Подкольцо - Subring

В математика, а подкольцо из р это подмножество из кольцо это само кольцо, когда бинарные операции сложения и умножения на р ограничены подмножеством и разделяют мультипликативная идентичность так как р. Для тех, кто определяет кольца, не требуя существования мультипликативного тождества, подкольцо р это просто подмножество р это кольцо для операций р (это означает, что он содержит аддитивную идентичность р). Последнее дает строго более слабое условие даже для колец, которые действительно имеют мультипликативную идентичность, так что, например, все идеалы становятся вложенными (и они могут иметь мультипликативную идентичность, отличную от одной из р). С определением, требующим мультипликативной идентичности (которое используется в этой статье), единственный идеал р это подкольцо р является р сам.

Определение

Подкольцо кольца (р, +, ∗, 0, 1) это подмножество S из р сохраняющее структуру кольца, т. е. кольцо (S, +, ∗, 0, 1) с участием S ⊆ р. В равной степени это и подгруппа из (р, +, 0) и субмоноид из (р, ∗, 1).

Примеры

Кольцо Z и его коэффициенты Z/пZ не имеют подколец (с мультипликативной идентичностью), кроме полного кольца.

Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу Z/пZ с участием п неотрицательное целое число (см. характеристика ). Целые числа Z соответствуют п = 0 в этом заявлении, поскольку Z изоморфен Z/0Z.

Тест подколец

В проверка подколец это теорема который гласит, что для любого кольца р, а подмножество S из р является подкольцом тогда и только тогда, когда оно закрыто при умножении и вычитании и содержит мультипликативное тождество р.

Например, кольцо Z из целые числа является подкольцом поле из действительные числа а также подкольцо кольца многочлены Z[Икс].

Расширения кольца

Если S это подкольцо кольца р, то эквивалентно р считается расширение кольца из S, записанный как р/S в обозначениях, аналогичных обозначениям для расширения полей.

Подкольцо, созданное набором

Позволять р быть кольцом. Любое пересечение подколец р снова является подкольцом р. Следовательно, если Икс любое подмножество р, пересечение всех подколец р содержащий Икс это подкольцо S из р. S это наименьшее подкольцо р содержащий Икс. («Наименьший» означает, что если Т любое другое подкольцо р содержащий Икс, тогда S содержится в Т.) S называется подкольцом р генерируется от Икс. Если S = Р, мы можем сказать, что кольцо р является генерируется от Икс.

Отношение к идеалам

Правильный идеалы - подкольца (без единицы), замкнутые как при левом, так и при правом умножении на элементы из р.

Если опустить требование, чтобы кольца имели единичный элемент, тогда подкольца должны быть только непустыми и иначе соответствовать структуре кольца, а идеалы становятся подкольцами. Идеалы могут иметь или не иметь свою собственную мультипликативную идентичность (отличную от идентичности кольца):

Идеал я = {(z,0) | z в Z} кольца Z × Z = {(Икс,у) | Икс,у в Z} с покомпонентным сложением и умножением имеет тождество (1,0), которое отличается от тождества (1,1) кольца. Так я кольцо с единством и «подкольцо без единства», но не «подкольцо с единством» Z × Z.
Собственные идеалы Z не имеют мультипликативной идентичности.

Если я это главный идеал коммутативного кольца р, то пересечение я с любым подкольцом S из р остается главным в S. В этом случае говорят, что я лежит над я ∩ S. Ситуация более сложная, когда р не коммутативен.

Профиль по коммутативным подкольцам

Кольцо может быть профилированным^{[требуется разъяснение ]} разнообразием коммутативный подстроки, которые он содержит:

В кватернион кольцо ЧАС содержит только комплексная плоскость как плоское подкольцо
В кокватернион кольцо содержит три типа коммутативных плоских подкольц: двойной номер самолет, расщепленное комплексное число плоскость, а также обычная комплексная плоскость
Кольцо вещественных матриц 3 × 3 также содержит 3-мерные коммутативные подкольца, порожденные единичная матрица и нильпотентный ε порядка 3 (εεε = 0 ≠ εε). Например, Группа Гейзенберга может быть реализовано как соединение группы единиц двух из этих нильпотентно порожденных подколец матриц 3 × 3.

Смотрите также

использованная литература

Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули. Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. С. 14–16. ISBN 0-05-002192-3.
Страница 84 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация. Издательство Кембриджского университета. стр.15–17. ISBN 0-521-33718-6.