Экспоненциальная функция - Exponential function

Эта статья о функциях вида f (x) = ab^Икс. Для функций вида f (x, y) = x^y, видеть Возведение в степень. Для функций вида f (x) = x^р, видеть Функция мощности.

Естественная экспоненциальная функция y = е^Икс

Экспоненциальные функции с основанием 2 и 1/2

В математика, экспоненциальная функция это функция формы

${\displaystyle f(x)=ab^{x},}$

куда б положительное действительное число, не равное 1, и аргумент Икс встречается как показатель степени. Для реальных чисел c и d, функция формы ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$ также является экспоненциальной функцией, поскольку ее можно переписать как

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

Как функции действительной переменной экспоненциальные функции однозначно характеризует тем, что скорость роста такой функции (т. е. ее производная ) является прямо пропорциональный к значению функции. Константа пропорциональности этого отношения - это натуральный логарифм базы б:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.}$

За б > 1, функция ${\displaystyle b^{x}}$ увеличивается (как показано для б = е и б = 2), потому что ${\displaystyle \log _{e}b>0}$ делает производную всегда положительной; в то время как для б < 1, функция убывает (как показано для б = 1/2); и для б = 1 функция постоянная.

Постоянная е = 2.71828... - это единственное основание, для которого коэффициент пропорциональности равен 1, так что функция является собственной производной:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.}$

Эта функция, также обозначаемая как ${\displaystyle \exp(x)}$, называется "естественной экспоненциальной функцией",^[1][2][3] или просто «экспоненциальная функция». Поскольку любая экспоненциальная функция может быть записана в терминах естественной экспоненты как ${\displaystyle b^{x}=e^{x\log _{e}b}}$, вычислительно и концептуально удобно свести изучение экспоненциальных функций к этому конкретному. Таким образом, естественная экспонента обозначается через

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ или же ${\displaystyle x\mapsto \exp x.}$

Первое обозначение обычно используется для более простых показателей степени, а второе предпочтительнее, когда показатель степени является сложным выражением. В график из ${\displaystyle y=e^{x}}$ имеет наклон вверх и увеличивается быстрее, чем Икс увеличивается.^[4] График всегда лежит выше Иксось, но становится сколь угодно близкой к ней при больших отрицательных Икс; Таким образом Икс- ось горизонтальная асимптота. Уравнение ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ означает, что склон из касательная графику в каждой точке равен его y-координировать в этой точке. Его обратная функция это натуральный логарифм, обозначенный ${\displaystyle \log ,}$^{[nb 1]} ${\displaystyle \ln ,}$^{[nb 2]} или же ${\displaystyle \log _{e};}$ из-за этого некоторые старые тексты^[5] называют экспоненциальную функцию антилогарифм.

Показательная функция удовлетворяет фундаментальному мультипликативному тождеству (которое может быть расширено до комплексный экспоненты):

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$ для всех ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$

Можно показать, что любое непрерывное ненулевое решение функционального уравнения ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ - экспоненциальная функция, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x},}$ с ${\displaystyle b>0.}$ Мультипликативное тождество вместе с определением ${\displaystyle e=e^{1}}$, показывает, что ${\displaystyle e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ terms}}}}$ для положительных целых чисел п, связывая экспоненциальную функцию с элементарным понятием возведения в степень.

Аргумент экспоненциальной функции может быть любым. настоящий или же комплексное число, или даже совершенно другой вид математический объект (например., матрица ).

Повсеместное появление экспоненциальной функции в чистый и Прикладная математика привел математика В. Рудин полагать, что экспоненциальная функция - «самая важная функция в математике».^[6] В применяемых настройках экспоненциальные функции моделируют взаимосвязь, в которой постоянное изменение независимой переменной дает такое же пропорциональное изменение (то есть процентное увеличение или уменьшение) зависимой переменной. Это широко применяется в естественных и социальных науках, например, в самовоспроизводящемся численность населения, накопительный фонд интерес, или растущий объем производственного опыта. Таким образом, экспоненциальная функция также появляется в различных контекстах внутри физика, химия, инженерное дело, математическая биология, и экономика.

Формальное определение

Основная статья: Характеристики экспоненциальной функции

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых п + 1 с точки зрения его степенного ряда (красным).

Действительная экспоненциальная функция ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ можно охарактеризовать множеством эквивалентных способов. Обычно это определяется следующим степенной ряд:^[6][7]

${\displaystyle \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots }$

Поскольку радиус схождения этого степенного ряда бесконечен, это определение фактически применимо ко всем комплексным числам z ∈ ℂ (видеть § Комплексная плоскость для продления ${\displaystyle \exp x}$ на комплексную плоскость). Постоянная е тогда можно определить как ${\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!).}$

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$ для всех реальных Икс, что приводит к еще одной общей характеристике ${\displaystyle \exp x}$ как уникальное решение дифференциальное уравнение

${\displaystyle y'(x)=y(x),}$

удовлетворяющий начальному условию ${\displaystyle y(0)=1.}$

На основе этой характеристики Правило цепи показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм, удовлетворяет ${\displaystyle (d/dy)(\log _{e}y)=1/y}$ за ${\displaystyle y>0,}$ или же ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$ Это соотношение приводит к менее распространенному определению реальной экспоненциальной функции ${\displaystyle \exp x}$ как решение ${\displaystyle y}$ к уравнению

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$

Посредством биномиальная теорема и определение степенного ряда, экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел:^[8][7]

${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Обзор

Красная кривая - экспоненциальная функция. Черные горизонтальные линии показывают, где он пересекает зеленые вертикальные линии.

Экспоненциальная функция возникает всякий раз, когда величина растет или же распадается по ставке пропорциональный к его текущему значению. Одна из таких ситуаций: непрерывно начисляемые проценты, и именно это наблюдение привело Джейкоб Бернулли в 1683 г.^[9] к номеру

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

теперь известен как е. Позже, в 1697 г., Иоганн Бернулли изучал исчисление экспоненциальной функции.^[9]

Если основная сумма 1 приносит проценты по годовой ставке Икс начисляется ежемесячно, тогда ежемесячный доход составляет Икс/12 умноженное на текущее значение, поэтому каждый месяц общее значение умножается на (1 + Икс/12), а значение на конец года равно (1 + Икс/12)¹². Если вместо этого ежедневно начисляются проценты, это становится (1 + Икс/365)³⁶⁵. Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, то предел определение экспоненциальной функции,

${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

впервые данный Леонард Эйлер.^[8]Это один из многих характеристики экспоненциальной функции; другие включают серии или же дифференциальные уравнения.

Из любого из этих определений можно показать, что экспоненциальная функция подчиняется основным возведение в степень личность,

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y}$

что оправдывает обозначение е^Икс за exp Икс.

В производная (скорость изменения) экспоненциальной функции - это сама экспоненциальная функция. В более общем смысле, функция со скоростью изменения пропорциональный к самой функции (а не равной ей) выражается через экспоненциальную функцию. Это свойство функции приводит к экспоненциальный рост или же экспоненциальный спад.

Экспоненциальная функция продолжается до вся функция на комплексная плоскость. Формула Эйлера связывает свои ценности чисто воображаемыми аргументами с тригонометрические функции. У экспоненциальной функции также есть аналоги, для которых аргументом является матрица, или даже элемент Банахова алгебра или Алгебра Ли.

Производные и дифференциальные уравнения

Производная экспоненты равна значению функции. С любой точки п на кривой (синий) пусть касательная (красная) и вертикальная (зеленая) линия с высотой час быть нарисованным, образуя прямоугольный треугольник с основанием б на Икс-ось. Поскольку наклон красной касательной (производной) при п равна отношению высоты треугольника к основанию треугольника (подъем за пробегом), а производная равна значению функции, час должно быть равно отношению час к б. Следовательно, база б всегда должно быть 1.

Важность экспоненциальной функции в математике и науках проистекает главным образом из ее свойства как уникальной функции, которая равна ее производной и равна 1, когда Икс = 0. То есть,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$

Функции формы ce^Икс для постоянного c являются единственными функциями, которые равны своей производной (по Теорема Пикара – Линделёфа ). Другие способы сказать то же самое:

• Наклон графика в любой точке - это высота функции в этой точке.
• Скорость увеличения функции при Икс равно значению функции при Икс.
• Функция решает дифференциальное уравнение y′ = y.
• exp это фиксированная точка производной как функциональный.

Если скорость роста или убывания переменной равна пропорциональный к его размеру - как в случае неограниченного роста населения (см. Мальтузианская катастрофа ), непрерывно составляющий интерес, или же радиоактивный распад - тогда переменная может быть записана как постоянная, умноженная на экспоненциальную функцию времени. Явно для любой реальной константы k, функция ж: р → р удовлетворяет ж′ = kf если и только если ж(Икс) = ce^kx для некоторой постоянной c. Постоянная k называется постоянная распада, постоянная дезинтеграции,^[10] константа скорости,^[11] или же постоянная трансформации.^[12]

Кроме того, для любой дифференцируемой функции ж(Икс), мы находим по Правило цепи:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.}$

Непрерывные дроби для е^Икс

А непрерывная дробь за е^Икс можно получить через тождество Эйлера:

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$

Следующее обобщенная цепная дробь за е^z сходится быстрее:^[13]

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$

или, применив замену z = Икс/y:

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$

со специальным футляром для z = 2:

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

Эта формула также сходится, хотя и медленнее, для z > 2. Например:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$

Комплексная плоскость

Экспоненциальная функция на комплексной плоскости. Переход от темных цветов к светлым показывает, что величина экспоненциальной функции увеличивается вправо. Периодические горизонтальные полосы показывают, что экспоненциальная функция равна периодический в мнимая часть своего аргумента.

Как в настоящий случае экспоненциальная функция может быть определена на комплексная плоскость в нескольких эквивалентных формах. Наиболее распространенное определение комплексной экспоненциальной функции соответствует определению степенного ряда для вещественных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной:

${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$

В качестве альтернативы, комплексная экспоненциальная функция может быть определена путем моделирования определения предела для реальных аргументов, но с заменой реальной переменной на сложную:

${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$

Для определения степенного ряда, почленное умножение двух копий этого степенного ряда в Коши смысл, разрешенный Теорема Мертенса, показывает, что определяющее свойство мультипликативности экспоненциальных функций сохраняется для всех сложных аргументов:

${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z}$ для всех ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} }$

Определение комплексной экспоненциальной функции, в свою очередь, приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции к сложным аргументам.

В частности, когда ${\displaystyle z=it}$ (${\displaystyle t}$ вещественный), определение ряда дает разложение

${\displaystyle \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$

В этом разложении преобразование членов в действительную и мнимую части оправдывается абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части этого выражения фактически соответствуют разложениям в ряд потому что т и грех т, соответственно.

Эта переписка дает мотивацию для определение косинус и синус для всех сложных аргументов в терминах ${\displaystyle \exp(\pm iz)}$ и эквивалентный степенной ряд:^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\quad {\text{and}}\\\sin z&:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$

для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {C} .}$

Функции exp, потому что, и грех так определено иметь бесконечное радиусы схождения посредством тест соотношения и поэтому целые функции (т.е., голоморфный на ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Диапазон экспоненциальной функции ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, а диапазоны функций комплексного синуса и косинуса равны ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в целом, в соответствии с Теорема Пикарда, который утверждает, что диапазон непостоянной целой функции либо все ${\displaystyle \mathbb {C} }$, или же ${\displaystyle \mathbb {C} }$ за исключением одного лакунарное значение.

Эти определения экспоненциальной и тригонометрической функций тривиально приводят к Формула Эйлера:

${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\sin z}$ для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

В качестве альтернативы мы могли бы определить сложную экспоненциальную функцию на основе этого отношения. Если ${\displaystyle z=x+iy}$, куда ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ оба действительны, то мы могли бы определить его экспоненту как

${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$

куда exp, потому что, и грех в правой части знака определения следует интерпретировать как функции действительной переменной, ранее определенные другими способами.^[15]

За ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, отношения ${\displaystyle {\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)}$ держит, так что ${\displaystyle |\exp(it)|=1}$ серьезно ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t\mapsto \exp(it)}$ отображает реальную линию (мод ${\displaystyle 2\pi }$) к единичной окружности. Основываясь на соотношении между ${\displaystyle \exp(it)}$ и единичный круг, легко увидеть, что, ограниченные реальными аргументами, определения синуса и косинуса, данные выше, совпадают с их более элементарными определениями, основанными на геометрических понятиях.

Комплексная экспоненциальная функция периодична с периодом ${\displaystyle 2\pi i}$ и ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$ относится ко всем ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$.

Когда ее область определения расширяется от вещественной линии до комплексной плоскости, экспоненциальная функция сохраняет следующие свойства:

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}$
• ${\displaystyle e^{0}=1\,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle {\tfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

для всех ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} }$.

Расширение натурального логарифма до сложных аргументов дает комплексный логарифм бревно z, что является многозначная функция.

Затем мы можем определить более общее возведение в степень:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$

для всех комплексных чисел z и ш. Это тоже многозначная функция, даже если z реально. Это различие проблематично, поскольку многозначные функции бревно z и z^ш легко спутать с их однозначными эквивалентами при замене вещественным числом z. Правило умножения показателей для случая положительных действительных чисел должно быть изменено в многозначном контексте:

(е^z)^ш
≠ е^zw, скорее (е^z)^ш
= е^{(z + 2πв)ш} многозначный по целым числам п

Видеть отказ от тождества мощности и логарифма подробнее о проблемах с объединением мощностей.

Экспоненциальная функция отображает любые линия в комплексной плоскости к логарифмическая спираль в комплексной плоскости с центром в источник. Существуют два особых случая: когда исходная линия параллельна реальной оси, полученная спираль никогда не замыкается сама на себя; когда исходная линия параллельна мнимой оси, полученная спираль представляет собой окружность некоторого радиуса.

• 3D-графики действительной части, мнимой части и модуля экспоненциальной функции
• 

  z = Re (е^{Икс + иу})

• 

  z = Im (е^{Икс + иу})

• 

  z = |е^{Икс + иу}|

Рассмотрение комплексной экспоненциальной функции как функции, включающей четыре действительные переменные:

${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$

график экспоненциальной функции представляет собой двумерную поверхность, изгибающуюся в четырех измерениях.

Начиная с цветной части ${\displaystyle xy}$ Ниже приведены изображения графа, по-разному проецируемые в двух или трех измерениях.

• Графики комплексной экспоненциальной функции
• 

  Ключ шахматной доски:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$

• 

  Проекция на комплексную плоскость дальности (V / W). Сравните со следующей перспективной картинкой.

• 

  Проекция в ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle v}$, и ${\displaystyle w}$ размеры, образующие расширяющийся рог или форму воронки (представленное как двумерное перспективное изображение).

• 

  Проекция в ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle v}$, и ${\displaystyle w}$ размеры, образующие спиральную форму. (${\displaystyle y}$ диапазон увеличен до ± 2π, опять же как двумерное перспективное изображение).

На втором изображении показано, как комплексная плоскость домена отображается в комплексную плоскость диапазона:

• ноль отображается в 1
• реальный ${\displaystyle x}$ ось отображается в положительное вещественное ${\displaystyle v}$ ось
• воображаемый ${\displaystyle y}$ ось вращается вокруг единичного круга с постоянной угловой скоростью
• значения с отрицательными действительными частями отображаются внутри единичного круга
• значения с положительными действительными частями отображаются за пределами единичного круга
• значения с постоянной действительной частью отображаются на круги с центром в нуле
• значения с постоянной мнимой частью отображаются на лучи, идущие от нуля

Третье и четвертое изображения показывают, как график на втором изображении расширяется в одно из двух других измерений, не показанных на втором изображении.

На третьем изображении показан график, вытянутый вдоль реального ${\displaystyle x}$ ось. Он показывает, что график представляет собой поверхность вращения вокруг ${\displaystyle x}$ ось графика действительной экспоненциальной функции, образующей форму рога или воронки.

Четвертое изображение показывает график, вытянутый вдоль воображаемого ${\displaystyle y}$ ось. Это показывает, что поверхность графика для положительных и отрицательных ${\displaystyle y}$ ценности действительно не совпадают с отрицательными реальными ${\displaystyle v}$ оси, но вместо этого образует спиральную поверхность вокруг ${\displaystyle y}$ ось. Потому что это ${\displaystyle y}$ были расширены до ± 2π, это изображение также лучше отображает периодичность 2π в мнимой ${\displaystyle y}$ ценить.

Расчет а^б где оба а и б сложные

Основная статья: Возведение в степень

Комплексное возведение в степень а^б можно определить преобразованием а в полярные координаты и используя тождество (е^{пер а})^б
= а^б:

${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}}$

Однако когда б не целое число, эта функция многозначный, потому что θ не уникален (см. отказ от тождества мощности и логарифма ).

Матрицы и банаховы алгебры

Определение степенного ряда экспоненциальной функции имеет смысл для квадрата матрицы (для которого функция называется матричная экспонента ) и вообще в любой единице Банахова алгебра B. В этой настройке е⁰ = 1, и е^Икс обратима с обратным е^−Икс для любого Икс в B. Если ху = yx, тогда е^{Икс + y} = е^Иксе^y, но эта личность может не работать для некоммерческих Икс и y.

Некоторые альтернативные определения приводят к той же функции. Например, е^Икс можно определить как

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Или же е^Икс можно определить как ж_Икс(1), куда ж_Икс: р→B является решением дифференциального уравнения df_Икс/dt(т) = Икс ж_Икс(т), с начальным условием ж_Икс(0) = 1; следует, что ж_Икс(т) = е^tx для каждого т в р.

Алгебры Ли

Учитывая Группа Ли грамм и связанные с ним Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то экспоненциальная карта это карта ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ↦ грамм удовлетворяющие аналогичным свойствам. Фактически, поскольку р является алгеброй Ли группы Ли всех положительных действительных чисел при умножении, обычная экспоненциальная функция для вещественных аргументов является частным случаем ситуации алгебры Ли. Аналогично, поскольку группа Ли GL (п,р) обратимого п × п матрицы имеет в качестве алгебры Ли М (п,р), пространство всех п × п матриц экспоненциальная функция для квадратных матриц является частным случаем экспоненциального отображения алгебры Ли.

Личность ехр (Икс + y) = exp Икс exp y может потерпеть неудачу для элементов алгебры Ли Икс и y которые не ездят на работу; то Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа предоставляет необходимые исправительные условия.

Трансцендентность

Функция е^z не в C(z) (т.е.не является частным двух многочленов с комплексными коэффициентами).

За п различные комплексные числа {а₁, …, а_п}, набор {е^а₁z, …, е^а_пz} линейно независима над C(z).

Функция е^z является трансцендентный над C(z).

Вычисление

При вычислении (приближении) экспоненциальной функции около аргумента 0, результат будет близок к 1, и вычисление значения разницы ${\displaystyle \exp x-1}$ с арифметика с плавающей запятой может привести к потере (возможно, всех) значимые фигуры, приводя к большой ошибке вычисления, возможно, даже к бессмысленному результату.

По предложению Уильям Кахан, поэтому может быть полезно иметь специальную процедуру, часто называемую expm1, для вычисления е^Икс − 1 напрямую, минуя вычисление е^Икс. Например, если экспонента вычисляется с использованием ее Серия Тейлор

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,}$

можно использовать ряд Тейлора ${\displaystyle e^{x}-1:}$

${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$

Впервые это было реализовано в 1979 г. Hewlett Packard HP-41C калькулятор, и предоставленный несколькими калькуляторами,^[16][17] операционные системы (Например Беркли UNIX 4.3BSD^[18]), системы компьютерной алгебры, и языки программирования (например, C99 ).^[19]

Помимо базы е, то IEEE 754-2008 Стандарт определяет аналогичные экспоненциальные функции около 0 для оснований 2 и 10: ${\displaystyle 2^{x}-1}$ и ${\displaystyle 10^{x}-1}$.

Аналогичный подход был использован для логарифма (см. lnp1 ).^{[№ 3]}

Идентичность с точки зрения гиперболический тангенс,

${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=\exp x-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$

дает значение высокой точности для малых значений Икс в системах, которые не реализуют ехр1 (Икс).

Смотрите также

• Математический портал

• Экспонента Карлица, характеристика п аналог
• Двойная экспоненциальная функция - Экспоненциальная функция экспоненциальной функции
• Экспоненциальное поле - Математическое поле, снабженное операцией, удовлетворяющей функциональному уравнению экспоненты
• Функция Гаусса
• Полуэкспоненциальная функция, композиционный квадратный корень из экспоненциальной функции
• Список экспоненциальных тем
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Функция Миттаг-Леффлера, обобщение экспоненциальной функции
• п-адическая экспоненциальная функция
• Таблица Паде для экспоненциальной функции – Приближение Паде экспоненты на долю полиномиальных функций
• Тетрация - Повторное или повторяющееся возведение в степень

Примечания

1. В чистой математике обозначения бревно Икс обычно относится к натуральному логарифму Икс или логарифм вообще, если основание несущественно.
2. Обозначение пер Икс является стандартом ISO и широко используется в естественных науках и среднем образовании (США). Однако некоторые математики (например, Пол Халмос ) раскритиковали эту нотацию и предпочли использовать бревно Икс для натурального логарифма Икс.
3. Аналогичный подход к уменьшению ошибки округления расчетов для определенных входных значений тригонометрические функции состоит из менее распространенных тригонометрических функций Версина, веркозин, Coverine, покровный козин, гаверсин, гаверкозин, hacoversine, hacovercosine, эксцентричный и excosecant.

Рекомендации

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-28.
2. Гольдштейн, Ларри Джоэл; Lay, David C .; Шнайдер, Дэвид I .; Асмар, Накле Х. (2006). Краткое исчисление и его приложения (11-е изд.). Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-191965-5. (467 стр.)
3. Курант; Роббинс (1996). Стюарт (ред.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд. Перераб.). Oxford University Press. п. 448. ISBN  978-0-13-191965-5. Эта естественная экспоненциальная функция идентична своей производной. Это действительно источник всех свойств экспоненциальной функции и основная причина ее важности для приложений ...
4. «Справочник по экспоненциальной функции». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-28.
5. Converse, Генри Август; Дурелл, Флетчер (1911). Плоская и сферическая тригонометрия. Математический ряд Дурелла. C. E. Merrill Company. п.12. Обратное использование таблицы логарифмов; то есть, используя логарифм, найти соответствующее ему число (называемое его антилогарифмом) ... [1]
6. Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 1. ISBN  978-0-07-054234-1.
7. Вайсштейн, Эрик В. "Экспоненциальная функция". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-28.
8. Маор, Эли. е: история числа. п. 156.
9. О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (сентябрь 2001 г.). "Число е". Школа математики и статистики. Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Получено 2011-06-13.
10. Сервей (1989, п. 384) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFSerway1989 (помощь)
11. Симмонс (1972), п. 15)
12. Макгроу-Хилл (2007)
13. Лоренцен, Л.; Вааделанд, Х. (2008). «A.2.2 Экспоненциальная функция».. Непрерывные дроби. Исследования Атлантиды по математике. 1. п. 268. Дои:10.2991/978-94-91216-37-4. ISBN  978-94-91216-37-4.
14. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 182. ISBN  978-0-07054235-8.
15. Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Чтение, масс .: Эддисон Уэсли. стр.19. ISBN  978-0-20100288-1.
16. Серия HP 48G - Справочное руководство для опытных пользователей (AUR) (4-е изд.). Hewlett Packard. Декабрь 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2. Получено 2015-09-06.
17. Расширенное руководство пользователя графического калькулятора HP 50g / 49g + / 48gII (AUR) (2-е изд.). Hewlett Packard. 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010. Получено 2015-10-10. [2]
18. Биби, Нельсон Х. Ф. (22 августа 2017 г.). «Глава 10.2. Экспонента около нуля». Справочник по вычислению математических функций - Программирование с использованием переносимой программной библиотеки MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG. С. 273–282. Дои:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN  978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721. Berkeley UNIX 4.3BSD представила функцию expm1 () в 1987 году.
19. Биби, Нельсон Х. Ф. (9 июля 2002 г.). «Вычисление expm1 = exp (x) −1» (PDF). 1.00. Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Департамент математики, Центр научных вычислений, Университет Юты.. Получено 2015-11-02.

• Энциклопедия науки и технологий Макгроу-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. 2007. ISBN  978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A .; Моисей, Климент Дж .; Мойер, Курт А. (1989), Современная физика, Форт-Уэрт: Харкорт Брейс Йованович, ISBN  0-03-004844-3
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими записками, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, LCCN  75173716

внешняя ссылка

• "Экспоненциальная функция", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Комплексная экспоненциальная функция». PlanetMath.
• «Производная экспоненциальной функции». PlanetMath.