Нулевое кольцо - Zero ring

В теория колец, филиал математика, то нулевое кольцо^{[1][2][3][4][5]} или же тривиальное кольцо уникальный звенеть (вплоть до изоморфизм ) состоящий из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любого значение квадратного нуля, т.е. rng в котором ху = 0 для всех Икс и у. Эта статья относится к одноэлементному кольцу.)

в категория колец, нулевое кольцо - это конечный объект, а кольцо целых чисел Z это исходный объект.

Определение

Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0, состоит из одноэлементный набор {0} с операциями + и ·, определенными таким образом, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.

Характеристики

• Нулевое кольцо - это единственное кольцо, в котором аддитивная идентичность 0 и мультипликативная идентичность 1 совпадают.^[6][7] (Доказательство: если 1 = 0 в кольце р, то для всех р в р, у нас есть р = 1р = 0р = 0.)
• Нулевое кольцо также обозначается Z₁.^{[нужна цитата ]}
• Нулевое кольцо коммутативно.
• Элемент 0 в нулевом кольце является единица измерения, служа своим собственным мультипликативный обратный.
• В группа единиц нулевого кольца - это тривиальная группа {0}.
• Элемент 0 в нулевом кольце не является делитель нуля.
• Единственный идеальный в нулевом кольце находится нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал ни максимальный ни основной.
• Нулевое кольцо не является поле; это согласуется с тем, что его нулевой идеал не максимален. Фактически не существует поля, содержащего менее двух элементов. (Когда математики говорят о "поле с одним элементом ", они относятся к несуществующему объекту, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
• Нулевое кольцо не является область целостности.^[8] Считается ли нулевое кольцо домен это вопрос условности, но есть два преимущества в том, чтобы рассматривать его не как домен. Во-первых, это согласуется с определением, что область - это кольцо, в котором 0 является единственным делителем нуля (в частности, 0 требуется, чтобы быть делителем нуля, что не работает в нулевом кольце). Во-вторых, таким образом, для положительного целого числа п, кольцо Z/пZ (или же Z_п, который изоморфен Z/пZ) является областью тогда и только тогда, когда п простое, но 1 не простое.
• Для каждого кольца А, есть уникальный кольцевой гомоморфизм из А к нулевому кольцу. Таким образом, нулевое кольцо - это конечный объект в категория колец.^[9]
• Если А ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец нулевого кольца в А. В частности, нулевое кольцо не является подкольцо любого ненулевого кольца.^[10]
• Нулевое кольцо - это единственное кольцо характеристика 1.
• Единственный модуль для нулевого кольца - нулевой модуль. Он не имеет ранга א для любого числа.
• Нулевое кольцо не является местное кольцо. Однако это полулокальное кольцо.
• Нулевое кольцо Артиниан и поэтому) Нётерян.
• В спектр нулевого кольца - это пустой схема.^[11]
• В Измерение Крулля нулевого кольца равно −∞.
• Нулевое кольцо полупростой но нет просто.
• Нулевое кольцо не является центральная простая алгебра над любым полем.
• В кольцо полного частного нулевого кольца есть само.

Конструкции

• Для любого кольца А и идеальный я из А, то частное А/я является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда я = А, т.е. тогда и только тогда, когда я это единица идеальная.
• Для любого коммутативного кольца А и мультипликативный набор S в А, то локализация S⁻¹А является нулевым кольцом тогда и только тогда, когда S содержит 0.
• Если А - любое кольцо, то кольцо M₀(А) из 0 × 0 матрицы над А - нулевое кольцо.
• В прямой продукт пустого набора колец - нулевое кольцо.
• В кольцо эндоморфизмов из тривиальная группа - нулевое кольцо.
• Кольцо непрерывный действительные функции на пустом топологическое пространство - нулевое кольцо.

Примечания

1. Артин, с. 347.
2. Атья и Макдональд, стр. 1.
3. Bosch, стр. 10.
4. Бурбаки, с. 101.
5. Напольная лампа. 1.
6. Артин, с. 347.
7. Ланг, стр. 83.
8. Напольная лампа. 3.
9. Хартсхорн, стр. 80.
10. Хартсхорн, стр. 80.
11. Хартсхорн, стр. 80.

Рекомендации

• Майкл Артин, Алгебра, Прентис-Холл, 1991.
• Зигфрид Бош, Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, Springer, 2012.
• М. Ф. Атья и И. Г. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон-Уэсли, 1969.
• Н. Бурбаки, Алгебра I, главы 1-3.
• Робин Хартшорн, Алгебраическая геометрия, Спрингер, 1977.
• Т. Ю. Лам, Упражнения по классической теории колец, Springer, 2003.
• Серж Ланг, Алгебра 3-е изд., Springer, 2002.