Свободная алгебра - Free algebra

Эта статья посвящена свободным алгебрам в теории колец. Для более общих свободных алгебр в универсальная алгебра, увидеть свободный объект.

В математика, особенно в районе абстрактная алгебра известный как теория колец, а свободная алгебра некоммутативный аналог кольцо многочленов так как его элементы можно описать как «полиномы» с некоммутирующими переменными. Точно так же кольцо многочленов можно рассматривать как свободная коммутативная алгебра.

Определение

Для р а коммутативное кольцо, Свобода (ассоциативный, единый ) алгебра на п неопределенный {Икс₁,...,Икс_п} это свободный р-модуль с основой, состоящей из всех слова по алфавиту {Икс₁,...,Икс_п} (включая пустое слово, которое является единицей свободной алгебры). Эта р-модуль становится р-алгебра путем определения умножения следующим образом: произведение двух базисных элементов является конкатенация соответствующих слов:

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

и произведение двух произвольных р-элементы модуля, таким образом, определяются однозначно (поскольку умножение в р-алгебра должна быть р-билинейный). Эта р-алгебра обозначается р⟨Икс₁,...,Икс_п⟩. Эту конструкцию легко обобщить на произвольное множество Икс неопределенных.

Короче говоря, для произвольного набора ${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$, то свободный (ассоциативный, единый ) р-алгебра на Икс является

${\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}$

с р-билинейное умножение, то есть соединение слов, где Икс* обозначает свободный моноид на Икс (т.е. слова на буквах Икс_я), ${\displaystyle \oplus }$ обозначает внешний прямая сумма, и Rw обозначает свободный р-модуль на 1 элементе слово ш.

Например, в р⟨Икс₁,Икс₂,Икс₃,Икс₄⟩, Для скаляров α, β, γ, δ ∈ р, конкретным примером продукта двух элементов является

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$.

Некоммутативное кольцо многочленов можно отождествить с моноидное кольцо над р из свободный моноид всех конечных слов в Икс_я.

Контраст с многочленами

Поскольку слова над алфавитом {Икс₁, ...,Икс_п} составляют основу р⟨Икс₁,...,Икс_п⟩ Ясно, что любой элемент р⟨Икс₁, ...,Икс_п⟩ Можно однозначно записать в виде:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

где ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$ являются элементами р и все эти элементы, кроме конечного, равны нулю. Это объясняет, почему элементы р⟨Икс₁,...,Икс_п⟩ Часто обозначают как «некоммутативные многочлены» в «переменных» (или «неопределенных») Икс₁,...,Икс_п; элементы ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$ называются «коэффициентами» этих многочленов, а р-алгебра р⟨Икс₁,...,Икс_пНазывается "некоммутативной алгеброй многочленов над р в п неопределенный ". Обратите внимание, что в отличие от реального кольцо многочленов, переменные не ездить. Например, Икс₁Икс₂ не равно Икс₂Икс₁.

В более общем смысле можно построить свободную алгебру р⟨E⟩ На любом наборе E из генераторы. Поскольку кольца можно рассматривать как Z-алгебры, a бесплатное кольцо на E можно определить как свободную алгебру Z⟨E⟩.

Через поле, свободная алгебра на п неопределенные могут быть построены как тензорная алгебра на п-размерный векторное пространство. Для более общего кольца коэффициентов такая же конструкция работает, если мы возьмем бесплатный модуль на п генераторы.

Построение свободной алгебры на E является функториальный в природе и удовлетворяет соответствующий универсальная собственность. Функтор свободной алгебры левый смежный к забывчивый функтор из разряда р-алгебры к категория наборов.

Свободные алгебры над делительные кольца находятся бесплатные идеальные кольца.

Смотрите также

• Коалгебра Cofree
• Тензорная алгебра
• Бесплатный объект
• Некоммутативное кольцо
• Рациональная серия

использованная литература

• Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями. Энциклопедия математики и ее приложений. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19022-0. Zbl  1250.68007.
• Л. А. Бокуть (2001) [1994], «Свободная ассоциативная алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press