Теорема Куратовского о свободном множестве - Kuratowskis free set theorem - Wikipedia

Теорема Куратовского о свободном множестве, названный в честь Казимеж Куратовски, является результатом теория множеств, площадь математика. Это результат, о котором почти 50 лет забыли, но который недавно был применен при решении нескольких теория решетки проблемы, такие как задача решетки конгруэнций.

Обозначим через ${\displaystyle [X]^{<\omega }}$ то набор из всех конечные подмножества набора ${\displaystyle X}$. Точно так же для положительное число ${\displaystyle n}$, обозначим через ${\displaystyle [X]^{n}}$ набор всех ${\displaystyle n}$-элементы подмножества ${\displaystyle X}$. Для отображение ${\displaystyle \Phi \colon [X]^{n}\to [X]^{<\omega }}$, мы говорим, что подмножество ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle X}$ является свободный (относительно ${\displaystyle \Phi }$), если для любого ${\displaystyle n}$-элементное подмножество ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle U}$ и любой ${\displaystyle u\in U\setminus V}$, ${\displaystyle u\notin \Phi (V)}$. Куратовски опубликовал в 1951 г. следующий результат, характеризующий бесконечный кардиналы формы ${\displaystyle \aleph _{n}}$.

Теорема утверждает следующее. Позволять ${\displaystyle n}$ - натуральное число и пусть ${\displaystyle X}$ быть набором. Тогда мощность из ${\displaystyle X}$ Больше или равно ${\displaystyle \aleph _{n}}$ тогда и только тогда, когда для каждого отображения ${\displaystyle \Phi }$ из ${\displaystyle [X]^{n}}$ к ${\displaystyle [X]^{<\omega }}$, существует ${\displaystyle (n+1)}$-элементное свободное подмножество ${\displaystyle X}$ относительно ${\displaystyle \Phi }$.

За ${\displaystyle n=1}$, Теорема Куратовского о свободном множестве заменяется Теорема Хайнала об отображении множеств.

Рекомендации

• П. Эрдёш, А. Хайнал, Приятель, Р. Радо: Комбинаторная теория множеств: отношения распределения для кардиналов, Северная Голландия, 1984, стр. 282–285.
• К. Куратовски, Sur une caractérisation des alephs, Фонд. Математика. 38 (1951), 14–17.
• Джон К. Симмс (1991) "Теорема Серпинского", Саймон Стевин 65: 69–163.