Решетка сравнения - Congruence lattice problem

В математика, то задача решетки конгруэнций спрашивает, все ли алгебраические распределительная решетка является изоморфный к решетка конгруэнций какой-то другой решетки. Проблема была поставлена Роберт П. Дилворт, и в течение многих лет это была одна из самых известных и давних открытых проблем в теория решетки; он оказал глубокое влияние на развитие самой теории решетки. Гипотеза о том, что каждая дистрибутивная решетка является решеткой конгруэнций, верна для всех дистрибутивных решеток с не более чем ℵ₁ компактные элементы, но Ф. Верунг привел контрпример для дистрибутивных решеток с ℵ₂ компактные элементы с использованием конструкции на основе Теорема Куратовского о свободном множестве.

Предварительные мероприятия

Обозначим через Con А решетка конгруэнции алгебра А, это решетка из всех совпадения из А при включении.

Ниже приводится универсально-алгебраический банальность. В нем говорится, что для сравнения конечная порожденность является свойством теории решетки.

Лемма.Конгруэнтность алгебра А конечно порождена тогда и только тогда, когда это компактный элемент Con А.

Поскольку каждая конгруэнция алгебры является объединением конечно порожденных конгруэнций под ней (например, каждое подмодуль из модуль является объединением всех его конечно порожденных подмодулей), мы получаем следующий результат, впервые опубликованный Биркгофом и Фринком в 1948 г.

Теорема (Биркгоф, Фринк, 1948).Решетка конгруэнций Con А любой алгебры А является алгебраическая решетка.

В то время как сравнения решеток что-то теряют по сравнению с группы, модули, кольца (их нельзя отождествить с подмножества Вселенной), они также обладают уникальным свойством среди всех других структур, которые когда-либо встречались.

Теорема (Фунаяма и Накаяма, 1942).Решетка конгруэнций любой решетки есть распределительный.

Это означает, что α ∧ (β ∨ γ) = (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) для любых конгруэнций α, β и γ данной решетки. Аналог этого результата не работает, например, для модулей, поскольку ${displaystyle Acap (B + C) eq (Acap B) + (Acap C)}$ , как правило, для подмодули А, B, C данного модуль.

Вскоре после этого результата Дилворт доказал следующий результат. Он не публиковал результат, но он выглядит как упражнение, приписываемое ему в Birkhoff 1948. Первое опубликованное доказательство есть у Grätzer and Schmidt 1962.

Теорема (Дилворт ≈1940, Гретцер, Шмидт 1962).Каждая конечная дистрибутивная решетка изоморфна решетке конгруэнций некоторой конечной решетки.

Важно отметить, что решетка решений, найденная в доказательстве Гретцера и Шмидта, имеет вид секционно дополненный, то есть имеет наименьший элемент (верно для любой конечной решетки) и для всех элементов а ≤ б существует элемент Икс с а ∨ Икс = б и а ∧ Икс = 0. Также именно в этой статье CLP впервые заявлен в опубликованной форме, хотя кажется, что самые ранние попытки CLP были предприняты самим Дилвортом. Решеткам конгруэнции конечных решеток было уделено огромное внимание, для чего можно найти ссылку в монографии Гретцера 2005 года.

Задача решетки конгруэнций (CLP):Всякая ли дистрибутивная алгебраическая решетка изоморфна решетке конгруэнций некоторой решетки?

Проблема CLP была одной из самых интересных и давно существующих открытых проблем теории решеток. Некоторые связанные результаты универсальной алгебры следующие.

Теорема (Гретцер, Шмидт, 1963).Каждая алгебраическая решетка изоморфна решетке конгруэнций некоторой алгебры.

Решетка Sub V всех подпространств a векторное пространство V безусловно, является алгебраической решеткой. Как показывает следующий результат, эти алгебраические решетки трудно представить.

Теорема (Фриз, Лампе и Тейлор, 1979).Позволять V - бесконечномерное векторное пространство над бесчисленный поле F. Тогда Con А изоморфен Sub V подразумевает, что А есть хотя бы карта F операций для любой алгебры А.

В качестве V бесконечномерно, наибольший элемент (единица измерения) из Sub V не компактный. Как бы безобидно это ни звучало, допущение о компактности единицы является существенным в формулировке приведенного выше результата, что демонстрируется следующим результатом.

Теорема (Лампе, 1982).Всякая алгебраическая решетка с компактной единицей изоморфна решетке конгруэнций некоторого группоид.

Полурешеточная формулировка CLP

Решетка конгруэнций Con А из алгебра А является алгебраическая решетка. (∨, 0) -полурешетка из компактные элементы Con А обозначается Con_c А, и его иногда называют полурешетка конгруэнций из А. Тогда Con А изоморфен идеальная решетка Con_c А. Используя классический эквивалентность между категорией всех (∨, 0) -полурешеток и категорией всех алгебраических решеток (с подходящими определениями морфизмы ), как намечено здесь, мы получаем следующую теоретико-полурешеточную формулировку CLP.

Теоретико-полурешеточная формулировка CLP:Каждый распределительный (∨, 0) -полурешетка, изоморфная полурешетке конгруэнций некоторой решетки?

Скажем, что дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка есть представимый, если он изоморфен Con_c L, для некоторой решетки L. Итак, CLP спрашивает, представима ли всякая дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка.

Многие исследования по этой проблеме включают: диаграммы полурешеток или алгебр. Наиболее полезный фольклорный результат об этом заключается в следующем.

Теорема.Функтор Con_c, определенный на всех алгебрах данного подпись, ко всем (∨, 0) -полурешеткам, сохраняет прямые ограничения.

Подход Шмидта через дистрибутивные гомоморфизмы соединения

Мы говорим, что (∨, 0) -полурешетка удовлетворяет Условие Шмидта, если он изоморфен частному обобщенная булева полурешетка B под некоторыми распределительное соединение-конгруэнтность из B. Один из наиболее глубоких результатов о представимости (∨, 0) -полурешеток состоит в следующем.

Теорема (Шмидт, 1968).Любая (∨, 0) -полурешетка, удовлетворяющая условию Шмидта, представима.

Это вызвало следующую проблему, изложенную в той же статье.

Проблема 1 (Шмидт 1968).Удовлетворяет ли какая-либо (∨, 0) -полурешетка условию Шмидта?

Частично положительные ответы следующие.

Теорема (Шмидт, 1981).Каждый дистрибутив решетка с нулем удовлетворяет условию Шмидта; таким образом это представимо.

Этот результат был дополнительно улучшен следующим образом: через очень длинное и техническое доказательство с использованием моделей принуждения и булевых значений.

Теорема (Wehrung 2003).Каждый прямой предел счетной последовательности распределительных решетки с нулем и (∨, 0) -гомоморфизмами представима.

Другие важные результаты представимости связаны с мощность полурешетки. Следующий результат был подготовлен к публикации Доббертином после кончины Хуна в 1985 году. Две соответствующие статьи были опубликованы в 1989 году.

Теорема (Хун, 1985). Всякая дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка мощности не выше ℵ₁ удовлетворяет условию Шмидта. Таким образом, это представимо.

Доббертин разными методами получил следующий результат.

Теорема (Доббертин, 1986).Каждая дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка, в которой каждый главный идеальный самое большее счетный представимо.

Проблема 2 (Доббертин, 1983). Каждый коническое измельчение моноид измеримый ?

Подход Пудлака; диаграммы подъема (∨, 0) -полурешеток

Подход CLP, предложенный Пудлаком в его статье 1985 года, отличается. Он основан на следующем результате, Факт 4, с. 100 в статье Пудлака 1985 г., полученной ранее Ю.Л. Ершова в качестве основной теоремы в разделе 3 введения его монографии 1977 г.

Теорема (Ершов 1977, Пудлак 1985).Каждая дистрибутивная (, 0) -полурешетка является направленным объединением своих конечных дистрибутивных (, 0) -полурешеток.

Это означает, что каждое конечное подмножество дистрибутивной (∨, 0) -полурешетки S содержится в некотором конечном распределительный (∨, 0) -полурешетка S. Теперь мы пытаемся представить данную дистрибутивную (∨, 0) -полурешетку S как Con_c L, для некоторой решетки L. Письмо S как направленный союз ${displaystyle S = igcup (S_ {i} mid iin I)}$ конечных дистрибутивных (∨, 0) -подрешеток, мы надеясь представлять каждый S_я как решетка конгруэнций решетки L_я с решеточными гомоморфизмами ж_я^j : L_я→ L_j, за я ≤ j в я, такая, что диаграмма ${displaystyle {mathcal {S}}}$ из всех S_я со всеми картами включения S_я→ S_j, за я ≤ j в я, является естественно эквивалентный к ${displaystyle (mathrm {Con_ {c}}, L_ {i}, mathrm {Con_ {c}}, f_ {i} ^ {j} mid ileq j {ext {in}} I)}$ , мы говорим, что диаграмма ${displaystyle (L_ {i}, f_ {i} ^ {j} mid ileq j {ext {in}} I)}$ лифты ${displaystyle {mathcal {S}}}$ (относительно Con_c функтор). Если это можно сделать, то, как мы видели, Con_c функтор сохраняет прямые пределы, прямой предел ${displaystyle L = varinjlim _ {iin I} L_ {i}}$ удовлетворяет ${displaystyle {m {Con_ {c}}}, Lcong S}$ .

Хотя вопрос о том, можно ли это сделать в целом, оставался открытым около 20 лет, Пудлак смог доказать это для дистрибьюторов. решетки с нулем, тем самым расширяя один из результатов Шмидта, предоставляя функториальный решение.

Теорема (Пудлак, 1985).Существует прямой функтор Φ, сохраняющий пределы, от категории всех дистрибутивных решеток с нулевыми и 0-решеточными вложениями до категории всех решеток с нулевыми и 0-решеточными вложениями такой, что Con_cΦ есть естественно эквивалентный к личности. Кроме того, Φ (S) является конечным атомистическая решетка, для любой конечной дистрибутивной (∨, 0) -полурешетки S.

Этот результат дополнительно улучшается за счет еще более сложной конструкции, чтобы локально конечные, секционно дополняемые модульные решетки Ружичкой в 2004 и 2006 годах.

В 1985 году Пудлак спросил, можно ли распространить его результат выше на всю категорию дистрибутивных (, 0) -полурешеток с (∨, 0) -вложениями. Проблема оставалась открытой до тех пор, пока не была решена недавно Томой и Верунгом.

Теорема (Tma, Wehrung, 2006).Существует диаграмма D конечных булевых (, 0) -полурешеток и (∨, 0,1) -вложений, индексированных конечным частично упорядоченным множеством, которые не могут быть подняты, относительно Con_c функтором любой диаграммой решеток и решеточных гомоморфизмов.

В частности, это сразу означает, что в CLP нет функториальный Кроме того, это следует из глубоких результатов универсальной алгебры 1998 г. Кернса и Szendrei в так называемом коммутаторная теория многообразий что приведенный выше результат можно распространить с многообразия всех решеток на любое многообразие ${displaystyle {mathcal {V}}}$ так что все Con А, за ${displaystyle Ain {mathcal {V}}}$ , удовлетворяют фиксированному нетривиальному тождеству в сигнатуре (∨, ∧) (короче говоря, с нетривиальным тождеством конгруэнтности).

Мы также должны упомянуть, что многие попытки CLP также были основаны на следующем результате, впервые доказанном Булман-Флемингом и МакДауэллом в 1978 году с использованием категорического результата Шеннона 1974 года; прямой аргумент см. Также у Гудерла и Верунга в 2001 году.

Теорема (Булман-Флеминг и Макдауэлл, 1978).Всякая дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка является прямым пределом конечных Булево (∨, 0) -полурешетки и (∨, 0) -гомоморфизмы.

Следует отметить, что хотя гомоморфизмы переходов, используемые в теореме Ершова-Пудлака, являются (∨, 0) -встраиваемыми, гомоморфизмы переходов, использованные в приведенном выше результате, не обязательно взаимно однозначны, например, когда кто-то пытается представить трехэлементная цепочка. Практически это не вызывает особых затруднений и позволяет доказать следующие результаты.

Теорема.Всякая дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка мощности не выше ℵ₁ изоморфен

(1) Con_c L, для некоторой локально конечной относительно дополняемой модулярной решетки L (Tůma 1998 и Grätzer, Lakser, and Wehrung 2000).

(2) Полурешетка конечно порожденных двусторонних идеалов некоторого (не обязательно с единицей) регулярного кольца фон Неймана (Wehrung 2000).

(3) Con_c L, для некоторой секционно-дополняемой модульной решетки L (Wehrung 2000).

(4) Полурешетка конечно порожденных нормальные подгруппы некоторых локально конечная группа (Ržička, Tůma, and Wehrung, 2006).

(5) Решетка подмодулей некоторого правого модуля над (некоммутативным) кольцом (Růžička, Tůma, and Wehrung, 2006).

Решетки конгруэнции решеток и нестабильная K-теория регулярных колец фон Неймана

Напомним, что для (единичной, ассоциативной) звенеть р, обозначим через V (R) (конический, коммутативный) моноид классов изоморфизма конечно порожденного проективного права р-модули, см. здесь Больше подробностей. Напомним, что если р фон Нойман регулярный, тогда V (R) это моноид уточнения. Обозначим Id_c р (∨, 0) -полурешетка конечно порожденных двусторонние идеалы из р. Обозначим через L (R) решетка всех главных правых идеалов регулярного кольца фон Неймана р. Хорошо известно, что L (R) это дополнен модульная решетка.

Следующий результат наблюдал Верунг, опираясь в основном на более ранние работы Йонссона и Гудеарла.

Теорема (Wehrung 1999).Позволять р - регулярное кольцо фон Неймана. Тогда (∨, 0) -полурешетки Id_c р и Con_c L (R) оба изоморфны максимальный фактор полурешетки из V (R).

Бергман доказывает в известной неопубликованной заметке 1986 г., что любая не более чем счетная дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка изоморфна Id_c р, для некоторых местный матричный звенеть р (над любым заданным полем). Этот результат распространяется на полурешетки мощности не выше₁ в 2000 г. по Wehrung, сохраняя только регулярность р (кольцо, построенное по доказательству, не является локально матричным). Вопрос в том, р можно было бы взять локально матричный в ℵ₁ Некоторое время случай оставался открытым, пока он не был опровергнут Верунгом в 2004 году. Возвращаясь к решеточному миру, используя приведенную выше теорему и используя теоретико-решеточный аналог теории V (R) строительство, названное моноид размерности, введенная Верунгом в 1998 г., дает следующий результат.

Теорема (Wehrung 2004).Существует дистрибутивная (∨, 0,1) -полурешетка мощности ℵ₁ который не изоморфен Con_c L, для любой модульной решетки L каждая конечно порожденная подрешетка которой имеет конечную длину.

Проблема 3 (Goodearl 1991). Положительный конус любого группа измерений с заказная единица изоморфен V (R), для некоторого регулярного кольца фон Неймана р?

Первое применение теоремы Куратовского о свободном множестве

Вышеупомянутая проблема 1 (Шмидт), проблема 2 (Доббертин) и проблема 3 (Гударл) были решены одновременно отрицательно в 1998 году.

Теорема (Wehrung 1998).Существует векторное пространство размерности грамм над рациональностью с заказная единица чей положительный конус грамм⁺ не изоморфен V (R), для любого регулярного кольца фон Неймана р, и не измеримый в смысле Доббертина. Кроме того, максимальный фактор полурешетки из грамм⁺ не удовлетворяет условию Шмидта. Более того, грамм можно взять любую заданную мощность, большую или равную ℵ₂.

Из ранее упомянутых работ Шмидта, Хуна, Доббертина, Гудерла и Гендельмана следует, что₂ оценка оптимальна во всех трех приведенных выше отрицательных результатах.

Как ℵ₂ граница предполагает, что речь идет о бесконечной комбинаторике. Используемый принцип Теорема Куратовского о свободном множестве, впервые опубликовано в 1951 году. Только корпус п = 2 здесь используется.

Полурешеточная часть полученного выше результата достигается через бесконечное теоретико-полурешеточное утверждение URP (Единообразное свойство уточнения). Если мы хотим опровергнуть проблему Шмидта, идея состоит в том, чтобы (1) доказать, что любая обобщенная булева полурешетка удовлетворяет URP (что легко), (2) что URP сохраняется при гомоморфном образе при слабо дистрибутивном гомоморфизме (что также легко) , и (3) существует дистрибутивная (∨, 0) -полурешетка мощности₂ это не удовлетворяет URP (что сложно и использует теорему Куратовского о свободном множестве).

Схематично конструкция из приведенной выше теоремы может быть описана следующим образом. Для множества Ω рассмотрим частично упорядоченное векторное пространство E (Ом) определяемые генераторами 1 и а_{я, х}, за я <2 и Икс в Ω и соотношениями а_{0, х}+ а_{1, х}=1, а_{0, х} ≥ 0, и а_{1, х} ≥ 0, для любого Икс в Ω. Используя сколемизацию теории групп размерностей, мы можем вложить E (Ом) функционально в векторное пространство размерности F (Ом). Контрпример в векторном пространстве из приведенной выше теоремы имеет вид G = F (Ом), для любого множества Ω не менее₂ элементы.

Этот контрпример был впоследствии преобразован Площицей и Тумой в прямую полурешеточную конструкцию. Для (∨, 0) -полурешетки большая полурешетка R (S) представляет собой (∨, 0) -полурешетку, свободно порожденную новыми элементами т (а, б, в), за а, б, в в S такой, что с ≤ а ∨ б, подчиненный единственному отношению c = t (a, b, c) ∨ t (b, a, c) и t (a, b, c) ≤ a. Итерирование этой конструкции дает бесплатное расширение дистрибутива ${displaystyle D (S) = igcup (R ^ {n} (S) mid n$ из S. Пусть теперь для множества Ω L (Ом) - (∨, 0) -полурешетка, определяемая образующими 1 и а_{я, х}, за я <2 и Икс в Ω и соотношениями а_{0, х} ∨ а_{1, х}=1, для любого Икс в Ω. Наконец, положим G (Ω) = D (L (Ω)).

В большинстве родственных работ следующие свойство равномерной очистки используется. Это модификация модели, представленной Wehrung в 1998 и 1999 годах.

Определение (Ploščica, Tůma, and Wehrung, 1998).Позволять е - элемент в (∨, 0) -полурешетке S. Мы говорим, что свойство слабого равномерного измельчения WURP держится на е, если для всех семей ${displaystyle (a_ {i}) _ {iin I}}$ и ${displaystyle (b_ {i}) _ {iin I}}$ элементов в S такой, что а_я ∨ б_я= e для всех я в я, есть семья ${displaystyle (c_ {i, j} mid (i, j) во время I)}$ элементов S такие, что отношения

• c_{я, j} ≤ а_я, б_j,

• c_{я, j} ∨ а_j ∨ б_я= e,

• c_{я, к} ≤ c_{я, j}∨ c_{j, k}

держать для всех я, j, k в я. Мы говорим что S удовлетворяет WURP, если WURP выполняется в каждом элементе S.

Основываясь на вышеупомянутой работе Верунга о векторных пространствах размерности, Площица и Тума доказали, что WURP не выполняется в G (Ом), для любого множества Ω мощности не менее ℵ₂. Следовательно G (Ом) не удовлетворяет условию Шмидта. Все отрицательные результаты репрезентации, упомянутые здесь, всегда используют некоторые свойство равномерной очистки, в том числе первый о векторных пространствах размерности.

Однако полурешетки, использованные в этих отрицательных результатах, относительно сложны. Следующий результат, доказанный Площицей, Тумой и Верунгом в 1998 г., более поразителен, потому что он показывает примеры представимый полурешетки, не удовлетворяющие условию Шмидта. Обозначим через F_V(Ω) свободная решетка на Ω в V, для любого сорта V решеток.

Теорема (Ploščica, Tůma, and Wehrung, 1998).Полурешетка Con_c F_V(Ω) не удовлетворяет WURP для любого множества Ω мощности не менее₂ и любой нераспространяемый сорт V решеток. Следовательно, Con_c F_V(Ω) не удовлетворяет условию Шмидта.

В 2001 году Тома и Верунг доказали, что Con_c F_V(Ω) не изоморфна Con_c L, для любой решетки L с взаимозаменяемые конгруэнции. Используя небольшое ослабление WURP, этот результат распространяется на произвольные алгебры с перестановочными конгруэнциями, выполненными Ружичкой, Тумой и Верунгом в 2006 г. Следовательно, например, если Ω имеет не менее₂ элементов, то Con_c F_V(Ω) не изоморфна решетке нормальных подгрупп любой группы или решетке подмодулей любого модуля.

Решение CLP: лемма об эрозии

Следующая недавняя теорема решает CLP.

Теорема (Wehrung 2007).Полурешетка G (Ом) не изоморфна Con_c L для любой решетки L, если множество Ω имеет не менее ℵ_{ω + 1} элементы.

Следовательно, контрпример к CLP был известен почти десять лет, просто никто не знал, почему он работал! Во всех результатах, предшествующих теореме выше, использовалась некоторая форма перестановочности сравнений. Трудность заключалась в том, чтобы найти достаточную структуру в решетках конгруэнций неконгруэнтно-перестановочных решеток.

Обозначим через ε `` функцию четности '' на натуральных числах, т. Е. Ε (п)=п mod 2, для любого натурального числа п.

Мы позволяем L быть алгебра имеющий структуру полурешетки (L, ∨) такие, что каждое сравнение L также является сравнением для операции. Ставим

{displaystyle Uvee V = {uvee vmid (u, v) в U imes V}, quad {ext {для всех}} U, Vsubseteq L,}

и обозначим через Con_c^U L (∨, 0) -полурешетка в Con_c L порожденные всеми главными конгруэнциями Θ (ты,v) (= наименьшая конгруэнтность L это определяет ты и v), куда (ты,v) принадлежит U ×U. Положим Θ⁺(ты,v) = Θ (u ∨ v,v), для всех u, v в L.br />

Лемма об эрозии (Wehrung 2007).Позволять Икс₀, Икс₁ в L и разреши ${displaystyle Z = {z_ {0}, z_ {1}, dots, z_ {n}}}$ , для положительного целого числа п, - конечное подмножество L с ${displaystyle igvee _ {я$ . Положить

{displaystyle alpha _ {j} = igvee (Theta _ {L} (z_ {i}, z_ {i + 1}) mid i

Тогда есть сравнения ${displaystyle heta _ {j} в математике {Con_ {c}} ^ {{x_ {j}} vee Z} L}$ , за j <2, так что

{displaystyle z_ {0} vee x_ ​​{0} vee x_ ​​{1} Equiv z_ {n} vee x_ ​​{0} vee x_ ​​{1} {pmod {heta _ {0} vee heta _ {1}}} quad {ext {and}} quad heta _ {j} subteq alpha _ {j} cap Theta _ {L} ^ {+} (z_ {n}, x_ {j}), {ext {для всех}} j <2.}

(Обратите внимание на слабое формальное сходство с разрешение первого порядка в математической логике. Можно ли продолжить эту аналогию?)

Доказательство приведенной выше теоремы проводится с использованием структура теорема для решеток конгруэнций полурешеток, а именно, лемма об эрозии против неструктурный теоремы для свободных дистрибутивных расширений G (Ом), главный из которых называется Лемма об испарении.. Хотя последние технически сложны, они в некотором смысле предсказуемы. Напротив, доказательство леммы об эрозии элементарно и легко, поэтому, вероятно, странность ее утверждения объясняет, что она так долго скрывалась.

Более того, фактически доказано в приведенной выше теореме: Для любой алгебры L с конгруэнц-согласованной структурой джойн-полурешетки с единицей и для любого множества Ω с не менее_{ω + 1} элементов, не существует слабо дистрибутивного гомоморфизма μ: Con_c L → G (Ω), содержащую 1 в своем диапазоне. В частности, CLP была, в конце концов, проблемой не теории решетки, а скорее универсальная алгебра … Даже более конкретно, теория полурешетки! Эти результаты также можно перевести в свойство равномерной очистки, обозначенный как CLR в статье Верунга, в которой представлено решение CLP, которое заметно сложнее WURP.

Наконец, оценка мощности ℵ_{ω + 1} улучшена до оптимальной оценки ℵ₂ пользователя Růžička.

Теорема (Ружичка, 2008).Полурешетка G (Ом) не изоморфна Con_c L для любой решетки L, если множество Ω имеет не менее ℵ₂ элементы.

Доказательство Ружички следует основным принципам доказательства Верунга, за исключением того, что оно вводит усиление Теорема Куратовского о свободном множестве, называется там наличие свободных деревьев, который он использует в последнем аргументе, связанном с леммой об эрозии.

Положительный результат о представлении дистрибутивных полурешеток

Доказательство отрицательного решения для CLP показывает, что проблема представления дистрибутивных полурешеток компактными конгруэнциями решеток возникает уже для решеток конгруэнций полурешетки. Вопрос, является ли структура частично заказанный набор вызовет аналогичные проблемы, отвечает следующий результат.

Теорема (Wehrung, 2008). Для любой дистрибутивной (∨, 0) -полурешетки S, существует (∧, 0) -полурешетка п и карту μ: п × п → S такое, что выполняются следующие условия:

(1) Икс ≤ у следует, что μ (Икс,у) = 0 для всех Икс, у в п.

(2) μ (Икс,z) ≤ μ (Икс,у) ∨ μ (у,z), для всех Икс, у, z в п.

(3) Для всех Икс ≥ у в п и все α, β в S такое, что μ (Икс,у) ≤ α ∨ β, существует натуральное число п и элементы Икс=z₀ ≥ z₁ ≥ ... ≥ z_2п=у такое, что μ (z_я,z_{я + 1}) ≤ α (соответственно μ (z_я,z_{я + 1}) ≤ β) всякий раз, когда я < 2п четное (соотв. нечетное).

(4) S порождается как джойн-полурешётка всеми элементами вида μ (Икс, 0), для Икс в п.

Кроме того, если S имеет самый большой элемент, то п можно считать решеткой с наибольшим элементом.

Нетрудно проверить, что из условий (1) - (4) выше следует дистрибутивность S, поэтому результат выше дает характеристика дистрибутивности для (∨, 0) -полурешеток.