Диаграмма (теория категорий) - Diagram (category theory)

В теория категорий, филиал математика, а диаграмма является категорическим аналогом индексированная семья в теория множеств. Основное отличие состоит в том, что в категориальной обстановке морфизмы которые также нуждаются в индексации. Проиндексированное семейство наборов - это набор наборов, индексированных фиксированным набором; эквивалентно, a функция из фиксированного индекса набор в класс наборы. Диаграмма - это набор объектов и морфизмов, индексированных фиксированной категорией; эквивалентно, a функтор из фиксированного индекса категория некоторым категория.

Универсальным функтором диаграммы является диагональный функтор; его правый смежный это предел диаграммы и ее левый сопряженный - копредел.^[1] В естественная трансформация от диагонального функтора к произвольной диаграмме называется конус.

Определение

Формально диаграмма типа J в категория C это (ковариантный ) функтор

D : J → С.

Категория J называется категория индекса или схема диаграммы D; функтор иногда называют J-образная диаграмма.^[2] Актуальные объекты и морфизмы в J в значительной степени неактуальны; имеет значение только то, как они взаимосвязаны. Диаграмма D рассматривается как индексация коллекции объектов и морфизмов в C по образцу J.

Хотя технически разницы между индивидуальным диаграмма и функтор или между схема и категорияизменение терминологии отражает изменение перспективы, как и в теоретико-множественном случае: фиксируется индексная категория и разрешается изменяться функтору (и, во-вторых, целевой категории).

Чаще всего интересует случай, когда схема J это маленький или даже конечный категория. Диаграмма называется маленький или конечный всякий раз, когда J является.

Морфизм диаграмм типа J в категории C это естественная трансформация между функторами. Тогда можно интерпретировать категория диаграмм типа J в C как категория функторов C^J, и тогда диаграмма является объектом этой категории.

Примеры

Учитывая любой объект А в C, у одного есть постоянная диаграмма, которая представляет собой диаграмму, отображающую все объекты в J к А, и все морфизмы J к морфизму тождества на А. Условно для обозначения диаграммы констант часто используется символ подчеркивания: таким образом, для любого объекта ${displaystyle A}$ в C, имеется постоянная диаграмма ${displaystyle {underline {A}}}$ .
Если J это (маленький) дискретная категория, то диаграмма типа J по сути, просто индексированная семья объектов в C (проиндексировано J). При использовании в строительстве предел, в результате товар; для копредела получается сопродукт. Так, например, когда J дискретная категория с двумя объектами, конечный предел - это просто двоичное произведение.
Если J = −1 ← 0 → +1, то диаграмма типа J (А ← B → C) это размах, а его копредел - выталкивание. Если «забыть», что у диаграммы был объект B и две стрелки B → А, B → C, результирующая диаграмма будет просто дискретной категорией с двумя объектами А и C, а копредел будет просто двоичным копроизведением. Таким образом, этот пример показывает важный способ, которым идея диаграммы обобщает идею набор индексов в теории множеств: включив морфизмы B → А, B → C, можно обнаружить дополнительную структуру в конструкциях, построенных на основе диаграммы, структуру, которая не была бы очевидной, если бы у вас был только набор индексов без каких-либо связей между объектами в индексе.
Двойной к вышеизложенному, если J = −1 → 0 ← +1, то диаграмма типа J (А → B ← C) это cospan, а его предел - откат.
Индекс ${displaystyle J = 0ightrightarrows 1}$ называется «двумя параллельными морфизмами», или иногда бесплатный колчан или ходячий колчан. Схема типа ${displaystyle J}$ ${displaystyle (f, gcolon X o Y)}$ тогда колчан; его предел - это эквалайзер, а его копредел - коэквалайзер.
Если J это категория poset, то диаграмма типа J это семейство объектов D_я вместе с уникальным морфизмом ж_ij : D_я → D_j всякий раз, когда я ≤ j. Если J является направленный тогда диаграмма типа J называется прямая система объектов и морфизмов. Если диаграмма контравариантный тогда это называется обратная система.

Конусы и пределы

А конус с вершиной N диаграммы D : J → C является морфизмом постоянной диаграммы Δ (N) к D. Постоянная диаграмма - это диаграмма, которая отправляет каждый объект J к объекту N из C и каждый морфизм к морфизму идентичности на N.

В предел диаграммы D это универсальный конус к D. То есть конус, через который все остальные конусы однозначно влияют. Если ограничение существует в категории C для всех схем типа J получается функтор

lim: C^J → C

который доводит каждую диаграмму до предела.

Вдвойне копредел диаграммы D универсальный конус из D. Если копредел существует для всех диаграмм типа J у одного есть функтор

colim: C^J → C

который отправляет каждую диаграмму в ее копредел.

Коммутативные диаграммы

Диаграммы и категории функторов часто визуализируются коммутативные диаграммы, особенно если индексная категория является конечной категория poset с несколькими элементами: один рисует коммутативную диаграмму с узлом для каждого объекта в индексной категории и стрелкой для порождающего набора морфизмов, опуская тождественные карты и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции. Коммутативность соответствует уникальности карты между двумя объектами в категории poset. И наоборот, каждая коммутативная диаграмма представляет собой диаграмму (функтор из категории индексов чугуна) таким образом.

Не каждая диаграмма коммутирует, поскольку не каждая индексная категория является категорией poset: проще всего диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ${displaystyle fcolon X o X}$ ), или двумя параллельными стрелками ( ${displaystyle ullet ightrightarrows ullet}$ ; ${displaystyle f, gcolon X o Y}$ ) не нужно ездить на работу. Кроме того, диаграммы могут быть невозможными (потому что они бесконечны) или просто беспорядочными (из-за слишком большого количества объектов или морфизмов); однако схематические коммутативные диаграммы (для подкатегорий индексной категории или с эллипсами, например, для ориентированной системы) используются для пояснения таких сложных диаграмм.

Смотрите также

использованная литература

^ Мак Лейн, Сондерс; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике - первое введение в теорию топосов. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.20 –23. ISBN 9780387977102.
^ Мэй, Дж. П. (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN 0-226-51183-9.

Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Теперь доступна бесплатная онлайн-версия (4,2 МБ в формате PDF).
Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (2002). Топосы, тройки и теории (PDF). ISBN 0-387-96115-1. Доработанная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
диаграмма в nLab

внешние ссылки

Диаграмма Погоня в MathWorld
WildCats пакет теории категорий для Mathematica. Манипуляция и визуализация объектов, морфизмы, коммутативные диаграммы, категории, функторы, естественные преобразования.

[1] Мак Лейн, Сондерс; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике - первое введение в теорию топосов. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.20 –23. ISBN 9780387977102.

[2] Мэй, Дж. П. (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN 0-226-51183-9.

[1]

[2]