Теорема Линдеманна – Вейерштрасса - Lindemann–Weierstrass theorem - Wikipedia

В трансцендентная теория чисел, то Теорема Линдеманна – Вейерштрасса результат, который очень полезен при установлении превосходство номеров. В нем говорится следующее.

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса — если α₁, ..., α_п находятся алгебраические числа которые линейно независимый над рациональное число ℚ, тогда е^α₁, ..., е^α_п находятся алгебраически независимый над ℚ.

Другими словами поле расширения ℚ (е^α₁, ..., е^α_п) имеет степень трансцендентности п над ℚ.

Эквивалентная формулировка (Бейкер 1990, Глава 1, теорема 1.4) заключается в следующем.

Эквивалентная формулировка — Если α₁, ..., α_п - различные алгебраические числа, то экспоненты е^α₁, ..., е^α_п линейно независимы над алгебраическими числами.

Эта эквивалентность превращает линейное отношение над алгебраическими числами в алгебраическое отношение над ℚ используя тот факт, что симметричный многочлен чьи аргументы все конъюгирует друг друга дает рациональное число.

Теорема названа в честь Фердинанд фон Линдеманн и Карл Вейерштрасс. Линдеманн доказал в 1882 г., что е^α трансцендентна для любого ненулевого алгебраического числа α, тем самым устанавливая, что π трансцендентен (см. ниже).^[1] Вейерштрасс доказал приведенное выше более общее утверждение в 1885 году.^[2]

Теорема вместе с Теорема Гельфонда – Шнайдера, расширяется на Теорема Бейкера, и все они далее обобщаются Гипотеза Шануэля.

Соглашение об именовании

Теорема также известна как Теорема Эрмита – Линдемана. и Теорема Эрмита – Линдемана – Вейерштрасса. Чарльз Эрмит первым доказал более простую теорему, где α_я экспоненты должны быть рациональные целые числа и линейная независимость обеспечивается только над целыми рациональными числами,^[3][4] результат иногда называют теоремой Эрмита.^[5] Хотя, по-видимому, это довольно частный случай приведенной выше теоремы, общий результат можно свести к этому более простому случаю. Линдеманн был первым, кто ввел алгебраические числа в работу Эрмита в 1882 году.^[1] Вскоре после этого Вейерштрасс получил полный результат:^[2] и дальнейшие упрощения были сделаны несколькими математиками, в первую очередь Дэвид Гильберт^[6] и Пол Гордан.^[7]

Превосходство е и π

В превосходство из е и π являются прямыми следствиями этой теоремы.

Предполагать α - ненулевое алгебраическое число; тогда {α} является линейно независимым множеством над рациональными числами, поэтому по первой формулировке теоремы {е^α} - алгебраически независимое множество; или другими словами е^α трансцендентно. Особенно, е¹ = е трансцендентно. (Более элементарное доказательство того, что е трансцендентно изложено в статье о трансцендентные числа.)

В качестве альтернативы, согласно второй формулировке теоремы, если α ненулевое алгебраическое число, то {0, α} является набором различных алгебраических чисел, и поэтому набор {е⁰, е^α} = {1, е^α} линейно независима над алгебраическими числами и, в частности, е^α не может быть алгебраическим, а значит, трансцендентным.

Чтобы доказать, что π трансцендентна, мы доказываем, что она не алгебраична. Если π были алгебраическими, πя будет также алгебраическим, и тогда по теореме Линдемана – Вейерштрасса е^πя = −1 (видеть Тождество Эйлера ) было бы трансцендентным; противоречие. Следовательно π не является алгебраическим, а значит, трансцендентным.

Небольшой вариант того же доказательства покажет, что если α ненулевое алгебраическое число, то sin (α), cos (α), tan (α) и их гиперболический двойники тоже трансцендентны.

п-адическая гипотеза

п-адическая гипотеза Линдеманна – Вейерштрасса. — Предполагать п есть некоторые простое число и α₁, ..., α_п находятся п-адические числа алгебраические и линейно независимые над ℚ, такой, что | α_я |_п < 1/п для всех я; затем п-адические экспоненты exp_п(α₁),. . . , exp_п(α_п) находятся п-адические числа, алгебраически независимые над ℚ.

Модульная гипотеза

Аналог теоремы о модульная функция j была предположена Даниэлем Бертраном в 1997 году и остается открытой проблемой.^[8] Письмо q = е^2πяτ для ном и j(τ) =J(q), гипотеза заключается в следующем.

Модульная гипотеза — Позволять q₁, ..., q_п ненулевые алгебраические числа в комплексе единичный диск так что 3п числа

${\displaystyle \left\{J(q_{1}),J'(q_{1}),J''(q_{1}),\ldots ,J(q_{n}),J'(q_{n}),J''(q_{n})\right\}}$

алгебраически зависимы над ℚ. Тогда существуют два индекса 1 ≤ я < j ≤ п такой, что q_я и q_j мультипликативно зависимы.

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса (переформулировка Бейкера). — Если а₁, ..., а_п - алгебраические числа, а α₁, ..., α_п - различные алгебраические числа, то^[9]

${\displaystyle a_{1}e^{\alpha _{1}}+a_{2}e^{\alpha _{2}}+\cdots +a_{n}e^{\alpha _{n}}=0}$

имеет только тривиальное решение ${\displaystyle a_{i}=0}$ для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$

Доказательство

Доказательство опирается на две предварительные леммы. Обратите внимание, что самой леммы B уже достаточно для вывода исходного утверждения теоремы Линдеманна-Вейерштрасса.

Предварительные леммы

Лемма А. — Позволять c(1), ..., c(р) быть целые числа и для каждого k между 1 и р, позволять {γ(k)₁, ..., γ(k)_м(k)} быть корнями ненулевого многочлен с целыми коэффициентами ${\displaystyle T_{k}(x)}$. Если γ(k)_я ≠ γ(ты)_v в любое время (k, я) ≠ (ты, v), тогда

${\displaystyle c(1)\left(e^{\gamma (1)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (1)_{m(1)}}\right)+\cdots +c(r)\left(e^{\gamma (r)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (r)_{m(r)}}\right)=0}$

имеет только тривиальное решение ${\displaystyle c(i)=0}$ для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,r.}$

Доказательство леммы А. Для упрощения набора обозначений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&n_{0}=0,&&\\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{aligned}}}$

Тогда утверждение становится

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.}$

Позволять п быть простое число и определим следующие полиномы:

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha _{1})^{p}\cdots (x-\alpha _{n})^{p}}{(x-\alpha _{i})}},}$

куда ℓ ненулевое целое число такое, что ${\displaystyle \ell \alpha _{1},\ldots ,\ell \alpha _{n}}$ все являются целыми алгебраическими числами. Определять^[10]

${\displaystyle I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.}$

С помощью интеграция по частям мы приходим к

${\displaystyle I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),}$

куда ${\displaystyle np-1}$ это степень из ${\displaystyle f_{i}}$, и ${\displaystyle f_{i}^{(j)}}$ это j-я производная от ${\displaystyle f_{i}}$. Это также верно для s сложный (в этом случае интеграл следует рассматривать как контурный интеграл, например, по прямому отрезку от 0 до s) потому что

${\displaystyle -e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)}$

примитив ${\displaystyle e^{s-x}f_{i}(x)}$.

Рассмотрим следующую сумму:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\[5pt]&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\[5pt]&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\[5pt]&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}$

В последней строке мы предположили, что заключение леммы неверно. Чтобы завершить доказательство, нам нужно прийти к противоречию. Мы сделаем это, оценив ${\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|}$ двумя разными способами.

Первый ${\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})}$ является целым алгебраическим числом, которое делится на п! за ${\displaystyle j\geq p}$ и исчезает для ${\displaystyle j<p}$ пока не ${\displaystyle j=p-1}$ и ${\displaystyle k=i}$, в этом случае он равен

${\displaystyle \ell ^{np}(p-1)!\prod _{k\neq i}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{p}.}$

Это не делится на п когда п достаточно большой, потому что иначе, положив

${\displaystyle \delta _{i}=\prod _{k\neq i}(\ell \alpha _{i}-\ell \alpha _{k})}$

(которое является ненулевым алгебраическим целым числом) и вызывает ${\displaystyle d_{i}\in \mathbb {Z} }$ произведение его конъюгатов (которое все еще не равно нулю), мы получили бы, что п разделяет ${\displaystyle \ell ^{p}(p-1)!d_{i}^{p}}$, что неверно.

Так ${\displaystyle J_{i}}$ - ненулевое целое алгебраическое число, делящееся на (п - 1) !. Сейчас же

${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).}$

Поскольку каждый ${\displaystyle f_{i}(x)}$ получается делением фиксированного многочлена с целыми коэффициентами на ${\displaystyle (x-\alpha _{i})}$, это имеет вид

${\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},}$

куда ${\displaystyle g_{m}}$ является полиномом (с целыми коэффициентами), не зависящим от я. То же верно и для производных ${\displaystyle f_{i}^{(j)}(x)}$.

Следовательно, по основной теореме о симметрических многочленах

${\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})}$

- фиксированный многочлен с рациональными коэффициентами, вычисляемыми в ${\displaystyle \alpha _{i}}$ (это видно по группировке одинаковых степеней ${\displaystyle \alpha _{n_{t-1}+1},\dots ,\alpha _{n_{t}}}$ фигурирующую в разложении и использующую тот факт, что эти алгебраические числа являются полным набором сопряженных). То же самое и с ${\displaystyle J_{i}}$, т.е. равно ${\displaystyle G(\alpha _{i})}$, куда грамм - многочлен с рациональными коэффициентами, не зависящими от я.

Ну наконец то ${\displaystyle J_{1}\cdots J_{n}=G(\alpha _{1})\cdots G(\alpha _{n})}$ рационально (опять же по основной теореме о симметрических многочленах) и является ненулевым целым алгебраическим числом, делящимся на ${\displaystyle (p-1)!^{n}}$ (поскольку ${\displaystyle J_{i}}$'s - целые алгебраические числа, делящиеся на ${\displaystyle (p-1)!}$). Следовательно

${\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\geq (p-1)!^{n}.}$

Однако одно ясно:

${\displaystyle |I_{i}(\alpha _{k})|\leq |\alpha _{k}|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}(|\alpha _{k}|),}$

куда F_я - полином, коэффициенты которого являются абсолютными значениями коэффициентов ж_я (это непосредственно следует из определения ${\displaystyle I_{i}(s)}$). Таким образом

${\displaystyle |J_{i}|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\beta _{k}\alpha _{k}\right|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}\left(\left|\alpha _{k}\right|\right)}$

и поэтому построением ${\displaystyle f_{i}}$у нас есть ${\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\leq C^{p}}$ для достаточно большого C независим от п, что противоречит предыдущему неравенству. Это доказывает лемму A. ∎

Лемма Б. — Если б(1), ..., б(п) являются целыми числами и γ(1), ..., γ(п), различны алгебраические числа, тогда

${\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0}$

имеет только тривиальное решение ${\displaystyle b(i)=0}$ для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$

Доказательство леммы B: Предполагая

${\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0,}$

получим противоречие и тем самым докажем лемму B.

Выберем многочлен с целыми коэффициентами, равный нулю на всех ${\displaystyle \gamma (k)}$и пусть ${\displaystyle \gamma (1),\ldots ,\gamma (n),\gamma (n+1),\ldots ,\gamma (N)}$ быть всеми его отдельными корнями. Позволять б(п + 1) = ... = б(N) = 0.

Полином

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})}$

исчезает в ${\displaystyle (e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}$ по предположению. Поскольку произведение симметрично, для любого ${\displaystyle \tau \in S_{N}}$ мономы ${\displaystyle x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}}$ и ${\displaystyle x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}}$ имеют одинаковый коэффициент при расширении п.

Таким образом, расширяя ${\displaystyle P(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}$ соответственно и группируя члены с одинаковым показателем, мы видим, что полученные показатели ${\displaystyle h_{1}\gamma (1)+\dots +h_{N}\gamma (N)}$ образуют полный набор конъюгатов, и, если два члена имеют сопряженные показатели, они умножаются на один и тот же коэффициент.

Итак, мы находимся в ситуации леммы A. Чтобы прийти к противоречию, достаточно увидеть, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Это видно по оснащению C с лексикографическим порядком и путем выбора для каждого фактора в продукте члена с ненулевым коэффициентом, который имеет максимальный показатель в соответствии с этим порядком: продукт этих терминов имеет ненулевой коэффициент в разложении и не упрощается никаким другим срок. Это доказывает лемму B. ∎

Заключительный этап

Теперь перейдем к доказательству теоремы: пусть а(1), ..., а(п) быть ненулевым алгебраические числа, и α(1), ..., α(п) различных алгебраических чисел. Тогда предположим, что:

${\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}$

Мы покажем, что это приводит к противоречию, и тем самым докажем теорему. Доказательство очень похоже на доказательство леммы B, за исключением того, что на этот раз выбор делается по а(я):

Для каждого я ∈ {1, ..., п}, а(я) является алгебраическим, поэтому он является корнем неприводимого многочлена с целыми коэффициентами степени d(я). Обозначим различные корни этого многочлена а(я)₁, ..., а(я)_d(я), с а(я)₁ = а(я).

Пусть S - функции σ, которые выбирают по одному элементу из каждой последовательности (1, ..., d(1)), (1, ..., d(2)), ..., (1, ..., d(п)), так что для каждого 1 ≤я ≤ п, σ (я) - целое число от 1 до d(я). Сформируем многочлен от переменных ${\displaystyle x_{11},\dots ,x_{1d(1)},\dots ,x_{n1},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n}}$

${\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).}$

Поскольку произведение представляет собой все возможные функции выбора σ, Q симметричен по ${\displaystyle x_{i1},\dots ,x_{id(i)}}$ для каждого я. Следовательно Q является многочленом с целыми коэффициентами от элементарных симметричных многочленов от указанных выше переменных для любого я, а в переменных у_я. Каждый из последних симметричных многочленов является рациональным числом при вычислении в ${\displaystyle a(i)_{1},\dots ,a(i)_{d(i)}}$.

Вычисленный полином ${\displaystyle Q(a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})}$ обращается в нуль, потому что один из вариантов - просто σ (я) = 1 для всех я, для которой соответствующий множитель равен нулю согласно сделанному выше предположению. Таким образом, вычисленный многочлен представляет собой сумму вида

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,}$

где мы уже сгруппировали члены с одинаковым показателем степени. Таким образом, в левой части мы имеем различные значения β (1), ..., β (N), каждый из которых по-прежнему является алгебраическим (представляет собой сумму алгебраических чисел), и коэффициенты ${\displaystyle b(1),\dots ,b(N)\in \mathbb {Q} }$Сумма нетривиальна: если ${\displaystyle \alpha (i)}$ максимальна в лексикографическом порядке, коэффициент при ${\displaystyle e^{|S|\alpha (i)}}$ это просто продукт а(я)_j(с возможными повторами), которая не равна нулю.

Умножая уравнение на соответствующий целочисленный множитель, мы получаем идентичное уравнение, за исключением того, что теперь б(1), ..., б(N) все целые числа. Следовательно, согласно лемме B равенство не может иметь место, и мы приходим к противоречию, которое завершает доказательство. ∎

Отметим, что леммы A достаточно, чтобы доказать, что е является иррациональный, так как иначе мы можем написать е = п / q, где оба п и q ненулевые целые числа, но по лемме A мы имели бы qe − п ≠ 0; противоречие. Леммы A также достаточно, чтобы доказать, что π иррационально, иначе мы можем написать π = k / п, где оба k и п целые числа) и тогда ±яπ корни п²Икс² + k² = 0; таким образом 2-1-1 = 2е⁰ + е^яπ + е^−яπ ≠ 0; но это неправда.

Аналогично леммы B достаточно, чтобы доказать, что е трансцендентно, поскольку лемма B утверждает, что если а₀, ..., а_п являются целыми числами, не все из которых равны нулю, тогда

${\displaystyle a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.}$

Леммы B также достаточно, чтобы доказать, что π трансцендентно, иначе мы имели бы 1 +е^яπ ≠ 0.

Эквивалентность двух утверждений

Формулировка теоремы Бейкера явно подразумевает первую формулировку. Действительно, если ${\displaystyle \alpha (1),\dots ,\alpha (n)}$ являются алгебраическими числами, линейно независимыми над рациональными числами ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, и ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ - многочлен с рациональными коэффициентами, то имеем

${\displaystyle P(e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}e^{i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)}}$,

и с тех пор ${\displaystyle \alpha (1),\dots ,\alpha (n)}$ - алгебраические числа, которые линейно независимы над рациональными числами, числа ${\displaystyle i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)}$ алгебраичны и различны для различных п- пары ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}$. Итак, из формулировки теоремы Бейкера мы получаем ${\displaystyle b_{i_{1},\dots ,i_{n}}=0}$ для всех п- пары ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}$.

Теперь предположим, что верна первая формулировка теоремы. За ${\displaystyle n=1}$ Формулировка Бейкера тривиальна, поэтому предположим, что ${\displaystyle n>1}$, и разреши а(1), ..., а(п) ненулевые алгебраические числа, и α(1), ..., α(п) различных алгебраических чисел такие, что

${\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}$

Как было показано в предыдущем разделе и с теми же обозначениями, используемыми там, мы имеем, что многочлен

${\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right)}$,

при оценке на ${\displaystyle (a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})}$ имеет выражение в форме

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}$

где мы сгруппировали экспоненты с одинаковым показателем. Здесь, как доказано выше, ${\displaystyle b(1),\dots ,b(M)}$ - рациональные числа, не все равные нулю, и каждый показатель ${\displaystyle \beta (m)}$ является линейной комбинацией ${\displaystyle \alpha (i)}$ с целыми коэффициентами. Тогда, поскольку ${\displaystyle n>1}$ и ${\displaystyle \alpha (1),\dots ,\alpha (n)}$ попарно различны, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-векторное подпространство ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} }$ создано ${\displaystyle \alpha (1),\dots ,\alpha (n)}$ нетривиально, и мы можем выбрать ${\displaystyle \alpha (i_{1}),\dots ,\alpha (i_{k})}$ чтобы сформировать основу этого подпространства. Для каждого ${\displaystyle m=1,\dots ,M}$, у нас есть ${\displaystyle \beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots q_{m,k}\alpha (i_{k})}$, куда ${\displaystyle q_{m,j}=c_{m,j}/d_{m,j}}$, с ${\displaystyle c_{m,j}}$ и ${\displaystyle d_{m,j}}$ целые числа. Для каждого ${\displaystyle j=1,\dots ,k}$, позволять ${\displaystyle d_{j}}$ быть наименьшим общим кратным всех ${\displaystyle d_{m,j}}$ за ${\displaystyle m=1,\cdots ,M}$, и положи ${\displaystyle v_{j}={\frac {1}{d_{j}}}\alpha (i_{j})}$. потом ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}}$ являются алгебраическими числами, они составляют основу ${\displaystyle V}$, и каждый ${\displaystyle \beta (m)}$ является линейной комбинацией ${\displaystyle v_{j}}$ с целыми коэффициентами. Умножая соотношение

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}$

к ${\displaystyle e^{N(v_{1}+\cdots +v_{k})}}$, куда ${\displaystyle N}$ является достаточно большим положительным целым числом, тогда мы получаем нетривиальное алгебраическое соотношение с рациональными коэффициентами, соединяющими ${\displaystyle e^{v_{1}},\cdots ,e^{v_{k}}}$, против первой формулировки теоремы.

Смотрите также

• Теорема Гельфонда – Шнайдера
• Теорема Бейкера; расширение теоремы Гельфонда – Шнайдера
• Гипотеза Шануэля; если это будет доказано, то из этого следует как теорема Гельфонда – Шнайдера, так и теорема Линдемана – Вейерштрасса.

Примечания

1. Lindemann 1882a, Lindemann 1882b.
2. Вейерштрасс 1885, стр. 1067–1086,
3. Эрмит 1873 С. 18–24.
4. Эрмит 1874
5. Гельфонд 2015.
6. Гильберт 1893 С. 216–219.
7. Гордан 1893 С. 222–224.
8. Бертран 1997 С. 339–350.
9. (На французском) французское Proof's Lindemann-Weierstrass (pdf)^{[мертвая ссылка ]}
10. С точностью до множителя это тот же самый интеграл, который фигурирует в доказательство того, что е трансцендентное число, куда β₁ = 1, ..., β_м = м. Дальнейшее доказательство леммы аналогично этому доказательству.

Рекомендации

• Гордан, П. (1893), "Transcendenz von е унд π.", Mathematische Annalen, 43: 222–224, Дои:10.1007 / bf01443647, S2CID  123203471
• Эрмит, К. (1873), "Sur la fonction exponentielle"., Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 77: 18–24
• Эрмит, К. (1874), Sur la fonction exponentielle., Париж: Готье-Виллар
• Гильберт, Д. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen е унд π.", Mathematische Annalen, 43: 216–219, Дои:10.1007 / bf01443645, S2CID  179177945, заархивировано из оригинал на 2017-10-06, получено 2018-12-24
• Линдеманн, Ф. (1882), "Über die Ludolph'sche Zahl"., Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 2: 679–682
• Линдеманн, Ф. (1882), "Über die Zahl" π.", Mathematische Annalen, 20: 213–225, Дои:10.1007 / bf01446522, S2CID  120469397, заархивировано из оригинал на 2017-10-06, получено 2018-12-24
• Вейерштрасс, К. (1885), "Abhandlung Зу Линдеманна." Über die Ludolph'sche Zahl "., Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin, 5: 1067–1085

дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан (1990), Трансцендентальная теория чисел, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-39791-9, МИСТЕР  0422171
• Бертран, Д. (1997), «Тета-функции и трансцендентность», Рамануджанский журнал, 1 (4): 339–350, Дои:10.1023 / А: 1009749608672, S2CID  118628723
• Гельфонд, А. (2015) [1960], Трансцендентные и алгебраические числа, Дуврские книги по математике, перевод Борон, Лео Ф., Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-49526-2, МИСТЕР  0057921
• Джейкобсон, Натан (1985), Базовая алгебра I (2-е изд.), Dover Pulblications, ISBN  978-0486471891

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Эрмита-Линдемана". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Линдеманна-Вейерштрасса". MathWorld.