Алгебраическое замыкание - Algebraic closure

Для использования в других целях см. Закрытие (значения).

В математика, особенно абстрактная алгебра, алгебраическое замыкание из поле K является алгебраическое расширение из K то есть алгебраически замкнутый. Это один из многих закрытие по математике.

С помощью Лемма Цорна^[1][2][3] или слабее лемма об ультрафильтрации,^[4][5] можно показать, что каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и что алгебраическое замыкание поля K уникальный вплоть до ан изоморфизм который исправления каждый член K. Из-за этой существенной уникальности мы часто говорим о то алгебраическое замыкание K, скорее, чем ан алгебраическое замыкание K.

Алгебраическое замыкание поля K можно рассматривать как наибольшее алгебраическое расширение K. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если L любое алгебраическое расширение K, то алгебраическое замыкание L также является алгебраическим замыканием K, и так L содержится в алгебраическом замыкании K.Алгебраическое замыкание K также является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K,потому что, если M - любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K, то элементы M которые алгебраический над K образуют алгебраическое замыкание K.

Алгебраическое замыкание поля K имеет то же самое мощность в качестве K если K бесконечно, и является счетно бесконечный если K конечно.^[3]

Примеры

• В основная теорема алгебры утверждает, что алгебраическое замыкание поля действительные числа это область сложные числа.
• Алгебраическое замыкание поля рациональное число это область алгебраические числа.
• Внутри комплексных чисел имеется множество счетных алгебраически замкнутых полей, строго содержащих поле алгебраических чисел; это алгебраические замыкания трансцендентных расширений рациональных чисел, например алгебраическое замыкание Q(π).
• Для конечное поле из основной порядок питания q, алгебраическое замыкание является счетно бесконечный поле, содержащее копию поля заказа q^п за каждый положительный целое число п (и фактически является объединением этих копий).^[6]

Существование алгебраических полей замыкания и расщепления

Позволять ${displaystyle S={f_{lambda }|lambda in Lambda }}$ - множество всех унитарных неприводимых многочленов от K[Икс].Для каждого ${displaystyle f_{lambda }in S}$, ввести новые переменные ${displaystyle u_{lambda ,1},ldots ,u_{lambda ,d}}$ куда ${displaystyle d={m {degree}}(f_{lambda })}$.Позволять р кольцо многочленов над K создано ${displaystyle u_{lambda ,i}}$ для всех ${displaystyle lambda in Lambda }$ и все ${displaystyle ileq {m {degree}}(f_{lambda })}$. Написать

${displaystyle f_{lambda }-prod _{i=1}^{d}(x-u_{lambda ,i})=sum _{j=0}^{d-1}r_{lambda ,j}cdot x^{j}in R[x]}$

с ${displaystyle r_{lambda ,j}in R}$.Позволять я быть идеалом в р генерируется ${displaystyle r_{lambda ,j}}$. С я строго меньше, чем р, Из леммы Цорна следует, что существует максимальный идеал M в р который содержит я.Поле K₁=р/M обладает тем свойством, что каждый многочлен ${displaystyle f_{lambda }}$ с коэффициентами в K раскалывается как продукт ${displaystyle x-(u_{lambda ,i}+M),}$ и, следовательно, имеет все корни в K₁. Таким же образом расширение K₂ из K₁ могут быть построены и т. д. Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием K, потому что любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некоторых K_п с достаточно большим п, а затем его корни в K_{п + 1}, а значит, и в самом союзе.

Это может быть показано в тех же строках, что и для любого подмножества S из K[Икс] существует поле расщепления из S над K.

Раздельное закрытие

Алгебраическое замыкание K^alg из K содержит уникальный отделяемое расширение K^сен из K содержащий все (алгебраические) отделяемые расширения из K в K^alg. Это подрасширение называется отделяемое закрытие из K. Поскольку сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова сепарабельно, не существует конечных сепарабельных расширений K^сен, степени> 1. Другими словами, K содержится в раздельно-закрытый поле алгебраических расширений. Он уникален (вплоть до изоморфизм).^[7]

Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K это идеальное поле. Например, если K поле характеристики п и если Икс трансцендентален K, ${displaystyle K(X)({sqrt[{p}]{X}})supset K(X)}$ является несепарабельным расширением алгебраического поля.

В целом абсолютная группа Галуа из K группа Галуа K^сен над K.^[8]

Смотрите также

• Алгебраически замкнутое поле
• Алгебраическое расширение
• Расширение Puiseux
• Заполнить поле

Рекомендации

1. Маккарти (1991) стр.21
2. М. Ф. Атья и И. Г. Макдональд (1969). Введение в коммутативную алгебру. Издательство Эддисон-Уэсли. С. 11–12.
3. Капланский (1972) с.74-76
4. Банашевский, Бернхард (1992), "Алгебраическое замыкание без выбора", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, Zbl  0739.03027
5. Обсуждение Mathoverflow
6. Brawley, Joel V .; Шниббен, Джордж Э. (1989), "2.2 Алгебраическое замыкание конечного поля", Бесконечные алгебраические расширения конечных полей, Современная математика, 95, Американское математическое общество, стр. 22–23, ISBN  978-0-8218-5428-0, Zbl  0674.12009.
7. Маккарти (1991) стр.22
8. Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд.). Springer-Verlag. п. 12. ISBN  978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.

• Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца. Чикагские лекции по математике (второе изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-42451-0. Zbl  1001.16500.
• Маккарти, Пол Дж. (1991). Алгебраические расширения полей (Исправленная перепечатка 2-го изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. Zbl  0768.12001.