнением, заданным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.

Абелевы многообразия естественно появляются как Якобиевы многообразия (компоненты связности нуля в Разновидности Пикара ) и Сорта Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелевого многообразия обязательно коммутативный и разнообразие неособый. An эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности 1. Абелевы многообразия имеют Кодаира измерение 0.

История и мотивация

В начале девятнадцатого века теория эллиптические функции удалось заложить основу теории эллиптические интегралы, и это оставило очевидный путь исследования. Стандартные формы для эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубический и полиномы четвертой степени. Когда они были заменены полиномами более высокой степени, скажем, квинтики, что случилось бы?

В работе Нильс Абель и Карл Якоби, был сформулирован ответ: это будут функции две комплексные переменные, имея четыре независимых периоды (т.е. векторы периода). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 ( абелева поверхность): то, что сейчас назвали бы Якобиан гиперэллиптическая кривая рода 2.

После Абеля и Якоби одними из наиболее важных участников теории абелевых функций были Риман, Weierstrass, Фробениус, Пуанкаре и Пикард. Предмет был очень популярен в то время, уже имел большой объем литературы.

К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы для изучения абелевых функций. В конце концов, в 1920-х годах Лефшец положил начало изучению абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, кажется, был первым, кто использовал название «абелева разновидность». Это было Андре Вайль в 1940-х годах, которые дали этому предмету современные основы на языке алгебраической геометрии.

Сегодня абелевы многообразия составляют важный инструмент теории чисел, в динамические системы (точнее при изучении Гамильтоновы системы ), и в алгебраической геометрии (особенно Разновидности Пикара и Сорта Альбанезе ).

Аналитическая теория

Определение

Комплексный тор размерности грамм это тор реального измерения 2грамм несущий в себе структуру комплексное многообразие. Его всегда можно получить как частное из грамм-мерный комплекс векторное пространство по решетка 2 рангаграмм.Сложное абелево многообразие размерностей. грамм комплексный тор размерности грамм это тоже проективный алгебраическое многообразие над полем комплексных чисел. Поскольку они являются комплексными торами, абелевы многообразия несут структуру группа. А морфизм абелевых многообразий - это морфизм лежащих в основе алгебраических многообразий, сохраняющий элемент идентичности для структуры группы. An изогения является морфизмом конечного к одному.

Когда комплексный тор несет структуру алгебраического многообразия, эта структура обязательно уникальна. В случае грамм = 1, понятие абелевого многообразия такое же, как у эллиптическая кривая, и каждый комплексный тор порождает такую кривую; за грамм > 1 известно с Риман что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор.

Условия Римана

Следующий критерий Римана определяет, является ли данный комплексный тор абелевым многообразием, то есть может ли он быть вложен в проективное пространство. Позволять Икс быть грамм-мерный тор в виде Икс = V/L куда V комплексное векторное пространство размерности грамм и L решетка в V. потом Икс является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда существует положительно определенный эрмитская форма на V чей мнимая часть берет интеграл ценности на L×L. Такая форма на Икс обычно называется (невырожденным) Форма Римана. Выбор основы для V и L, можно сделать это условие более явным. Есть несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана.

Якобиан алгебраической кривой

Каждая алгебраическая кривая C из род грамм ≥ 1 связано с абелевым многообразием J измерения грамм, с помощью аналитического отображения C в J. Как тор, J имеет коммутативный группа структура, и образ C генерирует J как группа. Точнее, J покрывается C:^[1] любой момент в J исходит из грамм-набор точек в C. Изучение дифференциальных форм на C, которые вызывают абелевы интегралы с которой началась теория, может быть получена из более простой трансляционно-инвариантной теории дифференциалов на J. Абелева разновидность J называется Якобиева многообразие из C, для любой неособой кривой C над комплексными числами. С точки зрения бирациональная геометрия, это функциональное поле фиксированное поле симметричная группа на грамм буквы, действующие на функциональное поле C^грамм.

Абелевы функции

An абелева функция это мероморфная функция на абелевом многообразии, которое, следовательно, можно рассматривать как периодическую функцию п комплексные переменные, имеющие 2п независимые периоды; эквивалентно, это функция в функциональном поле абелевого многообразия. Например, в девятнадцатом веке был большой интерес к гиперэллиптические интегралы что может быть выражено через эллиптические интегралы. Это сводится к тому, чтобы спросить, что J является произведением эллиптических кривых, вплоть до изогения.

Важные теоремы

Одна из важных структурных теорем абелевых многообразий: Теорема Мацусаки. Он утверждает, что над алгебраически замкнутым полем всякое абелево многообразие ${ displaystyle A}$ - фактор якобиана некоторой кривой; то есть есть некоторое сюръекция абелевых многообразий ${ displaystyle J to A}$ куда ${ displaystyle J}$ является якобианом. Эта теорема остается верной, если основное поле бесконечно.^[2]

Алгебраическое определение

Два эквивалентных определения абелевого многообразия над общим полем k обычно используются:

а связаны и полный алгебраическая группа над k
а связаны и проективный алгебраическая группа над k.

Когда база - это поле комплексных чисел, эти понятия совпадают с предыдущим определением. По всем базам, эллиптические кривые являются абелевыми многообразиями размерности 1.

В начале 1940-х годов Вейль использовал первое определение (над произвольным базовым полем), но сначала не смог доказать, что оно подразумевает второе. Только в 1948 году он доказал, что полные алгебраические группы вкладываются в проективное пространство. Между тем, чтобы доказать Гипотеза Римана за кривые над конечные поля что он анонсировал в 1940 году работу, ему пришлось ввести понятие абстрактное разнообразие и переписать основы алгебраической геометрии для работы с многообразиями без проективных вложений (см. также раздел истории в Алгебраическая геометрия статья).

Состав группы точек

По определениям абелево многообразие является групповым. Его группа точек может быть доказана как коммутативный.

За C, а значит, и Принцип Лефшеца для каждого алгебраически замкнутое поле из характеристика ноль, торсионная группа абелевого многообразия размерностей грамм является изоморфный к (Q/Z)^2грамм. Следовательно, его п-часть кручения изоморфна (Z/пZ)^2грамм, то есть произведение 2грамм копии циклическая группа порядка п.

Когда базовое поле является алгебраически замкнутым полем характеристики п, то п-кручение по-прежнему изоморфно (Z/пZ)^2грамм когда п и п находятся совмещать. Когда п и п не являются взаимно простыми, тот же результат может быть восстановлен при условии, что его интерпретируют как утверждение, что п-кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2грамм. Если вместо того, чтобы смотреть на полную структуру схемы на п-кручение, рассматриваются только геометрические точки, получается новый инвариант для многообразий в характеристике п (так называемой п-ранг, когда п = п).

Группа k-рациональные точки для глобальное поле k является конечно порожденный посредством Теорема Морделла-Вейля. Следовательно, по структурной теореме для конечно порожденные абелевы группы, он изоморфен произведению свободная абелева группа Z^р и конечная коммутативная группа для некоторого неотрицательного целого числа р называется классифицировать абелевой разновидности. Аналогичные результаты справедливы для некоторых других классов полей. k.

Товары

Продукт абелевой разновидности А измерения м, и абелева разновидность B измерения пнад тем же полем является абелевым многообразием размерности м + п. Абелева разновидность просто если это не изогенный к произведению абелевых многообразий меньшей размерности. Любая абелева разновидность изогенна продукту простых абелевых разновидностей.

Поляризация и двойственное абелево многообразие

Двойное абелево разнообразие

К абелевой разновидности А над полем k, ассоциируется двойственное абелево многообразие А^v (над тем же полем), что является решением следующего проблема модулей. Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованное k-разнообразие Т определяется как линейный пакет L наА×Т такой, что

для всех т в Т, ограничение L к А×{т} - линейное расслоение степени 0,
ограничение L в {0} ×Т - тривиальное линейное расслоение (здесь 0 - тождество А).

Тогда есть разнообразие А^v и семейство линейных расслоений степени 0 п, расслоение Пуанкаре, параметризованное А^v такая, что семья L на Т связан уникальный морфизм ж: Т → А^v так что L изоморфна откату п по морфизму 1_А×ж: А×Т → А×А^v. Применяя это к случаю, когда Т является точкой, мы видим, что точки А^v соответствуют линейным расслоениям степени 0 на А, поэтому существует естественная групповая операция на А^v задается тензорным произведением линейных расслоений, что превращает его в абелево многообразие.

Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что существует естественный изоморфизм между двойным дуалом А^vv и А (определенное через расслоение Пуанкаре) и что оно контравариантный функториал, т.е. сопоставляется всем морфизмам ж: А → B двойственные морфизмы ж^v: B^v → А^v совместимым способом. В п-кручение абелевой разновидности и п-кручение двойственных двойной друг к другу, когда п взаимно проста с характеристикой основания. В общем - для всех п - в п-кручение групповые схемы дуальных абелевых многообразий являются Картье двойные друг друга. Это обобщает Спаривание Вейля для эллиптических кривых.

Поляризации

А поляризация абелевой разновидности является изогения от абелевого многообразия к его двойственному, симметричному относительно двойная двойственность для абелевых многообразий и для которых обратный образ расслоения Пуанкаре по морфизму ассоциированного графа обилен (так что он аналогичен положительно определенной квадратичной форме). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов. А основная поляризация - поляризация, являющаяся изоморфизмом. Якобианы кривых естественно снабжаются основной поляризацией, как только выбирается произвольная рациональная базовая точка на кривой, и кривая может быть восстановлена по ее поляризованному якобиану, когда род> 1. Не все принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривые; увидеть Проблема Шоттки. Поляризация вызывает Инволюция Росати на кольцо эндоморфизмов ${ displaystyle mathrm {End} (A) otimes mathbb {Q}}$ из А.

Поляризации над комплексными числами

Над комплексными числами поляризованное абелево разнообразие также можно определить как абелево многообразие А вместе с выбором Форма Римана ЧАС. Две формы Римана ЧАС₁ и ЧАС₂ называются эквивалент если есть положительные целые числа п и м такой, что нГ₁=мГн₂. Выбор класса эквивалентности форм Римана на А называется поляризация из А. Морфизм поляризованных абелевых многообразий - это морфизм А → B абелевых многообразий таких, что откат формы Римана на B к А эквивалентна данной форме на А.

Абелева схема

Можно также определить абелевы многообразия схема -теоретически и относительно базы. Это позволяет единообразно обрабатывать такие явления, как режим редукции. п абелевых многообразий (см. Арифметика абелевых многообразий ) и параметрические семейства абелевых многообразий. An абелева схема по базовой схеме S относительного измерения грамм это правильный, гладкий групповая схема над S чей геометрические волокна находятся связаны и размерности грамм. Слои абелевой схемы являются абелевыми многообразиями, поэтому можно думать об абелевой схеме над S как о семействе абелевых многообразий, параметризованныхS.

Для абелевой схемы А / S, группа п-точки кручения образуют конечная плоская групповая схема. Союз п^п-точки кручения, для всех п, образует p-делимая группа. Деформации абелевых схем, согласно Теорема Серра – Тейта, определяемые деформационными свойствами связанных п-делимые группы.

Пример

Позволять ${ displaystyle A, B in mathbb {Z}}$ быть таким, чтобы ${ displaystyle x ^ {3} + Ax + B}$ не имеет повторяющихся сложных корней. Тогда дискриминант ${ displaystyle Delta = -16 (4A ^ {3} + 27B ^ {2})}$ отличен от нуля. Позволять ${ Displaystyle R = mathbb {Z} [1 / Delta]}$ , так ${ displaystyle operatorname {Spec} R}$ открытая подсхема ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {Z}}$ . потом ${ displaystyle operatorname {Proj} R [x, y, z] / (y ^ {2} z-x ^ {3} -Axz ^ {2} -Bz ^ {3})}$ является абелевой схемой над ${ displaystyle operatorname {Spec} R}$ . Его можно расширить до Модель Нерона над ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {Z}}$ , которая является гладкой групповой схемой над ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {Z}}$ , но модель Нерона не является правильной и, следовательно, не является абелевой схемой над ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {Z}}$ .

Небытие

Абрашкин В. А.^[3] и Жан-Марк Фонтен^[4] независимо доказали, что ненулевых абелевых многообразий над Q с хорошим уменьшением при всех простых числах. Эквивалентно, нет ненулевых абелевых схем над SpecZ. Доказательство заключается в том, чтобы показать, что координаты п^п-точки -кручения порождают числовые поля с очень небольшим разветвлением и, следовательно, с небольшим дискриминантом, в то время как, с другой стороны, существуют нижние границы дискриминантов числовых полей.^[5]

Полуабелевский сорт

А полуабелева разновидность коммутативное групповое многообразие, являющееся расширением абелевого многообразия с помощью тор.

Смотрите также

Источники

Биркенхейк, Кристина; Ланге, Х. (1992), Сложные абелевы многообразия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-54747-3. Комплексное рассмотрение сложной теории с обзором истории предмета.
Долгачев, И. (2001) [1994], «Абелева схема», Энциклопедия математики, EMS Press
Фальтингс, Герд; Чай, Чинг-Ли (1990), Вырождение абелевых многообразий., Springer Verlag, ISBN 3-540-52015-5
Милн, Джеймс, Абелевы многообразия, получено 6 октября 2016. Примечания к онлайн-курсу.
Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы разновидности, Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, 5, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN 978-81-85931-86-9, МИСТЕР 0282985, OCLC 138290
Венков, Б.Б .; Паршин, А. (2001) [1994], "Abelian_variety", Энциклопедия математики, EMS Press
Bruin, N; Флинн, Е.В., N-КРЫШКИ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ (PDF), Оксфорд: Математический институт Оксфордского университета. Описание якобиана накрывающих кривых

[1] Бруин, Н. «N-покрытия гиперэллиптических кривых» (PDF). Математический факультет Оксфордского университета. Получено 14 января 2015. J покрывается C^грамм:

[2] Милн, Дж. С., Якобиевые многообразия, в арифметической геометрии, ред. Корнелл и Сильверман, Springer-Verlag, 1986.

[3] "В. А. Абрашкин," Групповые схемы периода $ p $ над кольцом векторов Витта ", ДАН, 283: 6 (1985), 1289–1294". www.mathnet.ru. Получено 2020-08-23.

[4] Фонтен, Жан-Марк. Il n'y a pas de varété abélienne sur Z. OCLC 946402079.

[5] «Нет абелевой схемы над Z» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 23 августа 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]