Понтрягинская двойственность - Pontryagin duality

В 2-адические целые числа, с выбранными соответствующими символами на их дуальная группа Понтрягина

В математике, особенно в гармонический анализ и теория топологические группы, Понтрягинская двойственность объясняет общие свойства преобразование Фурье на локально компактные абелевы группы, такие как ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то круг, или конечные циклические группы. В Теорема двойственности Понтрягина сам утверждает, что локально компактный абелевы группы естественно отождествлять себя со своими двуручный.

Тема названа в честь Лев Семенович Понтрягин который заложил основы теории локально компактных абелевых групп и их двойственности во время своих ранних математических работ в 1934 году. Трактовка Понтрягина основывалась на том, что группа счетный и либо компактный, либо дискретный. Это было улучшено, чтобы покрыть общие локально компактные абелевы группы с помощью Эгберт ван Кампен в 1935 г. и Андре Вайль в 1940 г.

Введение

Двойственность Понтрягина помещает в единый контекст ряд наблюдений о функциях на вещественной прямой или о конечных абелевых группах:

• Достаточно регулярные комплексные периодические функции на реальной линии есть Ряд Фурье и эти функции могут быть восстановлены из их рядов Фурье;
• Подходящие регулярные комплекснозначные функции на вещественной прямой имеют преобразования Фурье, которые также являются функциями на вещественной прямой, и, как и для периодических функций, эти функции могут быть восстановлены из их преобразований Фурье; и
• Комплекснозначные функции на конечная абелева группа имеют дискретные преобразования Фурье, которые являются функциями на двойная группа, которая является (неканонически) изоморфной группой. Более того, любую функцию на конечной группе можно восстановить с помощью ее дискретного преобразования Фурье.

Теория, введенная Лев Понтрягин и в сочетании с Мера Хаара представлен Джон фон Нейман, Андре Вайль и другие зависят от теории двойная группа из локально компактный абелева группа.

Это аналог двойное векторное пространство векторного пространства: конечномерное векторное пространство V и его двойственное векторное пространство V * естественно не изоморфны, но эндоморфизм алгебра (матричная алгебра) одного изоморфна напротив алгебры эндоморфизмов другого: ${\displaystyle {\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},}$ через транспонирование. Аналогично группа г и его дуальная группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ в общем случае не изоморфны, но их кольца эндоморфизмов противоположны друг другу: ${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$. Более категорично, это не просто изоморфизм алгебр эндоморфизмов, а контравариантная эквивалентность категорий - см. категорические соображения.

Определение

Дальнейшая информация: Локально компактная абелева группа

А топологическая группа это локально компактная группа если лежащее в основе топологическое пространство локально компактный и Хаусдорф; топологическая группа абелевский если основная группа абелевский.Примеры локально компактных абелевых групп включают конечные абелевы группы, целые числа (как для дискретная топология, который также индуцируется обычной метрикой), действительные числа, круговая группа Т (оба с их обычной метрической топологией), а также п-адические числа (с их обычными п-адическая топология).

Для локально компактной абелевой группы г, то Понтрягин дуальный это группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ непрерывного групповые гомоморфизмы от г в круговую группу Т. Это,

${\displaystyle {\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).}$

Понтрягин дуал ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ обычно наделен топология данный равномерное схождение на компактные наборы (то есть топология, индуцированная компактно-открытая топология на пространстве всех непрерывных функций из ${\displaystyle G}$ к ${\displaystyle T}$).

Например,

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .}$

Теорема двойственности Понтрягина

Теорема.^[1][2] Есть канонический изоморфизм ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ между любой локально компактной абелевой группой ${\displaystyle G}$ и его двойной дуал.

Канонический означает, что существует естественно определенная карта ${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ ; что еще более важно, карта должна быть функториальный в ${\displaystyle G}$. Канонический изоморфизм определен на ${\displaystyle x\in G}$ следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)=\{\chi \mapsto \chi (x)\}\ {\text{ i.e. }}\ \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi ):=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$

Другими словами, каждый элемент группы ${\displaystyle x}$ идентифицируется с оценочным персонажем на дуальном. Это очень похоже на канонический изоморфизм между конечномерное векторное пространство и это двойной двойной, ${\displaystyle V\cong V^{**}}$, при этом стоит отметить, что любое векторное пространство ${\displaystyle V}$ является Абелева группа. Если ${\displaystyle G}$ конечная абелева группа, то ${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$ но этот изоморфизм не каноничен. Чтобы сделать это утверждение точным (в общем), нужно подумать о дуализации не только на группах, но и на отображениях между группами, чтобы рассматривать дуализацию как функтор и доказать, что тождественный функтор и функтор дуализации не эквивалентны естественным образом. Также из теоремы двойственности следует, что для любой группы (не обязательно конечной) функтор дуализации является точным функтором.

Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье

Мера Хаара

Основная статья: Мера Хаара

Один из самых замечательных фактов о локально компактной группе г в том, что он несет в себе уникальный природный мера, то Мера Хаара, что позволяет последовательно измерять «размер» достаточно регулярных подмножеств г. «Достаточно регулярное подмножество» здесь означает Набор Бореля; то есть элемент σ-алгебра генерируется компактные наборы. Точнее, правая мера Хаара на локально компактной группе г является счетно-аддитивной мерой μ, определенной на борелевских множествах г который правый инвариант в том смысле, что μ (Топор) = μ (А) для Икс элемент г и А борелевское подмножество г а также удовлетворяет некоторым условиям регулярности (подробно изложено в статье о Мера Хаара ). За исключением положительных коэффициентов масштабирования, мера Хаара на г уникален.

Мера Хаара на г позволяет нам определить понятие интеграл для (сложный -значные) борелевские функции, определенные на группе. В частности, можно рассматривать различные L^п пробелы связанной с мерой Хаара μ. В частности,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$

Заметим, что, поскольку любые две меры Хаара на г равны с точностью до коэффициента масштабирования, это L^п-пространство не зависит от выбора меры Хаара и, возможно, может быть записано как L^п(Г). Однако L^п-норма на этом пространстве зависит от выбора меры Хаара, поэтому, если кто-то хочет говорить об изометриях, важно отслеживать используемую меру Хаара.

Преобразование Фурье и формула обращения Фурье для L¹-функции

Двойственная группа локально компактной абелевой группы используется в качестве основного пространства для абстрактной версии преобразование Фурье. Если ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$, то преобразование Фурье - это функция ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ определяется

${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$

где интеграл относительно Мера Хаара ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle G}$. Это также обозначается ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$. Обратите внимание, что преобразование Фурье зависит от выбора меры Хаара. Нетрудно показать, что преобразование Фурье ${\displaystyle L^{1}}$ функционировать на ${\displaystyle G}$ - ограниченная непрерывная функция на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ который исчезает в бесконечности.

Формула обращения Фурье для ${\displaystyle L^{1}}$-Функции. Для каждой меры Хаара ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle G}$ существует единственная мера Хаара ${\displaystyle \nu }$ на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ так что всякий раз, когда ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ и ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{1}({\widehat {G}})}$, у нас есть

${\displaystyle f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}}$

Если ${\displaystyle f}$ непрерывно, то это тождество выполняется для всех ${\displaystyle x}$.

В обратное преобразование Фурье интегрируемой функции на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$

где интеграл относительно меры Хаара ${\displaystyle \nu }$ на дуальной группе ${\displaystyle {\widehat {G}}}$. Мера ${\displaystyle \nu }$ на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ которое появляется в формуле обращения Фурье, называется двойная мера к ${\displaystyle \mu }$ и может быть обозначено ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$.

Различные преобразования Фурье можно классифицировать в терминах их области определения и области преобразования (группа и двойственная группа) следующим образом (обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbb {T} }$ является Круговая группа ):

Преобразовать	Исходный домен ${\displaystyle G}$	Преобразовать домен ${\displaystyle {\hat {G}}}$	Измерение ${\displaystyle \mu }$
преобразование Фурье	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
Ряд Фурье	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
Дискретное преобразование Фурье (DTFT)	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$

В качестве примера предположим ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$, так что мы можем думать о ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ так как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ спариванием ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$ Если ${\displaystyle \mu }$ - мера Лебега на евклидовом пространстве, получаем обычный преобразование Фурье на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и двойная мера для формулы обращения Фурье требуется ${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$. Если мы хотим получить формулу обращения Фурье с одинаковой мерой с обеих сторон (то есть, поскольку мы можем думать о ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ как собственное двойное пространство, мы можем попросить ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ в равной ${\displaystyle \mu }$) то нам нужно использовать

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$

Однако, если мы изменим способ идентификации ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с его дуальной группой, используя спаривание

${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$

то мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ равно своему собственному двойная мера. Это соглашение сводит к минимуму количество факторов ${\displaystyle 2\pi }$ которые появляются в разных местах при вычислении преобразований Фурье или обратных преобразований Фурье в евклидовом пространстве. (Фактически это ограничивает ${\displaystyle 2\pi }$ только для экспоненты, а не как некий беспорядочный фактор за пределами знака интеграла.) Обратите внимание, что выбор способа идентификации ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с его двойной группой влияет на значение термина «самодвойственная функция», которая является функцией на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ равный своему собственному преобразованию Фурье: с использованием классического спаривания ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$ функция ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ самодвойственный, но с использованием (более чистого) спаривания ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi {i}{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {w} }}}$ делает ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$ вместо этого самодвойственный.

Групповая алгебра

Основная статья: Групповая алгебра локально компактной группы

Пространство интегрируемых функций на локально компактной абелевой группе г является алгебра, где умножение - это свертка: свертка двух интегрируемых функций ж и г определяется как

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$

Теорема. Банахово пространство ${\displaystyle L^{1}(G)}$ является ассоциативной и коммутативной алгеброй относительно свертки.

Эта алгебра называется Групповая алгебра из г. Посредством Теорема Фубини – Тонелли свертка субмультипликативна по отношению к ${\displaystyle L^{1}}$ норма, делая ${\displaystyle L^{1}(G)}$ а Банахова алгебра. Банахова алгебра ${\displaystyle L^{1}(G)}$ имеет мультипликативный тождественный элемент тогда и только тогда, когда г - дискретная группа, а именно функция, которая равна 1 в единице и нулю в другом месте. Однако в целом у него есть приблизительная личность которая представляет собой сеть (или обобщенную последовательность) ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ индексируется на направленном наборе ${\displaystyle I}$ такой, что ${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

Преобразование Фурье переводит свертку в умножение, т.е.является гомоморфизмом абелевых банаховых алгебр ${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}({\widehat {G}})}$ (нормы ≤ 1):

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$

В частности, каждому персонажу группы на г соответствует уникальному мультипликативный линейный функционал на групповой алгебре, определяемой

${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$

Важным свойством групповой алгебры является то, что они исчерпывают множество нетривиальных (т. Е. Не тождественно нулевых) мультипликативных линейных функционалов на групповой алгебре; см. раздел 34 (Лумис 1953 ). Это означает, что преобразование Фурье является частным случаем Преобразование Гельфанда.

Планшерель и ${\displaystyle L^{2}}$ Теоремы обращения Фурье

Как мы заявляли, двойственная группа локально компактной абелевой группы является локально компактной абелевой группой сама по себе и, таким образом, имеет меру Хаара, или, точнее, целое семейство мер Хаара, связанных с масштабом.

Теорема. Выберите меру Хаара ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle G}$ и разреши ${\displaystyle \nu }$ быть двойственной мерой на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ как определено выше. Если ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ непрерывно с компактным носителем, то ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{2}({\widehat {G}})}$ и

${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$

В частности, преобразование Фурье - это ${\displaystyle L^{2}}$ изометрии комплекснозначных непрерывных функций компактного носителя на г к ${\displaystyle L^{2}}$-функции на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ (с использованием ${\displaystyle L^{2}}$-нормы по μ для функций на г и ${\displaystyle L^{2}}$-нормы по ν для функций на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$).

Поскольку комплекснозначные непрерывные функции компактного носителя на г находятся ${\displaystyle L^{2}}$-плотно, существует уникальное расширение преобразования Фурье с этого пространства на унитарный оператор

${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}({\widehat {G}}).}$

и у нас есть формула

${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\qquad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$

Отметим, что для некомпактных локально компактных групп г космос ${\displaystyle L^{1}(G)}$ не содержит ${\displaystyle L^{2}(G)}$, поэтому преобразование Фурье общего ${\displaystyle L^{2}}$-функции на г "не" задается какой-либо формулой интегрирования (или действительно любой явной формулой). Чтобы определить ${\displaystyle L^{2}}$ Преобразование Фурье приходится прибегать к некоторым техническим приемам, например, начинать с плотного подпространства, такого как непрерывные функции с компактным носителем, а затем расширять изометрию по непрерывности на все пространство. Это унитарное расширение преобразования Фурье и есть то, что мы понимаем под преобразованием Фурье на пространстве функций, интегрируемых с квадратом.

Двойственная группа также имеет собственное обратное преобразование Фурье; его можно охарактеризовать как обратное (или сопряженное, поскольку оно унитарно) ${\displaystyle L^{2}}$ Преобразование Фурье. Это содержание ${\displaystyle L^{2}}$ Формула обращения Фурье, которая следует ниже.

Теорема. Сопряжением преобразования Фурье, ограниченного непрерывными функциями компактного носителя, является обратное преобразование Фурье

${\displaystyle L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})\to L_{\mu }^{2}(G)}$

где ${\displaystyle \nu }$ двойственная мера к ${\displaystyle \mu }$.

В этом случае ${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ дуальная группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ естественно изоморфна группе целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ а преобразование Фурье специализируется на вычислении коэффициентов Ряд Фурье периодических функций.

Если г конечная группа, мы восстанавливаем дискретное преобразование Фурье. Отметим, что этот случай очень легко доказать напрямую.

Компактификация Бора и почти периодичность

Одним из важных приложений двойственности Понтрягина является следующая характеризация компактных абелевых топологических групп:

Теорема. Локально компактный абелевский группа г компактный если и только если дуальная группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ дискретно. Наоборот, г дискретно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ компактный.

Это г компактность подразумевает ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ дискретно или что г дискретность означает, что ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ компактно является элементарным следствием определения компактно-открытой топологии на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ и не нуждается в двойственности Понтрягина. Для доказательства обратного используется двойственность Понтрягина.

В Компактификация Бора определено для любой топологической группы г, несмотря на погоду г локально компактно или абелево. Использование двойственности Понтрягина между компактными абелевыми группами и дискретными абелевыми группами состоит в том, чтобы охарактеризовать боровскую компактификацию произвольных абелевых групп. локально компактный топологическая группа. В Компактификация Бора B (G) из г является ${\displaystyle {\widehat {H}}}$, где ЧАС имеет групповую структуру ${\displaystyle {\widehat {G}}}$, но с учетом дискретная топология. Поскольку карта включения

${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$

является непрерывным и гомоморфизмом, двойственный морфизм

${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$

является морфизмом в компактную группу, которая, как легко показать, удовлетворяет требуемому универсальная собственность.

Смотрите также почти периодическая функция.

Категориальные соображения

Двойственность Понтрягина также выгодно рассматривать функционально. В дальнейшем LCA это категория локально компактных абелевых групп и гомоморфизмов непрерывных групп. Двойственная групповая конструкция ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ контравариантный функтор LCA → LCA, представленный (в смысле представимые функторы ) по круговой группе ${\displaystyle \mathbb {T} }$ так как ${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$ В частности, двойной двойственный функтор ${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$ является ковариантныйТогда категоричная формулировка двойственности Понтрягина утверждает, что естественная трансформация между функтором тождества на LCA а двойной двойственный функтор является изоморфизмом.^[3] Разворачивая понятие естественного преобразования, это означает, что карты ${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$ являются изоморфизмами для любой локально компактной абелевой группы г, и эти изоморфизмы функториальны в г. Этот изоморфизм аналогичен двойной двойной из конечномерные векторные пространства (частный случай для вещественных и комплексных векторных пространств).

Непосредственным следствием этой формулировки является другая распространенная категориальная формулировка двойственности Понтрягина: функтор двойственной группы является эквивалентность категорий от LCA к LCA^op.

Двойственность меняет местами подкатегории дискретных групп и компактные группы. Если р это кольцо и г левый р-модуль, дуальная группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ станет правильным р-модуль; таким образом мы также можем видеть, что дискретный левый р-модули будут двойственными по Понтрягину к компактному правому р-модули. Кольцо End (г) из эндоморфизмы в LCA превращается двойственностью в свою противоположное кольцо (измените умножение на другой). Например, если г - бесконечная циклическая дискретная группа, ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ круговая группа: первая имеет ${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$ так что это верно и для последнего.

Обобщения

Обобщения двойственности Понтрягина строятся по двум основным направлениям: для коммутативных топологические группы это не локально компактный, и для некоммутативных топологических групп. Теории в этих двух случаях очень разные.

Двойственности коммутативных топологических групп

Когда ${\displaystyle G}$ является хаусдорфовой абелевой топологической группой, группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ с компактно-открытой топологией является хаусдорфовой абелевой топологической группой и естественным отображением из ${\displaystyle G}$ своему двойному дуалу ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ имеет смысл. Если это отображение является изоморфизмом, говорят, что ${\displaystyle G}$ удовлетворяет двойственность Понтрягина (или ${\displaystyle G}$ это рефлексивная группа,^[4] или отражающая группа^[5]). Это было расширено в нескольких направлениях, помимо того, что ${\displaystyle G}$ локально компактно.^[6]

В частности, Самуэль Каплан^[7][8] в 1948 и 1950 годах показал, что произвольные произведения и счетные обратные пределы локально компактных (хаусдорфовых) абелевых групп удовлетворяют двойственности Понтрягина. Отметим, что бесконечное произведение локально компактных некомпактных пространств не является локально компактным.

Позже, в 1975 году, Рангачари Венкатараман^[9] среди прочего показал, что любая открытая подгруппа абелевой топологической группы, удовлетворяющая двойственности Понтрягина, сама удовлетворяет двойственности Понтрягина.

Совсем недавно Серхио Арданса-Тревихано и Мария Хесус Часко^[10] расширили упомянутые выше результаты Каплана. Они показали, что прямой и обратный пределы последовательностей абелевых групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности Понтрягина, если группы метризуемы или ${\displaystyle k_{\omega }}$-пространства, но не обязательно локально компактные, если последовательности удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Однако есть фундаментальный аспект, который меняется, если мы хотим рассматривать двойственность Понтрягина вне локально компактного случая. Елена Мартин-Пейнадор^[11] в 1995 году доказал, что если ${\displaystyle G}$ является хаусдорфовой абелевой топологической группой, удовлетворяющей двойственности Понтрягина, и естественное вычисление пары

${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$

является (совместно) непрерывным,^[12] тогда ${\displaystyle G}$ локально компактно. Как следствие, все нелокально компактные примеры двойственности Понтрягина - это группы, в которых спаривание ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ не является (совместно) непрерывным.

Другой способ обобщить двойственность Понтрягина на более широкие классы коммутативных топологических групп - наделить дуальную группу ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ с немного другой топологией, а именно топология равномерной сходимости на вполне ограниченные множества. Группы, удовлетворяющие тождеству ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ при этом предположении^[13] называются стереотипные группы.^[5] Этот класс также очень широк (и он содержит локально компактные абелевы группы), но уже, чем класс рефлексивных групп.^[5]

Двойственность Понтрягина для топологических векторных пространств

В 1952 году Марианна Ф. Смит^[14] заметил это Банаховы пространства и рефлексивные пространства, рассматриваемые как топологические группы (с аддитивной групповой операцией), удовлетворяют двойственности Понтрягина. Позже Б.С. Брудовский,^[15] Уильям С. Уотерхаус^[16] и К. Браунер^[17] показал, что этот результат распространяется на класс всех квазиполных бочки (в частности, всем Пространства фреше ). В 1990-е годы Сергей Акбаров^[18] дал описание класса топологических векторных пространств, которые удовлетворяют более сильному свойству, чем классическая рефлексивность Понтрягина, а именно тождеству

${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$

где ${\displaystyle X^{\star }}$ означает пространство всех линейных непрерывных функционалов ${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {C} }}$ наделен топология равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в ${\displaystyle X}$ (и ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ означает двойное к ${\displaystyle X^{\star }}$ в том же смысле). Пространства этого класса называются стереотипные пространства, а соответствующая теория нашла ряд приложений в функциональном анализе и геометрии, включая обобщение двойственности Понтрягина для некоммутативных топологических групп.

Двойственности для некоммутативных топологических групп

Для некоммутативных локально компактных групп ${\displaystyle G}$ классическая конструкция Понтрягина перестает работать по разным причинам, в частности из-за того, что персонажи не всегда разделяют точки ${\displaystyle G}$, а неприводимые представления ${\displaystyle G}$ не всегда одномерны. В то же время неясно, как ввести умножение на множестве неприводимых унитарных представлений ${\displaystyle G}$, и даже не ясно, удастся ли это множество на роль двойственного объекта для ${\displaystyle G}$. Поэтому проблема построения двойственности в этой ситуации требует полного переосмысления.

Теории, построенные на сегодняшний день, делятся на две основные группы: теории, в которых дуальный объект имеет ту же природу, что и исходный (как в самой дуальности Понтрягина), и теории, в которых исходный объект и его двойник столь радикально отличаются друг от друга. что их нельзя считать объектами одного класса.

Теории второго типа исторически были первыми: вскоре после работы Понтрягина Тадао Таннака (1938) и Марк Крейн (1949) построил теорию двойственности для произвольных компактных групп, известную теперь как Двойственность Таннаки – Крейна.^[19][20] В этой теории двойственный объект для группы ${\displaystyle G}$ это не группа, а категория его представлений ${\displaystyle \Pi (G)}$.

Двойственность для конечных групп.

Теории первого типа появились позже, и ключевым примером для них была теория двойственности для конечных групп.^[21][22] В этой теории категория конечных групп вкладывается операцией ${\displaystyle G\mapsto {\mathbb {C} }_{G}}$ принятия групповая алгебра ${\displaystyle {\mathbb {C} }_{G}}$ (над ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$) в категорию конечномерных Алгебры Хопфа, так что функтор двойственности Понтрягина ${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$ превращается в операцию ${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$ взять двойное векторное пространство (который является функтором двойственности в категории конечномерных алгебр Хопфа).^[22]

В 1973 г. Леонид И. Вайнерман, Джордж И. Кац, Мишель Энок и Жан-Мари Шварц построили общую теорию этого типа для всех локально компактных групп.^[23] С 1980-х годов исследования в этой области были возобновлены после открытия квантовые группы, на которую стали активно переноситься построенные теории.^[24] Эти теории сформулированы на языке C * -алгебры, или Алгебры фон Неймана, и одним из ее вариантов является недавняя теория локально компактные квантовые группы.^[25][24]

Однако один из недостатков этих общих теорий состоит в том, что в них объекты, обобщающие понятие группы, не являются Алгебры Хопфа в обычном алгебраическом смысле.^[22] Этот недостаток можно исправить (для некоторых классов групп) в рамках теорий двойственности, построенных на основе понятия конверт топологической алгебры.^[22][26]

Смотрите также

• Теорема Питера – Вейля
• Картье двойственность
• Стереотипное пространство
• Двойная группа (квантовые вычисления)

Заметки

1. Хьюитт и Росс 1963, (24.2).
2. Моррис 1977, Глава 4.
3. Рёдер, Дэвид В. (1974), «Теория категорий в приложении к двойственности Понтрягина», Тихоокеанский математический журнал, 52 (2): 519–527, Дои:10.2140 / pjm.1974.52.519
4. Онищик 1984 г..
5. Акбаров и Шавгулидзе 2003 г..
6. Часко, Дикраньян и Мартин-Пейнадор, 2012 г..
7. Каплан 1948.
8. Каплан 1950.
9. Венкатараман 1975.
10. Арданза-Тревихано и Часко 2005.
11. Мартин-Пейнадор 1995. sfn error: нет цели: CITEREFMartín-Peinador1995 (Помогите)
12. Совместная непрерывность здесь означает, что карта ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ непрерывна как отображение топологических пространств, где ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}}$ наделен топологией декартова произведения. Этот результат не выполняется, если карта ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ предполагается, что она непрерывна по отдельности или непрерывна в стереотипность.
13. Где вторая дуальная группа ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ двойственен ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ в том же смысле.
14. Смит 1952.
15. Брудовский 1967. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFBrudovski1967 (Помогите)
16. Уотерхаус 1968.
17. Браунер 1973.
18. Акбаров 2003.
19. Хьюитт и Росс 1970.
20. Кириллов 1976 г..
21. Кириллов 1976 г., 12.3.
22. Акбаров 2009 г..
23. Энок и Шварц 1992.
24. Тиммерманн 2008.
25. Кустерманс и Ваес 2000.
26. Акбаров 2017. ошибка sfn: несколько целей (2 ×): CITEREFAkbarov2017 (Помогите)

использованная литература

• Диксмье, Жак (1969). Les C * -algèbres et leurs Репрезентации. Готье-Виллар. ISBN  978-2-87647-013-2.
• Энок, Мишель; Шварц, Жан-Мари (1992). Алгебры Каца и двойственность локально компактных групп. С предисловием Алена Конна. С постфайсом Адриана Окнеану. Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-662-02813-1. ISBN  978-3-540-54745-7. Г-Н  1215933.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963). Абстрактный гармонический анализ. Vol. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 115. Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94190-5. Г-Н  0156915.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970). Абстрактный гармонический анализ. 2. ISBN  978-3-662-24595-8. Г-Н  0262773.
• Кириллов, Александр А. (1976) [1972]. Элементы теории представлений. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 220. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-07476-4. Г-Н  0412321.
• Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ. D. van Nostrand Co. ISBN  978-0486481234.
• Моррис, С.А. (1977). Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521215435.
• Онищик, А.Л. (1984). Понтрягина двойственность. Энциклопедия математики. 4. С. 481–482. ISBN  978-1402006098.
• Райтер, Ганс (1968). Классический гармонический анализ и локально компактные группы. ISBN  978-0198511892.
• Рудин, Вальтер (1962). Фурье-анализ на группах. D. van Nostrand Co. ISBN  978-0471523642.
• Тиммерманн, Т. (2008). Приглашение к квантовым группам и двойственности - от алгебр Хопфа к мультипликативным унитарным системам и не только. Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-043-2.
• Kustermans, J .; Ваес, С. (2000). «Локально компактные квантовые группы». Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). 33 (6): 837–934. Дои:10.1016 / s0012-9593 (00) 01055-7.
• Арданца-Тревижано, Серхио; Часко, Мария Хесус (2005). «Двойственность Понтрягина секвенциальных пределов топологических абелевых групп». Журнал чистой и прикладной алгебры. 202 (1–3): 11–21. Дои:10.1016 / j.jpaa.2005.02.006. HDL:10171/1586. Г-Н  2163398.
• Часко, Мария Хесус; Дикранджан, Дикран; Мартин-Пейнадор, Елена (2012). «Обзор рефлексивности абелевых топологических групп». Топология и ее приложения. 159 (9): 2290–2309. Дои:10.1016 / j.topol.2012.04.012. Г-Н  2921819.
• Каплан, Сэмюэл (1948). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть I: бесконечные произведения». Математический журнал герцога. 15: 649–658. Дои:10.1215 / S0012-7094-48-01557-9. Г-Н  0026999.
• Каплан, Сэмюэл (1950). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть II: прямые и обратные пределы». Математический журнал герцога. 17: 419–435. Дои:10.1215 / S0012-7094-50-01737-6. Г-Н  0049906.
• Венкатараман, Рангачари (1975). «Расширения двойственности Понтрягина». Mathematische Zeitschrift. 143 (2): 105–112. Дои:10.1007 / BF01187051. S2CID  123627326.
• Мартин-Пейнадор, Елена (1995). «Рефгибкая допустимая топологическая группа должна быть локально компактной». Труды Американского математического общества. 123 (11): 3563–3566. Дои:10.2307/2161108. HDL:10338.dmlcz / 127641. JSTOR  2161108.
• Смит, Марианна Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики. 56 (2): 248–253. Дои:10.2307/1969798. JSTOR  1969798. Г-Н  0049479.
• Брудовский, Б. С. (1967). «О k- и c-рефлексивности локально выпуклых векторных пространств». Литовский математический журнал. 7 (1): 17–21.
• Уотерхаус, Уильям С. (1968). «Двойственные группы векторных пространств». Тихоокеанский математический журнал. 26 (1): 193–196. Дои:10.2140 / pjm.1968.26.193.
• Браунер, Кальман (1973). «Двойники пространств Фреше и обобщение теоремы Банаха – Дьедонне». Математический журнал герцога. 40 (4): 845–855. Дои:10.1215 / S0012-7094-73-04078-7.
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук. 113 (2): 179–349. Дои:10.1023 / А: 1020929201133. S2CID  115297067.
• Акбаров, Сергей С .; Шавгулидзе, Евгений Т. (2003). «О двух классах пространств, рефлексивных по Понтрягина». Математический сборник. 194 (10): 3–26.
• Акбаров, Сергей С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. Дои:10.1007 / s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.
• Акбаров, Сергей С. (2017). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук. 227 (5): 531–668. arXiv:1303.2424. Дои:10.1007 / s10958-017-3599-6. Г-Н  3790317. S2CID  126018582.
• Акбаров, Сергей С. (2017). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук. 227 (6): 669–789. arXiv:1303.2424. Дои:10.1007 / s10958-017-3600-4. Г-Н  3796205. S2CID  128246373.