Уменьшенное кольцо - Reduced ring - Wikipedia

В теория колец, а звенеть R называется уменьшенное кольцо если у него нет ненулевого нильпотентный элементы. Точно так же кольцо сокращается, если в нем нет ненулевых элементов с квадратом нуля, то есть Икс² = 0 означает Икс = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется приведенная алгебра если его нижнее кольцо уменьшено.

Нильпотентные элементы коммутативного кольца р для мужчин идеальный из р, называется нильрадикал из р; поэтому коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Более того, коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, равен нулю.

А кольцо частного R / I уменьшается тогда и только тогда, когда я это радикальный идеал.

Позволять D - множество всех нулевых делителей в редуцированном кольце р. потом D это союз всех минимальные простые идеалы.^[1]

Через Кольцо Нётериана р, мы говорим о конечно порожденном модуле M имеет локально постоянный ранг, если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))}$ является локально постоянной (или эквивалентно непрерывной) функцией на Spec р. потом р редуцируется тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль локально постоянного ранга является проективный.^[2]

Примеры и не примеры

• Подкольца, товары, и локализации редуцированных колец снова редуцированные кольца.
• Кольцо целых чисел Z редуцированное кольцо. Каждый поле и каждый кольцо многочленов над полем (от произвольного числа переменных) является редуцированным кольцом.
• В более общем плане каждый область целостности является редуцированным кольцом, поскольку нильпотентный элемент тем более делитель нуля. С другой стороны, не всякое редуцированное кольцо является областью целостности. Например, кольцо Z[Икс, у]/(ху) содержит х + (ху) и у + (ху) как делители нуля, но без ненулевых нильпотентных элементов. Другой пример: кольцо Z×Z содержит (1,0) и (0,1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов.
• Кольцо Z/6Z уменьшается, однако Z/4Z не сокращен: класс 2 + 4Z нильпотентен. В целом, Z/пZ уменьшается тогда и только тогда, когда п = 0 или п это целое число без квадратов.
• Если р коммутативное кольцо и N это нильрадикал из р, то факторкольцо р/N уменьшен.
• Коммутативное кольцо р из характеристика п для какого-то простого числа п уменьшается тогда и только тогда, когда его Эндоморфизм Фробениуса является инъективный. (ср. идеальное поле.)

Обобщения

Приведенные кольца играют элементарную роль в алгебраическая геометрия, где это понятие обобщено до понятия сокращенная схема.

Смотрите также

• Полное кольцо частных # Полное кольцо частных приведенного кольца

Примечания

1. Доказательство: пусть ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ - все (возможно, нулевые) минимальные простые идеалы.

   ${\displaystyle D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:}$ Позволять Икс быть в D. потом ху = 0 для некоторого ненулевого у. С р редуцируется, (0) является пересечением всех ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ и поэтому у нет в некоторых ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$. С ху во всем ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$; в частности, в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$, Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$.

   ${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:}$ (украдено у Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Опускаем нижний индекс я. Позволять ${\displaystyle S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}}$. S мультипликативно замкнуто, поэтому мы можем рассматривать локализацию ${\displaystyle R\to R[S^{-1}]}$. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ - прообраз максимального идеала. потом ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ содержится в обоих D и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ и по минимальности ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}}$. (Это направление немедленно, если р Нётер по теории связанные простые числа.)

2. Эйзенбуд, Упражнение 20.13. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)

Рекомендации

• Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Hermann Paris 1972, гл. II, § 2.7
• Н. Бурбаки, Алгебра, Springer 1990, гл. V, § 6.7
• Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.