Трансцендентная теория чисел - Transcendental number theory

Трансцендентная теория чисел это филиал теория чисел что исследует трансцендентные числа (числа, не являющиеся решениями каких-либо полиномиальное уравнение с целое число коэффициенты) как в качественном, так и в количественном отношении.

Трансцендентность

Основная статья: Трансцендентное число

В основная теорема алгебры говорит нам, что если у нас есть ненулевой многочлен с целыми коэффициентами, то этот многочлен будет иметь корень в сложные числа. То есть для любого полинома п с целыми коэффициентами будет такое комплексное число α, что п(α) = 0. Теория трансцендентности занимается обратным вопросом: существует ли для комплексного числа α многочлен п с целыми коэффициентами такими, что п(α) = 0? Если такого многочлена не существует, то число называется трансцендентным.

В более общем плане теория имеет дело с алгебраическая независимость номеров. Набор чисел {α₁, α₂,…, Α_п} называется алгебраически независимым над полем K если нет ненулевого многочлена п в п переменные с коэффициентами в K такой, что п(α₁, α₂,…, Α_п) = 0. Таким образом, определение того, является ли данное число трансцендентным, на самом деле является частным случаем алгебраической независимости, когда п= 1 и поле K это рациональное поле.

Связанное с этим понятие заключается в том, существует ли выражение в закрытой форме для числа, включая экспоненты и логарифмы, а также алгебраические операции. Существуют различные определения «закрытой формы», и вопросы о закрытой форме часто сводятся к вопросам о трансцендентности.

История

Приближение рациональными числами: от Лиувилля до Рота

Использование термина трансцендентный относиться к объекту, который не является алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что функция синуса не был алгебраическая функция.^[1] Вопрос о том, могут ли определенные классы чисел быть трансцендентными, восходит к 1748 году.^[2] когда Эйлер утверждал^[3] что номер журнала_аб не был алгебраическим для рациональное число а и б при условии б не в форме б = а^c для некоторых рациональных c.

Утверждение Эйлера не было доказано до двадцатого века, но почти через сто лет после его утверждения. Джозеф Лиувиль удалось доказать существование чисел, которые не являются алгебраическими, что до того момента не было известно наверняка. В его оригинальных статьях по этому поводу 1840-х гг. непрерывные дроби строить трансцендентные числа. Позже, в 1850-х годах, он дал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим, и, следовательно, достаточным условием для того, чтобы число было трансцендентным.^[4] Этот критерий трансцендентности не был достаточно строгим, чтобы быть необходимым, и действительно не мог обнаружить, что число е трансцендентно. Но его работа предоставила более широкий класс трансцендентных чисел, теперь известных как Числа Лиувилля в его честь.

Критерий Лиувилля, по сути, говорит, что алгебраические числа не могут быть очень хорошо аппроксимированы рациональными числами. Итак, если число может быть очень хорошо аппроксимировано рациональными числами, оно должно быть трансцендентным. Точное значение слова «очень хорошо аппроксимируется» в работе Лиувилля связано с определенной степенью. Он показал, что если α - алгебраическое число степени d ≥ 2 и ε любое число больше нуля, то выражение

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

может быть удовлетворено только конечным числом рациональных чисел п/q. Использование этого в качестве критерия трансцендентности нетривиально, поскольку нужно проверить, существует ли бесконечно много решений. п/q для каждого d ≥ 2.

В двадцатом веке работы Аксель Туэ,^[5] Карл Сигель,^[6] и Клаус Рот^[7] уменьшил показатель в работе Лиувилля с d + ε к d/ 2 + 1 + ε, и, наконец, в 1955 году до 2 + ε. Этот результат, известный как Теорема Туэ – Зигеля – Рота., якобы является наилучшим возможным, поскольку, если показатель степени 2 + ε заменяется только на 2, результат больше не соответствует действительности. Тем не мение, Серж Ланг предположил улучшение результата Рота; в частности, он предположил, что q^{2 + ε} в знаменателе правой части можно было бы свести к q²бревно(q)^{1 + ε}.

Работа Рота фактически завершила работу, начатую Лиувиллем, и его теорема позволила математикам доказать трансцендентность многих других чисел, таких как Постоянная Шамперноуна. Теорема все еще недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа и многие известные константы, включая е и π либо не являются, либо не очень хорошо аппроксимируются в указанном выше смысле.^[8]

Вспомогательные функции: от Эрмита до Бейкера

К счастью, в девятнадцатом веке были впервые применены другие методы для изучения алгебраических свойств е, а следовательно, и π через Тождество Эйлера. Эта работа была сосредоточена на использовании так называемого вспомогательная функция. Это функции которые обычно имеют много нулей в рассматриваемых точках. Здесь "много нулей" может означать много различных нулей или всего один ноль, но с высоким множественность, или даже много нулей с большой кратностью. Чарльз Эрмит использовались вспомогательные функции, аппроксимирующие функции е^kx для каждого натуральное число k чтобы доказать трансцендентность е в 1873 г.^[9] Его работа была основана на Фердинанд фон Линдеманн в 1880-х^[10] чтобы доказать, что е^α трансцендентна для ненулевых алгебраических чисел α. В частности, это доказало, что π трансцендентно, поскольку е^πя является алгебраическим и, таким образом, дает отрицательный ответ на проблема древности относительно того, возможно ли квадрат круга. Карл Вейерштрасс развили свою работу еще дальше и в итоге доказали Теорема Линдемана – Вейерштрасса в 1885 г.^[11]

В 1900 г. Дэвид Гильберт представил свой знаменитый сборник проблем. В седьмой из них, и один из самых сложных в оценке Гильберта, задавался вопросом о трансцендентности чисел вида а^б куда а и б алгебраические, а не равно нулю или единице, и б иррационально. В 1930-е гг. Александр Гельфонд^[12] и Теодор Шнайдер^[13] доказал, что все такие числа действительно трансцендентны, с помощью неявной вспомогательной функции, существование которой было подтверждено Лемма Зигеля. Этот результат, Теорема Гельфонда – Шнайдера, доказал трансцендентность таких чисел, как е^π и Постоянная Гельфонда – Шнайдера.

Следующий большой результат в этой области был достигнут в 1960-х годах, когда Алан Бейкер добился прогресса в решении проблемы, поставленной Гельфондом на линейные формы в логарифмах. Самому Гельфонду удалось найти нетривиальную нижнюю оценку величины

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

где все четыре неизвестных являются алгебраическими, причем αs не является ни нулем, ни единицей, а βs иррациональными. Однако Гельфонду не удалось найти аналогичные нижние границы для суммы трех или более логарифмов. Доказательство Теорема Бейкера содержал такие оценки, решая Гаусса проблема номера класса для класса номер один в процессе. Эта работа принесла Бейкеру Медаль Филдса за его использование в решении Диофантовы уравнения. С чисто трансцендентной теоретико-числовой точки зрения Бейкер доказал, что если α₁, ..., α_п являются алгебраическими числами, ни одно из которых не равно нулю и единице, а β₁, ..., β_п - алгебраические числа такие, что 1, β₁, ..., β_п находятся линейно независимый над рациональными числами, то число

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

трансцендентно.^[14]

Другие техники: Кантор и Зильбер

В 1870-х гг. Георг Кантор начал развиваться теория множеств а в 1874 г. опубликовал бумага доказывая, что алгебраические числа могут быть помещены в индивидуальная переписка с набором натуральные числа, и, таким образом, набор трансцендентных чисел должен быть бесчисленный.^[15] Позже, в 1891 году, Кантор использовал свой более знакомый диагональный аргумент чтобы доказать тот же результат.^[16] Хотя результат Кантора часто цитируется как чисто экзистенциальный и поэтому непригодный для построения единственного трансцендентного числа,^[17][18] доказательства в обеих упомянутых выше статьях дают методы построения трансцендентных чисел.^[19]

В то время как Кантор использовал теорию множеств, чтобы доказать полноту трансцендентных чисел, недавним достижением стало использование теория моделей в попытках доказать нерешенная проблема в трансцендентной теории чисел. Проблема в том, чтобы определить степень трансцендентности поля

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

для комплексных чисел Икс₁,...,Икс_п которые линейно независимы над рациональными числами. Стивен Шануэль предполагаемый что ответ по крайней мере п, но никаких доказательств нет. Однако в 2004 г. Борис Зильбер опубликовал статью, в которой использовались теоретико-модельные методы для создания структуры, которая ведет себя очень похоже на сложные числа оснащен операциями сложения, умножения и возведения в степень. Более того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шануэля действительно верна.^[20] К сожалению, пока не известно, что эта структура на самом деле такая же, как комплексные числа с упомянутыми операциями; могла существовать какая-то другая абстрактная структура, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа, но в которой гипотеза Шануэля не верна. Зильбер привел несколько критериев, которые доказывают, что рассматриваемая структура была C, но не смог доказать так называемую аксиому сильного экспоненциального замыкания. С тех пор доказан простейший случай этой аксиомы:^[21] но для завершения доказательства гипотезы требуется доказательство его общей общности.

Подходы

Типичная проблема в этой области математики - выяснить, является ли данное число трансцендентным. Кантор использовал аргумент мощности, чтобы показать, что существует только счетное число алгебраических чисел, и, следовательно, почти все числа трансцендентны. Таким образом, трансцендентные числа представляют собой типичный случай; даже в этом случае может быть чрезвычайно трудно доказать, что данное число трансцендентно (или даже просто иррационально).

По этой причине теория трансцендентности часто работает в направлении более количественного подхода. Таким образом, учитывая конкретное комплексное число α, можно спросить, насколько α близко к алгебраическому числу. Например, если предположить, что число α является алгебраическим, то можно ли показать, что оно должно иметь очень высокую степень или минимальный многочлен с очень большими коэффициентами? В конце концов, если можно показать, что никакой конечной степени или размера коэффициента недостаточно, тогда число должно быть трансцендентным. Поскольку число α трансцендентно тогда и только тогда, когда п(α) ≠ 0 для любого ненулевого многочлена п с целыми коэффициентами к этой проблеме можно подойти, пытаясь найти нижние границы вида

${\displaystyle |P(a)|>F(A,d)}$

где правая часть - некоторая положительная функция, зависящая от некоторой меры А размера коэффициенты из п, и это степень d, и такие, что эти нижние оценки применяются ко всем п ≠ 0. Такая оценка называется оценкой мера трансцендентности.

Случай d = 1 - это "классический" диофантово приближение запрашивая нижнюю границу для

${\displaystyle |ax+b|}$.

У методов теории трансцендентности и диофантова приближения много общего: оба они используют вспомогательная функция концепция.

Основные результаты

В Теорема Гельфонда – Шнайдера был главным достижением теории трансцендентности в период 1900–1950 гг. В 1960-е годы метод Алан Бейкер на линейные формы в логарифмах из алгебраические числа реанимировала теорию трансцендентности с приложениями к многочисленным классическим проблемам и диофантовы уравнения.

Открытые проблемы

Хотя теорема Гельфонда – Шнайдера доказала, что большой класс чисел трансцендентен, этот класс все еще был счетным. Многие хорошо известные математические константы до сих пор не известны как трансцендентные, а в некоторых случаях даже не известно, рациональны они или иррациональны. Неполный список можно найти Вот.

Основная проблема в теории трансцендентности состоит в том, чтобы показать, что конкретный набор чисел является алгебраически независимым, а не просто показать, что отдельные элементы трансцендентны. Итак, пока мы знаем, что е и π трансцендентны, что не означает, что е + π трансцендентен, ни другие комбинации этих двух (кроме е^π, Постоянная Гельфонда, которое, как известно, трансцендентно). Еще одна серьезная проблема связана с числами, не связанными с экспоненциальной функцией. Основные результаты теории трансцендентности, как правило, вращаются вокруг е и функция логарифма, что означает, что обычно требуются совершенно новые методы для работы с числами, которые не могут быть выражены в терминах этих двух объектов элементарным способом.

Гипотеза Шануэля отчасти решит первую из этих проблем, поскольку имеет дело с алгебраической независимостью, и действительно подтвердит, что е+π трансцендентно. Однако он по-прежнему вращается вокруг экспоненциальной функции, и поэтому не обязательно будет иметь дело с числами, такими как Постоянная апери или Константа Эйлера – Маскерони. Еще одна чрезвычайно сложная нерешенная проблема - это так называемая постоянная проблема или проблема с идентичностью.^[22]

Примечания

1. Н. Бурбаки, Элементы истории математики Спрингер (1994).
2. Гельфонд 1960, п. 2.
3. Эйлер, Л. (1748). Введение в анализин бесконечный. Лозанна.
4. Лиувилль Дж. (1844 г.). "Sur les classes très étendues de Quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même reductible à des irrationelles algébriques". Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 18: 883–885, 910–911.; Journal Math. Pures et Appl. 16, (1851), стр.133–142.
5. Туэ, А. (1909). "Uber Annäherungswerte algebraischer Zahlen". J. Reine Angew. Математика. 1909 (135): 284–305. Дои:10.1515 / crll.1909.135.284.
6. Сигель, К. Л. (1921). "Аппроксимация алгебры Зален". Математика. Z. 10 (3–4): 172–213. Дои:10.1007 / BF01211608.
7. Рот, К. Ф. (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика. 2 (1): 1–20. Дои:10.1112 / S0025579300000644. И «Исправление», с. 168, Дои:10.1112 / S0025579300000826.
8. Малер К. (1953). «О приближении π». Proc. Акад. Wetensch. Сер. А. 56: 30–42.
9. Эрмит, К. (1873). "Sur la fonction exponentielle". C. R. Acad. Sci. Париж. 77.
10. Линдеманн, Ф. (1882). "Ueber die Zahl π". Mathematische Annalen. 20 (2): 213–225. Дои:10.1007 / BF01446522.
11. Вейерштрасс, К. (1885). "Zu Hrn. Abhandlung Линдеманна: 'Über die Ludolph'sche Zahl'". Sitzungber. Кёнигль. Прейс. Акад. Wissensch. Zu Berlin. 2: 1067–1086.
12. Гельфонд, А. О. (1934). "Sur le septième Problème de D. Hilbert". Изв. Акад. АН СССР. 7: 623–630.
13. Шнайдер, Т. (1935). "Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen". J. Reine Angew. Математика. 1935 (172): 65–69. Дои:10.1515 / crll.1935.172.65.
14. Пекарь, Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I, II, III, Математика 13 , (1966), стр.204–216; там же. 14, (1967), стр.102–107; там же. 14, (1967), стр.220–228, МИСТЕР0220680
15. Кантор, Г. (1874). "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 1874 (77): 258–262. Дои:10.1515 / crll.1874.77.258.
16. Кантор, Г. (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком). 1: 75–78.
17. Kac, M .; Станислав, У. (1968). Математика и логика. Фредеринг А. Прегер. п.13.
18. Белл, Э. Т. (1937). Математики. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. п.569.
19. Грей Р. (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF). Амер. Математика. Ежемесячно. 101 (9): 819–832. Дои:10.1080/00029890.1994.11997035. JSTOR  2975129.
20. Зильбер, Б. (2005). «Псевдо-возведение в степень на алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики». Анналы чистой и прикладной логики. 132 (1): 67–95. Дои:10.1016 / j.apal.2004.07.001. МИСТЕР  2102856.
21. Маркер, Д. (2006). «Замечание о псевдоэкспоненциации Зильбера». Журнал символической логики. 71 (3): 791–798. Дои:10.2178 / jsl / 1154698577. JSTOR  27588482. МИСТЕР  2250821.
22. Ричардсон, Д. (1968). «Некоторые неразрешимые задачи, связанные с элементарными функциями действительной переменной». Журнал символической логики. 33 (4): 514–520. Дои:10.2307/2271358. JSTOR  2271358. МИСТЕР  0239976.

Рекомендации

• Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-20461-5. Zbl  0297.10013.
• Гельфонд, А.О. (1960). Трансцендентные и алгебраические числа. Дувр. Zbl  0090.26103.
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа. Аддисон-Уэсли. Zbl  0144.04101.

дальнейшее чтение

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц, Логарифмические формы и диофантова геометрия, Новые математические монографии 9, Издательство Кембриджского университета, 2007 г., ISBN  978-0-521-88268-2