Свободное произведение ассоциативных алгебр - Free product of associative algebras

В алгебра, то бесплатный продукт (сопродукт) семьи ассоциативные алгебры ${\displaystyle A_{i},i\in I}$ через коммутативный звенеть р ассоциативная алгебра над р то есть, грубо говоря, определяется генераторами и отношениями ${\displaystyle A_{i}}$с. Свободное произведение двух алгебр А, B обозначается А ∗ B. Это понятие теоретико-кольцевой аналог бесплатный продукт из группы.

в категория коммутативных р-алгебры, свободное произведение двух алгебр (в котором категория ) является их тензорное произведение.

Строительство

Сначала мы определим свободное произведение двух алгебр. Позволять А, B две алгебры над коммутативным кольцом р. Считайте их тензорная алгебра, прямая сумма всех возможных конечных тензорных произведений А, B; явно, ${\displaystyle T=\bigoplus _{n=0}^{\infty }T_{n}}$ куда

${\displaystyle T_{0}=R,\,T_{1}=A\oplus B,\,T_{2}=(A\otimes A)\oplus (A\otimes B)\oplus (B\otimes A)\oplus (B\otimes B),\,T_{3}=\cdots ,\dots }$

Затем мы устанавливаем

${\displaystyle A*B=T/I}$

куда я двусторонний идеальный генерируется элементами формы

${\displaystyle a\otimes a'-aa',\,b\otimes b'-bb',\,1_{A}-1_{B}.}$

Затем мы проверяем универсальность сопродукт для этого выполняется (это просто, но мы должны привести подробности).

Рекомендации

• К. И. Бейдар, В. С. Мартиндейл, А. В. Михалев, Кольца с обобщенными тождествами, Раздел 1.4. Эта ссылка упоминается в «Копроизведение в категории (некоммутативных) ассоциативных алгебр». Обмен стеком. 9 мая 2012 г.

внешняя ссылка

• «Как построить копроизведение двух (некоммутативных) колец». Обмен стеком. 3 января 2014 г.