Факторное кольцо - Quotient ring

В теория колец, филиал абстрактная алгебра, а кольцо частного, также известный как факторное кольцо, разностное кольцо^[1] или кольцо класса остатка, конструкция очень похожа на факторгруппы из теория групп и факторпространства из линейная алгебра.^[2]^[3] Это конкретный пример частное, если смотреть из общих настроек универсальная алгебра. Каждый начинается с звенеть р и двусторонний идеал я в р, и строит новое кольцо, факторкольцо р / я, элементами которого являются смежные классы из я в р при условии особого + и ⋅ операции.

Фактор-кольца отличаются от так называемого "поля частных", или поле дробей, из область целостности а также из более общих «колец частных», полученных локализация.

Формальное построение кольца частных

Учитывая кольцо ${ displaystyle R}$ и двусторонний идеал ${ displaystyle I}$ в ${ displaystyle R}$ , мы можем определить отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ на ${ displaystyle R}$ следующим образом:

{ displaystyle a sim b}

если и только если

{ displaystyle a-b}

в

{ displaystyle I}

.

Используя идеальные свойства, несложно проверить, что ${ displaystyle sim}$ это отношение конгруэнтности.В случае ${ displaystyle a sim b}$ мы говорим, что ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ находятся конгруэнтный по модулю ${ displaystyle I}$ . класс эквивалентности элемента ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle R}$ дан кем-то

{ displaystyle [a] = a + I: = {a + r: r in I }}

.

Этот класс эквивалентности также иногда записывается как ${ displaystyle a { bmod {I}}}$ и назвал "класс вычетов" ${ displaystyle a}$ по модулю ${ displaystyle I}$ ".

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается через ${ displaystyle R / I}$ ; это становится кольцом, факторное кольцо или кольцо частного из ${ displaystyle R}$ по модулю ${ displaystyle I}$ , если определить

${ Displaystyle (а + я) + (б + я) = (а + б) + я}$ ;
${ displaystyle (a + I) (b + I) = (ab) + I}$ .

(Здесь нужно проверить, что эти определения четко определенный. Сравнивать смежный и факторгруппа.) Нулевой элемент ${ displaystyle R / I}$ является ${ displaystyle { bar {0}} = (0 + I) = I}$ , а мультипликативное тождество ${ displaystyle { bar {1}} = (1 + I)}$ .

Карта ${ displaystyle p}$ из ${ displaystyle R}$ к ${ displaystyle R / I}$ определяется ${ Displaystyle р (а) = а + I}$ это сюръективный кольцевой гомоморфизм, иногда называемый карта естественного отношения или канонический гомоморфизм.

Примеры

Факторное кольцо р / {0} является естественно изоморфный к р, и р / р это нулевое кольцо {0}, поскольку, по нашему определению, для любого р в ру нас есть это [р] = р + "R": = {р + б : б ∈ "R"}}, что равно р сам. Это согласуется с эмпирическим правилом, согласно которому чем больше идеал я, тем меньше кольцо частного р / я. Если я настоящий идеал р, т.е. я ≠ р, тогда р / я не нулевое кольцо.
Рассмотрим кольцо целые числа Z и идеал четные числа, обозначается 2Z. Тогда фактор-кольцо Z / 2Z имеет только два элемента, смежный класс 0+2Z состоящий из четных чисел и смежного класса 1+2Z состоящий из нечетных чисел; применяя определение, [z] = z + 2Z := {z + 2у: 2у ∈ 2Z}, где 2Z является идеалом четных чисел. Он естественно изоморфен конечное поле с двумя элементами, F₂. Интуитивно: если вы думаете обо всех четных числах как о 0, тогда каждое целое число равно либо 0 (если оно четное), либо 1 (если оно нечетное и поэтому отличается от четного числа на 1). Модульная арифметика существенно арифметичен в кольце частных Z / пZ (у которого есть п элементы).
Теперь рассмотрим кольцо р[Икс] из многочлены в переменной Икс с настоящий коэффициенты, а идеальный я = (Икс² + 1) состоящий из всех кратных полинома Икс² + 1. Факторное кольцо р[Икс] / (Икс² + 1) естественно изоморфно полю сложные числа C, с классом [Икс] играя роль мнимая единица я. Причина в том, что мы «заставили» Икс² + 1 = 0, т.е. Икс² = −1, что является определяющим свойством я.
Обобщая предыдущий пример, фактор-кольца часто используются для построения расширения полей. Предполагать K некоторые поле и ж является неприводимый многочлен в K[Икс]. потом L = K[Икс] / (ж) это поле, минимальный многочлен над K является ж, который содержит K а также элемент Икс = Икс + (ж).
Одним из важных примеров предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле F₃ = Z / 3Z с тремя элементами. Полином ж(Икс) = Икс² + 1 неприводимо над F₃ (поскольку у него нет корня), и мы можем построить факторкольцо F₃[Икс] / (ж). Это поле с 3² = 9 элементы, обозначаемые F₉. Остальные конечные поля могут быть построены аналогичным образом.
В координационные кольца из алгебраические многообразия являются важными примерами частных колец в алгебраическая геометрия. В качестве простого случая рассмотрим реальное разнообразие V = {(Икс, у) | Икс² = у³ } как подмножество реальной плоскости р². Кольцо действительных полиномиальных функций, определенных на V можно отождествить с кольцом частных р[Икс,Y] / (Икс² − Y³), а это координатное кольцо V. Разнообразие V теперь исследуется путем изучения его координатного кольца.
Предполагать M это C^∞-многообразие, и п это точка M. Рассмотрим кольцо р = C^∞(M) всех C^∞-функции, определенные на M и разреши я быть идеалом в р состоящий из этих функций ж которые тождественно равны нулю в некоторых район U из п (куда U может зависеть от ж). Тогда фактор-кольцо р / я кольцо микробы из C^∞-функции на M в п.
Рассмотрим кольцо F конечных элементов гиперреальное поле *р. Он состоит из всех гиперреалистических чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, или, что эквивалентно: всех гиперреальных чисел. Икс для которого стандартное целое число п с −п < Икс < п существуют. Набор я всех бесконечно малых чисел в *рвместе с 0 является идеалом в F, а факторкольцо F / я изоморфен действительным числам р. Изоморфизм индуцируется сопоставлением каждому элементу Икс из F то стандартная часть из Икс, т.е. уникальное действительное число, отличное от Икс бесконечно малым. Фактически получается тот же результат, а именно р, если начать с кольца F конечных гиперрациональных чисел (т.е.отношение пары гиперинтегры ), увидеть построение действительных чисел.

Альтернативные сложные самолеты

Факторы р[Икс] / (Икс), р[ИКС] / (Икс + 1), и р[Икс] / (Икс − 1) все изоморфны р и сначала не вызывают особого интереса. Но обратите внимание, что р[Икс] / (Икс²) называется двойной номер плоскость в геометрической алгебре. Он состоит только из линейных двучленов как "остатков" после сокращения элемента р[Икс] от Икс². Эта альтернативная комплексная плоскость возникает как подалгебра всякий раз, когда алгебра содержит реальная линия и нильпотентный.

Кроме того, кольцевой фактор р[Икс] / (Икс² − 1) действительно разделяется на р[Икс] / (Икс + 1) и р[Икс] / (Икс − 1), поэтому это кольцо часто рассматривается как прямая сумма р ⊕ рТем не менее, альтернативное комплексное число z = Икс + у j предлагается j как корень Икс² − 1, по сравнению с i как корень Икс² + 1 = 0. Этот самолет разделенные комплексные числа нормализует прямую сумму Р' ⊕ р обеспечивая основу {1, j} для 2-пространства, где единица алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. На этой основе гипербола единиц можно сравнить с единичный круг из обычная комплексная плоскость.

Кватернионы и альтернативы

Предполагать Икс и Y двое, не ходят на работу, неопределенный и сформировать свободная алгебра р⟨Икс, Y⟩. Тогда Гамильтон кватернионы 1843 года можно представить как

{ displaystyle mathbf {R} langle X, Y rangle / (X ^ {2} + 1, Y ^ {2} + 1, XY + YX).}

Если Y² − 1 заменяется на Y² + 1, то получается кольцо расщепленные кватернионы. Подставив минус на плюс в обе квадратичные биномы также приводят к расщепленным кватернионам. В антикоммутативное свойство YX = −XY подразумевает, что XY имеет площадь

(XY)(XY) = Икс(YX)Y = −Икс(XY)Y = −XXYY = −1.

Три типа бикватернионы также может быть записано в виде частных с помощью свободной алгебры с тремя неопределенными р⟨Икс, Y, Z⟩ И построение подходящих идеалов.

Характеристики

Очевидно, что если р это коммутативное кольцо, то так р / я; обратное, однако, в целом неверно.

Естественное факторное отображение п имеет я как его ядро; поскольку ядро каждого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов колец.

Тесную связь между гомоморфизмами колец, ядрами и факторкольцами можно резюмировать следующим образом: гомоморфизмы колец, определенные на R / I по существу такие же, как гомоморфизмы колец, определенные на R, которые обращаются в нуль (т. е. равны нулю) на I. Точнее, учитывая двусторонний идеал я в р и гомоморфизм колец ж : р → S чье ядро содержит я, существует ровно один гомоморфизм колец грамм : р / я → S с GP = ж (куда п - естественное фактор-отображение). Карта грамм здесь задается четко определенным правилом грамм([а]) = ж(а) для всех а в р. Действительно, это универсальная собственность можно использовать для определять фактор-кольца и их естественные фактор-отображения.

Как следствие вышесказанного, получаем основное утверждение: всякий гомоморфизм колец ж : р → S вызывает изоморфизм колец между частным кольцом р / кер (ж) и изображение im (ж). (Смотрите также: основная теорема о гомоморфизмах.)

Идеалы р и р / я тесно связаны: естественная карта частных обеспечивает биекция между двухсторонними идеалами р которые содержат я и двусторонние идеалы р / я (то же самое верно для левого и правого идеалов). Эта связь между двусторонним идеалом распространяется на отношения между соответствующими кольцами частных: если M двусторонний идеал в р который содержит я, и мы пишем M / я для соответствующего идеала в р / я (т.е. M / я = п(M)) факторкольца р / M и (р / я) / (M / я) естественно изоморфны посредством (корректно определенного!) отображения а + M ↦ (а + я) + M / я.

Следующие факты могут оказаться полезными в коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия: за р ≠ {0} коммутативный, р / я это поле если и только если я это максимальный идеал, в то время как р / я является область целостности если и только если я это главный идеал. Ряд подобных утверждений касается свойств идеального я свойствам факторкольца р / я.

В Китайская теорема об остатках заявляет, что если идеал я пересечение (или, что то же самое, произведение) попарных совмещать идеалы я₁, ..., я_k, то факторкольцо р / я изоморфен товар частных колец р / я_п, п = 1, ..., k.

Для алгебр над кольцом

An ассоциативная алгебра А через коммутативное кольцо р само кольцо. Если я идеал вА (закрыто р-умножение), то А / я наследует структуру алгебры надр и это фактор-алгебра.

Смотрите также

Примечания

^ Джейкобсон, Натан (1984). Структура колец (переработанная ред.). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5.
^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

Дальнейшие ссылки

Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe, переведенный Даром Уоллесом (1982) Модули и кольца, Академическая пресса, стр. 33.
Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы, §13 Кольца классов остатков, стр. 61, Математические монографии Каруса № 8, Математическая ассоциация Америки.
Джозеф Ротман (1998). Теория Галуа (2-е издание). Springer. С. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
Б.Л. ван дер Варден (1970) Алгебра, переведенный Фредом Блюмом и Джоном Р. Шуленбергером, издательство Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. Главу 3.5, «Идеалы. Кольца классов остатков», стр. 47–51.

внешняя ссылка

"Факторное кольцо", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Идеалы и фактор-кольца от Джона Бичи Абстрактная алгебра онлайн
"Факторное кольцо". PlanetMath.

[1] Джейкобсон, Натан (1984). Структура колец (переработанная ред.). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5.

[2] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.

[3] Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]

[3]