Противоположное кольцо - Opposite ring

В математика, конкретно абстрактная алгебра, то противоположный из звенеть - это еще одно кольцо с такими же элементами и операцией сложения, но с умножением, выполняемым в обратном порядке. Более точно, противоположность кольца (р, +, ·) кольцо (р, +, ∗) умножение которого ∗ определяется равенством а ∗ б = б · а для всех а, б в р.^[1]^[2] Противоположное кольцо можно использовать для определения мультимодули, обобщение бимодули. Они также помогают прояснить отношения между левым и правым. модули (видеть Характеристики ).

Моноиды, группы, кольца и алгебры все можно рассматривать как категории с одним объект. Строительство противоположная категория обобщает противоположная группа, противоположное кольцо и т. д.

Примеры

Свободная алгебра с двумя образующими

В свободная алгебра ${ Displaystyle к langle х, у rangle}$ через поле ${ displaystyle k}$ с генераторами ${ displaystyle x, y}$ имеет умножение от умножения слов. Например,

{ displaystyle { begin {align} (2x ^ {2} yx + 3yxy) cdot (xyxy + 1) = & { text {}} 2x ^ {2} yx ^ {2} yxy + 2x ^ {2 } yx & + 3yxyxyxy + 3yxy end {выровненный}}}

Тогда обратная алгебра имеет умножение, заданное формулой

{ displaystyle { begin {align} (2x ^ {2} yx + 3yxy) * (xyxy + 1) & = (xyxy + 1) cdot (2x ^ {2} yx + 3yxy) & = 2xyxyx ^ {2} yx + 3xyxy ^ {2} xy + 2x ^ {2} yx + 3yxy end {align}}}

которые не являются равными элементами.

Кватернионная алгебра

Алгебра кватернионов ${ Displaystyle Н (а, Ь)}$ ^[3] над полем ${ displaystyle k}$ это алгебра с делением определяется тремя генераторами ${ displaystyle i, j, k}$ с отношениями

{ Displaystyle я ^ {2} = а}

,

{ displaystyle j ^ {2} = b}

, и

{ Displaystyle к = ij = -ji}

Все элементы ${ Displaystyle х в H (a, b)}$ имеют форму

{ displaystyle x = x_ {0} + x_ {i} i + x_ {j} j + x_ {k} k}

Если умножение ${ Displaystyle Н (а, Ь)}$ обозначается ${ displaystyle cdot}$ , у него есть таблица умножения


${ displaystyle cdot}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle k}$
${ displaystyle i}$	${ displaystyle a}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle aj}$
${ displaystyle j}$	${ displaystyle -k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle -bi}$
${ displaystyle k}$	${ displaystyle -aj}$	${ displaystyle bi}$	${ displaystyle -ab}$

Тогда противоположная алгебра ${ Displaystyle Н (а, Ь) ^ {оп}}$ с умножением, обозначенным ${ displaystyle *}$ есть стол


${ displaystyle *}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle k}$
${ displaystyle i}$	${ displaystyle a}$	${ displaystyle -k}$	${ displaystyle -aj}$
${ displaystyle j}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle bi}$
${ displaystyle k}$	${ displaystyle aj}$	${ displaystyle -bi}$	${ displaystyle -ab}$

Коммутативная алгебра

Коммутативная алгебра ${ displaystyle (R, cdot)}$ является изоморфный к своей противоположной алгебре ${ displaystyle (R, *) = R ^ {op}}$ поскольку ${ Displaystyle х CDOT у = у CDOT х = х * у}$ для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle R}$ .

Характеристики

Два кольца р₁ и р₂ находятся изоморфный тогда и только тогда, когда их соответствующие противоположные кольца изоморфны
Противоположность противоположности кольца р изоморфен р.
Кольцо и противоположное ему кольцо являются антиизоморфный.
Кольцо коммутативный тогда и только тогда, когда его действие совпадает с его противоположной операцией.^[2]
Слева идеалы кольца - правильные идеалы его противоположности.^[4]
Противоположное кольцо поля - это поле (это также верно для тела ).^[5]
Левый модуль над кольцом - это правый модуль над своей противоположностью, и наоборот.^[6]

Примечания

^ Беррик и Китинг (2000), п. 19
^ ^а ^б Бурбаки 1989, п. 101.
^ Милн. Теория поля классов. п. 120.
^ Бурбаки 1989, п. 103.
^ Бурбаки 1989, п. 114.
^ Бурбаки 1989, п. 192.

Смотрите также

Этот абстрактная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Беррик и Китинг (2000), п. 19

[FOOTNOTEBourbaki1989101-2] а ^б Бурбаки 1989, п. 101.

[3] Милн. Теория поля классов. п. 120.

[FOOTNOTEBourbaki1989103-4] Бурбаки 1989, п. 103.

[FOOTNOTEBourbaki1989114-5] Бурбаки 1989, п. 114.

[FOOTNOTEBourbaki1989192-6] Бурбаки 1989, п. 192.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]