Фактор (универсальная алгебра) - Quotient (universal algebra)

О факторно-ассоциативных алгебрах над кольцом см. кольцо частного.

В математика, а фактор-алгебра это результат разделение элементы алгебраическая структура используя отношение конгруэнтности Квотенциальные алгебры также называются фактор-алгебры. Здесь отношение конгруэнтности должно быть отношение эквивалентности это дополнительно совместимый со всеми операции алгебры в формальном смысле, описанном ниже. классы эквивалентности разбивать элементы данной алгебраической структуры. Эти классы являются элементами фактор-алгебры, а условия совместимости используются для придания классам алгебраической структуры.^[1]

Идея фактор-алгебры сводит в одно общее понятие фактор-структуру кольца частных из теория колец, факторгруппы из теория групп, то факторпространства из линейная алгебра и модули частных из теория представлений в общую структуру.

Совместимое отношение

Позволять А - множество элементов алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, и разреши E - отношение эквивалентности на множестве А. Соотношение E как говорят совместимый с (или иметь замещающая собственность относительно) п-арная операция ж, если ${\displaystyle (a_{i},\;b_{i})\in E}$ за ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ подразумевает ${\displaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E}$ для любого ${\displaystyle a_{i},\;b_{i}\in A}$ с ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. Отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры, называется конгруэнцией относительно этой алгебры.

Фактор-алгебры и гомоморфизмы

Любое отношение эквивалентности E в комплекте А разделяет этот набор в классы эквивалентности. Множество этих классов эквивалентности обычно называют набор частных, и обозначил А/E. Для алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, несложно определить операции, индуцированные на элементах А/E если E это сравнение. Конкретно для любой операции ${\displaystyle f_{i}^{\mathcal {A}}}$ из арность ${\displaystyle n_{i}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (где верхний индекс просто означает, что это операция в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, а нижний индекс ${\displaystyle i\in I}$ перечисляет функции в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и их арности) определяют ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E}$ в качестве ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}}$, куда ${\displaystyle [x]_{E}\in A/E}$ обозначает класс эквивалентности ${\displaystyle x\in A}$ создано E ("Икс по модулюE").

Для алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$, учитывая конгруэнтность E на ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})}$ называется фактор-алгебра (или же факторная алгебра) из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ по модулю E. Есть естественный гомоморфизм из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ к ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E}$ отображение каждого элемента в его класс эквивалентности. Фактически каждый гомоморфизм час определяет отношение конгруэнтности через ядро гомоморфизма, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$.

Учитывая алгебру ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, гомоморфизм час тем самым определяет две алгебры, гомоморфные ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, то изображение час(${\displaystyle {\mathcal {A}}}$) и ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ Эти двое изоморфный, результат, известный как теорема о гомоморфном образе или как первая теорема об изоморфизме для универсальной алгебры. Формально пусть ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ быть сюръективный гомоморфизм. Тогда существует единственный изоморфизм грамм из ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ на ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ такой, что грамм составлен с естественным гомоморфизмом, индуцированным ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ равно час.

Решетка конгруэнтности

Для каждой алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ на съемочной площадке А, то отношение идентичности на A и ${\displaystyle A\times A}$ - тривиальные сравнения. Алгебра, не имеющая других сравнений, называется просто.

Позволять ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ - множество сравнений на алгебре ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Поскольку сравнения замкнуты относительно пересечения, мы можем определить встретить операцию: ${\displaystyle \wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ просто взяв пересечение сравнений ${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$.

С другой стороны, сравнения не закрываются при объединении. Однако мы можем определить закрытие любой бинарное отношение Eотносительно фиксированной алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, так что это сравнение, следующим образом: ${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}}$. Обратите внимание, что (конгруэнтное) замыкание бинарного отношения зависит от операций в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, а не только на несущей. Теперь определим ${\displaystyle \vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ в качестве ${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$.

Для каждой алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$ с двумя операциями, определенными выше, образует решетка, называется решетка конгруэнций из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Мальцевские условия

Если два сравнения переставлять (ездить) с состав отношений как операция, т.е. ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$, то их соединение (в решетке конгруэнций) равно их составу: ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$. Алгебра называется конгруэнтно-перестановочный если каждая пара его сравнений переставляет; аналогично разнообразие называется конгруэнтно-перестановочной, если все ее члены являются конгруэнтно-перестановочными алгебрами.

В 1954 г. Анатолий Мальцев установил следующую характеристику конгруэнтно-перестановочных многообразий: многообразие конгруэнтно перестановочно тогда и только тогда, когда существует тернарный член q(Икс, у, z) такой, что q(Икс, у, у) ≈ Икс ≈ q(у, у, Икс); это называется мальцевским членом, а многообразия с этим свойством - мальцевскими. Характеристика Мальцева объясняет большое количество схожих результатов в группах (возьмем q = ху⁻¹z), кольца, квазигруппы (брать q = (х / (у у)) (у г)), дополненные решетки, Гейтинговые алгебры и т.д. Кроме того, каждая конгруэнтно-перестановочная алгебра конгруэнтно-модулярна, т.е. ее решетка конгруэнций модульная решетка также; Однако обратное неверно.

После результата Мальцева другие исследователи нашли характеристики, основанные на условиях, аналогичных найденным Мальцевым, но для других видов свойств, например в 1967 г. Бьярни Йонссон нашли условия для многообразий, имеющих решетку конгруэнций, которые являются дистрибутивными (так называемые конгруэнтно-дистрибутивные многообразия). Обычно такие условия называются условиями Мальцева.

Это направление исследований привело к Алгоритм Пиксли – Вилле для генерации условий Мальцева, связанных с конгруэнтными тождествами.^[2]

Смотрите также

• Факторное кольцо
• Решетка сравнения
• Решетка подгрупп

Примечания

1. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре, пер. С русского издания (Москва, 1960), Челси, Нью-Йорк, 1963.
2. Кейт Кирнес; Эмиль В. Кисс (2013). Форма решеток конгруэнтности. American Mathematical Soc. п. 4. ISBN  978-0-8218-8323-5.

Рекомендации

• Клаус Денеке; Шелли Л. Висмат (2009). Универсальная алгебра и коалгебра. World Scientific. С. 14–17. ISBN  978-981-283-745-5.
• Пурна Чандра Бисвал (2005). Дискретная математика и теория графов. PHI Learning Pvt. ООО п. 215. ISBN  978-81-203-2721-4.
• Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы. CRC Press. С. 122–124, 137 (сорта Мальцева). ISBN  978-1-4398-5129-6.