Абстрактная алгебра - Abstract algebra

Эта статья про раздел математики. Для шведской группы см. Абстрактная алгебра.
«Современная алгебра» перенаправляется сюда. Книгу ван дер Вардена см. Современная алгебра.
Изображение кубика Рубика
В перестановки из Кубик Рубика сформировать группа, фундаментальное понятие в абстрактной алгебре.

В алгебра, что является широким разделением математика, абстрактная алгебра (иногда называют современная алгебра) является изучение алгебраические структуры. Алгебраические структуры включают группы, кольца, поля, модули, векторные пространства, решетки, и алгебры. Период, термин абстрактная алгебра был придуман в начале 20 века, чтобы отличать эту область изучения от других частей алгебры.

Алгебраические структуры и связанные с ними гомоморфизмы, форма математические категории. Теория категорий это формализм, позволяющий унифицированным способом выражать свойства и конструкции, схожие для различных структур.

Универсальная алгебра - смежный предмет, изучающий типы алгебраических структур как отдельные объекты. Например, структура групп - это единый объект универсальной алгебры, который называется разнообразие групп.

История

Как и в других разделах математики, конкретные задачи и примеры сыграли важную роль в развитии абстрактной алгебры. В конце девятнадцатого века многие - возможно, большинство - из этих проблем были так или иначе связаны с теорией алгебраических уравнений. Основные темы включают:

Многие учебники по абстрактной алгебре начинаются с аксиоматический определения различных алгебраические структуры а затем приступить к установлению их свойств. Это создает ложное впечатление, будто в алгебре сначала появились аксиомы, а затем они послужили мотивацией и основой для дальнейшего изучения. Истинный порядок исторического развития был почти прямо противоположным. Например, гиперкомплексные числа девятнадцатого века имел кинематические и физические мотивы, но бросал вызов пониманию. Большинство теорий, которые сейчас признаны частями алгебры, начинались как совокупность разрозненных фактов из различных разделов математики, приобрели общую тему, которая служила ядром, вокруг которого были сгруппированы различные результаты, и, наконец, стали объединены на основе общего набора концепции. Архетипический пример этого прогрессивного синтеза можно увидеть в история теории групп.[нужна цитата ]

Ранняя теория групп

В раннем развитии теории групп было несколько направлений, которые, говоря современным языком, примерно соответствуют теория чисел, теория уравнений, и геометрия.

Леонард Эйлер считается алгебраические операции на числах по модулю целого числа -модульная арифметика -в его обобщение из Маленькая теорема Ферма. Эти исследования были продолжены Карл Фридрих Гаусс, который рассмотрел структуру мультипликативных групп вычетов по модулю n и установил многие свойства циклический и более общие абелевский группы, которые возникают таким образом. В своих исследованиях композиция бинарных квадратичных форм, Гаусс явно указал ассоциативный закон что касается композиции форм, но, как и Эйлер до него, он, кажется, больше интересовался конкретными результатами, чем общей теорией. В 1870 г. Леопольд Кронекер дал определение абелевой группы в контексте идеальные группы классов числового поля, обобщающего работу Гаусса; но похоже, что он не связывал свое определение с предыдущими работами над группами, особенно с группами перестановок. В 1882 г., размышляя над тем же вопросом, Генрих М. Вебер осознал связь и дал аналогичное определение, включающее аннулирование собственности но не упомянул о существовании обратный элемент, что было достаточно в его контексте (конечные группы).[нужна цитата ]

Перестановки были изучены Жозеф-Луи Лагранж в его статье 1770 г. Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Мысли об алгебраическом решении уравнений) посвященный решениям алгебраических уравнений, в которые он ввел Резольвенты Лагранжа. Целью Лагранжа было понять, почему уравнения третьей и четвертой степени допускают формулы для решений, и он определил в качестве ключевых объектов перестановки корней. Важным новым шагом, предпринятым Лагранжем в этой статье, был абстрактный взгляд на корни, то есть как символы, а не как числа. Однако он не учел состав перестановок. По счастливой случайности, первое издание Эдвард Уоринг с Meditationes Algebraicae (Размышления по алгебре) появился в том же году, а расширенная версия была опубликована в 1782 году. Варинг доказал, что основная теорема симметрических многочленов, и специально рассмотрела связь между корнями уравнения четвертой степени и его резольвентной кубикой. Mémoire sur la résolution des équations (Памятка о решении уравнений) из Александр Вандермонд (1771) разработал теорию симметрических функций под несколько другим углом, но подобно Лагранжу, с целью понимания разрешимости алгебраических уравнений.

Кронекер утверждал в 1888 году, что изучение современной алгебры началось с этой первой работы Вандермонда. Коши совершенно ясно заявляет, что Вандермонд имел приоритет перед Лагранжем в отношении этой замечательной идеи, которая в конечном итоге привела к изучению теории групп.[1]

Паоло Руффини был первым, кто разработал теорию группы перестановок, и, как и его предшественники, также в контексте решения алгебраических уравнений. Его целью было установить невозможность алгебраического решения общего алгебраического уравнения степени больше четырех. На пути к этой цели он ввел понятие порядка элемента группы, сопряженности, циклического разложения элементов групп перестановок и понятий примитивного и импримитивного, а также доказал некоторые важные теоремы, связывающие эти понятия, такие как

если G - подгруппа в S5 порядок которой делится на 5, то G содержит элемент порядка 5.

Однако он обошелся без формализации концепции группы или даже группы перестановок. Следующий шаг был сделан Эварист Галуа в 1832 году, хотя его работа оставалась неопубликованной до 1846 года, когда он впервые рассмотрел то, что сейчас называется закрытие собственности группы перестановок, которые он выразил как

если в такой группе есть замены S и T, то есть замена ST.

Теория групп перестановок получила дальнейшее далеко идущее развитие в руках Огюстен Коши и Камилла Джордан как за счет введения новых понятий и, прежде всего, огромного количества результатов о специальных классах групп подстановок и даже некоторых общих теорем. Среди прочего, Джордан определил понятие изоморфизм, по-прежнему в контексте групп перестановок и, кстати, именно он поставил термин группа в широком использовании.

Абстрактное понятие группы впервые появилось в Артур Кэли в 1854 году. Кэли понял, что группа не обязательно должна быть группой перестановок (или даже конечный), а вместо этого может состоять из матрицы, алгебраические свойства которой, такие как умножение и обратное, он систематически исследовал в последующие годы. Намного позже Кэли вернется к вопросу о том, являются ли абстрактные группы более общими, чем группы перестановок, и установит, что на самом деле любая группа изоморфна группе перестановок.

Современная алгебра

В конце 19 - начале 20 вв. Произошел сдвиг в методологии математики. Абстрактная алгебра возникла примерно в начале 20 века под названием современная алгебра. Его изучение было частью стремления к большему. интеллектуальная строгость по математике. Первоначально предположения классической алгебра, на котором вся математика (и основные части естественные науки ) зависят, приняли вид аксиоматические системы. Не довольствуясь установлением свойств конкретных объектов, математики начали обращать внимание на общую теорию. Формальные определения некоторых алгебраические структуры начали зарождаться в 19 веке. Например, результаты о различных группах перестановок стали рассматриваться как примеры общих теорем, касающихся общего понятия абстрактная группа. На первый план вышли вопросы строения и классификации различных математических объектов.

Эти процессы происходили во всей математике, но особенно ярко проявились в алгебре. Формальное определение посредством примитивных операций и аксиом было предложено для многих основных алгебраических структур, таких как группы, кольца, и поля. Отсюда такие вещи, как теория групп и теория колец заняли свои места в чистая математика. Алгебраические исследования общих полей Эрнст Стейниц а коммутативных, а затем общих колец - Дэвид Гильберт, Эмиль Артин и Эмми Нётер, опираясь на работу Эрнст Куммер, Леопольд Кронекер и Ричард Дедекинд, которые рассматривали идеалы в коммутативных кольцах, и Георг Фробениус и Иссай Шур, касательно теория представлений групп, пришли к определению абстрактной алгебры. Эти события последней четверти XIX - первой четверти XX века систематически раскрывались в Бартель ван дер Варден с Современная алгебра, двухтомник монография опубликовано в 1930–1931 годах, навсегда изменившее для математического мира значение этого слова. алгебра из теория уравнений к теория алгебраических структур.

Базовые концепты

Основная статья: Алгебраическая структура

Абстрагируясь от различных деталей, математики определили различные алгебраические структуры, которые используются во многих областях математики. Например, почти все изученные системы являются наборы, которому соответствуют теоремы теория множеств подать заявление. Те наборы, для которых определена определенная бинарная операция, образуют магмы, к которым применимы понятия о магмах, а также о множествах. Мы можем добавить дополнительные ограничения на алгебраическую структуру, такие как ассоциативность (чтобы сформировать полугруппы ); тождество, и обратное (чтобы сформировать группы ); и другие более сложные конструкции. С дополнительной структурой можно было бы доказать больше теорем, но общность уменьшилась. «Иерархия» алгебраических объектов (в смысле общности) создает иерархию соответствующих теорий: например, теорем теория групп можно использовать при обучении кольца (алгебраические объекты, которые имеют две бинарные операции с определенными аксиомами), поскольку кольцо - это группа над одной из своих операций. В целом существует баланс между степенью общности и богатством теории: более общие структуры обычно имеют меньше нетривиальный теоремы и меньше приложений.

Примеры алгебраических структур с одним бинарная операция находятся:

Примеры, включающие несколько операций, включают:

Приложения

Из-за своей общности абстрактная алгебра используется во многих областях математики и науки. Например, алгебраическая топология использует алгебраические объекты для изучения топологий. В Гипотеза Пуанкаре, доказанный в 2003 г., утверждает, что фундаментальная группа многообразия, который кодирует информацию о связности, можно использовать для определения того, является ли многообразие сферой или нет. Алгебраическая теория чисел изучает различное количество кольца которые обобщают набор целых чисел. Используя инструменты алгебраической теории чисел, Эндрю Уайлс доказано Последняя теорема Ферма.

В физике группы используются для представления операций симметрии, а использование теории групп может упростить дифференциальные уравнения. В калибровочная теория, требование локальная симметрия может использоваться для вывода уравнений, описывающих систему. Группы, описывающие эти симметрии: Группы Ли, а изучение групп Ли и алгебр Ли многое раскрывает о физической системе; например, количество силовые носители в теории равна размерности алгебры Ли, и эти бозоны взаимодействуют с силой, которую они опосредуют, если алгебра Ли неабелева.[2]

Смотрите также

Основная статья: Список тем абстрактной алгебры

Рекомендации

  1. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Александр-Теофиль Вандермонд", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
  2. ^ Шумм, Брюс (2004), Вещи в глубине души, Балтимор: издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  0-8018-7971-X

Источники

внешняя ссылка