Экспонента Карлица - Carlitz exponential

В математика, то Экспонента Карлица это характеристика п аналог обычного экспоненциальная функция учился в настоящий и комплексный анализ. Он используется в определении Модуль Карлитца - пример Модуль Дринфельда.

Определение

Работаем над кольцом многочленов F_q[Т] одной переменной над конечное поле F_q с q элементы. В завершение C_∞ из алгебраическое замыкание поля F_q((Т⁻¹)) из формальная серия Laurent в Т⁻¹ будет полезно. Это полное и алгебраически замкнутое поле.

Для начала нам нужны аналоги факториалы, которые фигурируют в определении обычной экспоненциальной функции. За я > 0 определим

${\displaystyle [i]:=T^{q^{i}}-T,\,}$

${\displaystyle D_{i}:=\prod _{1\leq j\leq i}[j]^{q^{i-j}}}$

и D₀ : = 1. Обратите внимание, что обычный факториал здесь неуместен, поскольку п! исчезает в F_q[Т] пока не п меньше, чем характеристика из F_q[Т].

Используя это, мы определяем экспоненту Карлица е_C:C_∞ → C_∞ сходящейся суммой

${\displaystyle e_{C}(x):=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{q^{i}}}{D_{i}}}.}$

Отношение к модулю Карлитца

Экспонента Карлица удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle e_{C}(Tx)=Te_{C}(x)+\left(e_{C}(x)\right)^{q}=(T+\tau )e_{C}(x),\,}$

где мы можем посмотреть ${\displaystyle \tau }$ как сила ${\displaystyle q}$ карта или как элемент кольца ${\displaystyle F_{q}(T)\{\tau \}}$ из некоммутативные многочлены. Посредством универсальная собственность колец многочленов от одной переменной это продолжается до гомоморфизма колец ψ:F_q[Т]→C_∞{τ}, определяя Drinfeld F_q[Т] -модуль завершен C_∞{τ}. Он называется модулем Карлица.

Рекомендации

• Госс, Д. (1996). Основные структуры арифметики функциональных полей. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. 35. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-61087-8. МИСТЕР  1423131.
• Такур, Динеш С. (2004). Арифметика функционального поля. Нью-Джерси: World Scientific Publishing. ISBN  978-981-238-839-1. МИСТЕР  2091265.