Откат (теория категорий) - Pullback (category theory)

В теория категорий, филиал математика, а откат (также называемый волокнистый продукт, волокнистый продукт, волокнистый продукт или же Декартов квадрат) это предел из диаграмма состоящий из двух морфизмы $ж : Икс \to Z$ и $грамм : Y \to Z$ с общим кодоменом. Часто пишут откат

п = Икс \times Z Y

и имеет два естественных морфизма $п \to Икс$ и $п \to Y$ . Возврат двух морфизмов $ж$ и $грамм$ может не существовать, но если и существует, то по существу однозначно определяется двумя морфизмами. Во многих ситуациях $Икс \times Z Y$ можно интуитивно представить как состоящий из пар элементов $(Икс, у)$ с $Икс$ в $Икс$ , $у$ в $Y$ , и $ж (Икс) = грамм (у)$ . Для общего определения a универсальная собственность используется, что по существу выражает тот факт, что откат - это «самый общий» способ дополнить два данных морфизма до коммутативный квадрат.

В двойная концепция отката - это выталкивание.

Универсальная собственность

В явном виде возврат морфизмов $ж$ и $грамм$ состоит из объект $п$ и два морфизма $п 1 : п \to Икс$ и $п 2 : п \to Y$ для которого диаграмма

ездит на работу. Более того, откат $(п, п 1, п 2)$ должно быть универсальный относительно этой диаграммы.^[1] То есть для любой другой такой тройки $(Q, q 1, q 2)$ куда $q 1 : Q \to Икс$ и $q 2 : Q \to Y$ морфизмы с $ж q 1 = грамм q 2$ , должен существовать уникальный $ты : Q \to п$ такой, что

{ displaystyle p_ {2} circ u = q_ {2}, qquad p_ {1} circ u = q_ {1}.}

Эта ситуация проиллюстрирована следующей коммутативной диаграммой.

Как и все универсальные конструкции, откат, если он существует, уникален до изоморфизм. Фактически, учитывая два отката $(А, а 1, а 2)$ и $(B, б 1, б 2)$ того же самого cospan $Икс \to Z \leftarrow Y$ , существует единственный изоморфизм между $А$ и $B$ соблюдая структуру отката.

Откат и продукт

Откат аналогичен товар, но не то же самое. Продукт можно получить, «забыв», что морфизмы $ж$ и $грамм$ существуют, и забывая, что объект $Z$ существуют. Затем остается один дискретная категория содержащий только два объекта $Икс$ и $Y$ , и стрелок между ними нет. Эта дискретная категория может использоваться в качестве набора индексов для построения обычного двоичного произведения. Таким образом, откат можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо "забвения" $Z$ , $ж$ , и $грамм$ , их также можно "упростить", специализируя $Z$ быть конечный объект (при условии, что он существует). $ж$ и $грамм$ затем однозначно определены и, таким образом, не несут никакой информации, и откат этого сопряжения можно рассматривать как продукт $Икс$ и $Y$ .

Примеры

Коммутативные кольца

Категория коммутативных колец допускает обратные вызовы.

в категория коммутативных колец (с тождеством) откат называется волокнистым продуктом. Позволять $А$ , $B$ , и $C$ быть коммутативные кольца (с личностью) и $α : А \to C$ и $β : B \to C$ (сохранение идентичности) гомоморфизмы колец. Тогда существует откат этой диаграммы, который задается подкольцо из кольцо продукта $А \times B$ определяется

{ displaystyle A times _ {C} B = left {(a, b) in A times B ; { big |} ; alpha (a) = beta (b) right }}

вместе с морфизмами

{ displaystyle beta ' двоеточие A times _ {C} B to A, qquad alpha' двоеточие A times _ {C} B to B}

данный ${ Displaystyle бета '(а, Ь) = а}$ и ${ Displaystyle альфа '(а, Ь) = Ь}$ для всех ${ displaystyle (a, b) in A times _ {C} B}$ . Тогда у нас есть

{ Displaystyle альфа circ beta '= beta circ alpha'.}

Группы, модули

Совершенно аналогично приведенному выше примеру коммутативных колец можно показать, что все обратные вызовы существуют в категория групп и в категория модулей над некоторым фиксированным кольцом.

Наборы

в категория наборов, откат функций $ж : Икс \to Z$ и $грамм : Y \to Z$ всегда существует и задается множеством

{ Displaystyle X раз _ {Z} Y = {(x, y) in X times Y | f (x) = g (y) } = bigcup _ {z in f (X) cap g (Y)} f ^ {- 1} [ {z }] times g ^ {- 1} [ {z }],}

вместе с ограничения из карты проекции $π 1$ и $π 2$ к $Икс \times Z Y$ .

В качестве альтернативы можно увидеть откат в $Набор$ асимметрично:

{ Displaystyle X раз _ {Z} Y cong coprod _ {x in X} g ^ {- 1} [ {f (x) }] cong coprod _ {y in Y} f ^ {- 1} [ {g (y) }]}

куда ${ displaystyle coprod}$ это несвязный союз наборов (вовлеченные множества не являются дизъюнктными сами по себе, если $ж$ соотв. $грамм$ является инъективный ). В первом случае проекция $π 1$ извлекает $Икс$ индекс, пока $π 2$ забывает индекс, оставляя элементы $Y$ .

Этот пример мотивирует другой способ характеристики отката: как эквалайзер морфизмов $ж \circ п 1, грамм \circ п 2 : Икс \times Y \to Z$ куда $Икс \times Y$ это бинарный продукт из $Икс$ и $Y$ и $п 1$ и $п 2$ являются естественными проекциями. Это показывает, что откаты существуют в любой категории с бинарными продуктами и эквалайзерами. Фактически, по теорема существования пределов все конечные пределы существуют в категории с конечным объектом, бинарными продуктами и эквалайзерами.

Пучки волокон

Другой пример отката исходит из теории пучки волокон: учитывая карту пакета $π : E \to B$ и непрерывная карта $ж : Икс \to B$ откат (сформированный в категория топологических пространств с непрерывные карты ) $Икс \times B E$ расслоение над $Икс$ называется откатная связка. Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений.

Прообразы и пересечения

Прообразы наборов функций можно описать как откаты следующим образом:

Предполагать $ж : А \to B$ , $B 0 \subseteq B$ . Позволять $грамм$ быть карта включения $B 0 ↪ B$ . Затем откат $ж$ и $грамм$ (в $Набор$ ) задается прообразом $ж -1 [B 0]$ вместе с включением прообраза в $А$

ж -1 [B 0] ↪ А

и ограничение $ж$ к $ж -1 [B 0]$

ж -1 [B 0] \to B 0

.

Из-за этого примера в общей категории откат морфизма $ж$ и мономорфизм $грамм$ можно рассматривать как "прообраз" под $ж$ из подобъект указано $грамм$ . Аналогично, обратные вызовы двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов.

Наименьший общий множитель

Рассмотрим мультипликативный моноид положительных целые числа $Z +$ как категория с одним объектом. В этой категории откат двух натуральных чисел $м$ и $п$ это просто пара $(LCM (м, п) / м, LCM (м, п) / п)$ , где числителями являются наименьший общий множитель из $м$ и $п$ . Эта же пара также является пушаутом.

Характеристики

В любой категории с конечный объект $Т$ , откат $Икс \times Т Y$ просто обычный товар $Икс \times Y$ .^[2]
Мономорфизмы устойчивы при откате: если стрелка $ж$ на диаграмме моника, значит, стрелка $п 2$ . Аналогично, если $грамм$ моничен, то тоже $п 1$ .^[3]
Изоморфизмы также стабильны, а значит, например, $Икс \times Икс Y ≅ Y$ для любой карты $Y \to Икс$ (где подразумеваемая карта $Икс \to Икс$ это тождество).
В абелева категория все откаты есть,^[4] и они сохраняют ядра, в следующем смысле: если

- диаграмма обратного отсчета, то индуцированный морфизм

кер (п 2) \to ker (ж)

это изоморфизм,^[5] и индуцированный морфизм

кер (п 1) \to ker (грамм)

. Таким образом, каждая обратная диаграмма порождает коммутативную диаграмму следующего вида, где все строки и столбцы точный:

{ displaystyle { begin {array} {ccccccc} &&&& 0 && 0 &&&& downarrow && downarrow &&&&& L & = & L &&&& downarrow && downarrow 0 & rightarrow & K & rightarrow & P & rightarrow & Y &&& параллельный && downarrow && downarrow 0 & rightarrow & K & rightarrow & X & rightarrow & Z end {array}}}

Кроме того, в абелевой категории, если

Икс \to Z

является эпиморфизмом, то и его откат

п \to Y

, и симметрично: если

Y \to Z

является эпиморфизмом, то и его откат

п \to Икс

.^[6] В этих ситуациях квадрат отката также является квадратом выталкивания.^[7]

Есть естественный изоморфизм (А×_CB)×_B D ≅ А×_CD. В явном виде это означает:
- если карты ж : А → C, грамм : B → C и час : D → B даны и
- откат ж и грамм дан кем-то р : п → А и s : п → B, и
- откат s и час дан кем-то т : Q → п и ты : Q → D ,
- затем откат ж и gh дан кем-то rt : Q → А и ты : Q → D.

Графически это означает, что два квадрата отката, помещенные рядом и разделяющие один морфизм, образуют больший квадрат отката при игнорировании внутреннего общего морфизма.

{ displaystyle { begin {array} {ccccc} Q & { xrightarrow {t}} & P & { xrightarrow {r}} & A downarrow _ {u} && downarrow _ {s} && downarrow _ {f } D & { xrightarrow {h}} & B & { xrightarrow {g}} & C end {array}}}

В любой категории с откатами и товарами есть эквалайзеры.

Слабые откаты

А слабый откат из cospan $Икс \to Z \leftarrow Y$ это конус через кооператив, который только слабо универсальный, то есть опосредующий морфизм $ты : Q \to п$ выше не обязательно должно быть уникальным.

Смотрите также

Примечания

^ Митчелл, стр. 9
^ Адамек, стр. 197.
^ Митчелл, стр. 9
^ Митчелл, стр. 32
^ Митчелл, стр. 15
^ Митчелл, стр. 34
^ Митчелл, стр. 39

внешняя ссылка

Интерактивная веб-страница который порождает примеры откатов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
откат в nLab

[1] Митчелл, стр. 9

[2] Адамек, стр. 197.

[3] Митчелл, стр. 9

[4] Митчелл, стр. 32

[5] Митчелл, стр. 15

[6] Митчелл, стр. 34

[7] Митчелл, стр. 39

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]