Простое кольцо - Simple ring

В абстрактная алгебра, филиал математика, а простое кольцо это ненулевой звенеть что не имеет двустороннего идеальный Кроме нулевой идеал и сам.

Следует заметить, что в некоторых источниках (например, Lang (2002) или Bourbaki (2012)) дополнительно требуется, чтобы простое кольцо было левым или правым. Артиниан (или эквивалентно полупростой ). В такой терминологии ненулевое кольцо без нетривиальных двусторонних идеалов называется квазипростой.

Простое кольцо всегда можно рассматривать как простая алгебра над его центр. Кольца простые, как кольца, но не как модули действительно существуют: полный матричное кольцо через поле не имеет нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал в M_п(р) имеет вид M_п(я) с я идеал р), но имеет нетривиальные левые идеалы (а именно, наборы матриц, у которых есть фиксированные нулевые столбцы).

Согласно Теорема Артина – Веддерберна, каждое простое кольцо слева или справа Артиниан это матричное кольцо через делительное кольцо. В частности, единственные простые кольца, которые являются конечномерный векторное пространство над действительные числа кольца матриц над действительными числами, сложные числа, или кватернионы.

Любой частное кольца максимальный двусторонний идеал - простое кольцо. В частности, поле простое кольцо. На самом деле делительное кольцо - это тоже простое кольцо. Кольцо просто тогда и только тогда, когда оно противоположное кольцо р ^op это просто.

Примером простого кольца, которое не является матричным кольцом над телом, является Алгебра Вейля.

Кроме того, кольцо ${\displaystyle R}$ это простой коммутативное кольцо если и только если ${\displaystyle R}$ это поле. Это потому, что если ${\displaystyle R}$ коммутативное кольцо, то вы можете выбрать ненулевой элемент ${\displaystyle x\in R}$ и считать идеальным ${\displaystyle \{xr:r\in R\}}$. Тогда, поскольку ${\displaystyle R}$ прост, этот идеал представляет собой все кольцо, поэтому он содержит 1, и, следовательно, есть некоторый элемент ${\displaystyle y\in R}$ такой, что ${\displaystyle xy=1}$, и так ${\displaystyle R}$ это поле. Наоборот, если ${\displaystyle R}$ известно как поле, то любой ненулевой идеал ${\displaystyle I\subseteq R}$ будет иметь ненулевой элемент ${\displaystyle y\in I}$. Но с тех пор ${\displaystyle R}$ это поле, то ${\displaystyle y^{-1}\in R}$ и так ${\displaystyle y^{-1}y=1\in I}$, и так ${\displaystyle I=R}$.

Простая алгебра

An алгебра^{[требуется разъяснение ]} является просто если в нем нет нетривиальных двусторонних идеалы и операция умножения нет ноль (то есть есть некоторые а и немного б такой, что ab ≠ 0).

Второе условие определения исключает следующую ситуацию: рассмотрим алгебру с обычными матричными операциями,

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&\alpha \\0&0\\\end{bmatrix}}:\,\alpha \in \mathbb {C} \right\}\!.}$

Это одномерная алгебра, в которой произведение любых двух элементов равно нулю. Это условие гарантирует, что алгебра имеет минимальный ненулевой левый идеал, что упрощает некоторые рассуждения.

Непосредственным примером простых алгебр являются алгебры с делением, где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативную обратную, например, вещественную алгебру кватернионы. Также можно показать, что алгебра п × п матрицы с записями в делительное кольцо это просто. Фактически, это характеризует все конечномерные простые алгебры с точностью до изоморфизм, т.е. любая конечномерная простая алгебра изоморфна матричная алгебра над некоторым разделительным кольцом. Этот результат был дан в 1907 г. Джозеф Уэддерберн в своей докторской диссертации, О гиперкомплексных числах, который появился в Труды Лондонского математического общества. Тезис Веддерберна классифицировал как простые и полупростые алгебры. Простые алгебры являются строительными блоками полупростых алгебр: любая конечномерная полупростая алгебра является декартовым произведением в смысле алгебр простых алгебр.

Позднее результат Веддерберна был обобщен на полупростые кольца в Теорема Артина – Веддерберна.

Примеры

• А центральная простая алгебра (иногда называемая алгеброй Брауэра) представляет собой простую конечномерную алгебру над поле F чей центр является F.

Позволять р быть полем действительных чисел, C - поле комплексных чисел, а ЧАС в кватернионы.

• Всякое конечномерное простая алгебра над р изоморфна кольцу матриц над р, C, или же ЧАС. Каждый центральная простая алгебра над р изоморфна кольцу матриц над р или же ЧАС. Эти результаты следуют из Теорема Фробениуса.
• Всякая конечномерная простая алгебра над C является центральной простой алгеброй и изоморфна кольцу матриц над C.
• Всякая конечномерная центральная простая алгебра над конечное поле изоморфно кольцу матриц над этим полем.
• Для коммутативное кольцо, четыре следующих свойства эквивалентны: быть полупростое кольцо; существование Артиниан и уменьшенный; быть уменьшенный Кольцо Нётериана из Измерение Крулля 0; и будучи изоморфным конечному прямому произведению полей.

Теорема Веддерберна

Основная статья: Теорема Артина – Веддерберна

Теорема Веддерберна характеризует простые кольца с единицей и минимальным левым идеалом. (Левое артиново условие является обобщением второго предположения.) А именно, оно говорит, что каждое такое кольцо с точностью до изоморфизм, кольцо п × п матрицы над телом.

Позволять D быть разделительным кольцом и M_п(D) - кольцо матриц с элементами из D. Нетрудно показать, что каждый левый идеал в M_п(D) принимает следующий вид:

{M ∈ M_п(D) | в п₁, ..., п_k-й столбец M иметь ноль записей},

для некоторых фиксированных {п₁, ..., п_k} ⊆ {1, ..., п}. Итак, минимальный идеал в M_п(D) имеет форму

{M ∈ M_п(D) | все кроме k-й столбец не имеет записей},

для данного k. Другими словами, если я минимальный левый идеал, то я = M_п(D)е, куда е это идемпотентная матрица с 1 в (k, k) запись и ноль в другом месте. Также, D изоморфен еM_п(D)е. Левый идеал я можно рассматривать как правый модуль над еM_п(D)е, и кольцо M_п(D) очевидно изоморфна алгебре гомоморфизмы на этом модуле.

Приведенный выше пример подсказывает следующую лемму:

Лемма. А кольцо с единицей 1 и идемпотентный элемент е куда AeA = А. Позволять я быть левым идеалом Ae, рассматриваемый как правый модуль над eAe. потом А изоморфна алгебре гомоморфизмов на я, обозначаемый Hom(я).

Доказательство: Определим «левое регулярное представление» Φ: А → Hom(я) на Φ (а)м = являюсь за м ∈ я. Φ есть инъективный потому что, если а ⋅ я = aAe = 0, тогда аА = aAeA = 0, откуда следует, что а = а ⋅ 1 = 0.

За сюръективность, позволять Т ∈ Hom(я). С AeA = А, единицу 1 можно выразить как 1 = ∑а_яeb_я. Так

Т(м) = Т(1 ⋅ м) = Т(∑а_яeb_ям) = ∑ Т(а_яeeb_ям) = ∑ Т(а_яе) eb_ям = [∑Т(а_яе)eb_я]м.

Поскольку выражение [∑Т(а_яе)eb_я] не зависит от м, Φ сюръективно. Это доказывает лемму.

Теорема Веддерберна легко следует из леммы.

Теорема (Wedderburn). Если А простое кольцо с единицей 1 и минимальным левым идеалом я, тогда А изоморфно кольцу п × п матрицы над телом.

Достаточно просто проверить условия леммы, т.е. найти идемпотент е такой, что я = Ae, а затем показать, что eAe это делительное кольцо. Предположение А = AeA следует из А быть простым.

Смотрите также

• Простой (алгебра)
• Простая универсальная алгебра

Рекомендации

• А. А. Альберт, Структура алгебр, Публикации коллоквиума 24, Американское математическое общество, 2003, ISBN  0-8218-1024-3. С.37.
• Бурбаки, Николас (2012), Algèbre Ch. 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-35315-7
• Хендерсон, Д. (1965). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна». Амер. Математика. Ежемесячно. 72: 385–386. Дои:10.2307/2313499.
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN  978-0-387-95325-0, МИСТЕР  1838439
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0387953854